元认知就是对认知的认知,即指人们对认知活动的自我意识、自我控制和自我调节。它具体包括三方面的内容:“一是元认知知识,即人们关于认知个体、认知任务和认知策略等方面的知识;二是元认知体验,即伴随着认知活动产生的认知体验和情感体验;三是元认知监控,即人们在认知活动过程中,不断地对自己的认知活动进行监控,并相应地对其加以调节,以达到最佳的认知目标。”
　　一
　　在数学解题过程中,主体不仅是对数学材料的感知、记忆、思维和想象的认知过程,而且是通过自我意识,对该认知过程进行积极监视、控制和调节的元认知过程。数学能力涉及认知过程中的有关能力,而实际上数学认知过程进行的有效性如何,依赖于元认知过程运行的水平的高低,如对策略的选择和对策略效果的评价,及时反馈和对该过程的进程、方向、结果的评价、控制、调节。元认知能力直接影响数学学习的优劣和学习进程的快慢,对解题起到指导、支配、决策、监控的作用,具有非常重要的意义,因此我们在教学中要注意培养学生的元认知能力。
　　然而在实际教学中,教师易受到“题海战术”和“熟能生巧”观念的影响,未能对元认知能力和发展水平给予足够的重视。学生的元认知往往受到不同程度的抑制,基本上停留在自发性的水平上,而其中对元认知能力的培养中较好的一种方式——解题反思往往忽略。在教学中,有些学生在解题时,题目一旦获解,就匆匆去解决下一个问题,同时心理上产生成功的满足,即使进行复看和检验,也只停留在“结论对错”上,忽视了解题后对解题过程的分析、评价、反思、总结等,这样做学生便失去了学会解题的最宝贵、最有效的机会,也极易导致解题心理封闭,这是造成这部分学生“悟性慢”,仅仅停留在知识型的水平上,很难形成较强的解题能力的根本原因。
　　二
　　从元认知的观点看来,思路初步打开,解题刚刚完成,体现了认知,而进行解题过程的分析就是对认知的再认知,是对认知的自我意识、自我调控和自我超越。实际上,题目的初步求解只不过是实现了信息向大脑的线性输入,只不过是为进一步的提高准备了材料基础,真正有价值的、体现学习者主动的创造性的工作还是将历时性的线性材料组织为共时性的立体结构。这时,打破输入顺序的材料会呈现出更本质、更广泛的联系,新输入的材料与已储存的材料之间也会构成更本质、更广泛的组合,从而揭示数学内容的更内在的逻辑结构和更直截了当的关系。所谓解题,无非是寻找数学内容之间的联系,有意识地“将历时性的线性材料组织为共时性的立体结构”的过程,就是自觉地培养解题能力的过程,也是解题能力迅速生长的过程,其实质就是元认知能力发展的过程。
　　在解题反思过程中,主体对什么因素影响自己在认知解题中的过程与结果,这些因素是如何作用的,它们之间是如何相互作用的各种认知,这本身就是对元认知的知识的认知。在解题反思过程中,主体对问题解决的策略的思考,可以使主体产生对学习策略的认识,如哪些策略可以利用,它们各有什么缺点,应用时各需要什么条件,其中哪些是首要策略,哪些是必备策略,怎样具体运用这些条件等,此过程正是对元认知能力的培养。在解题过程中的成功与失败,伴随认知活动而产生的认知体验和情感体验等,需要为学生提供更多机会和时间去思考和体验,因而解题后的检查和评价是这一体验升华的关键。解题后对问题的反思是对思维过程的重新审视,对思维过程中的尝试、反馈、迂回等进行重新评价,为下一次的思维过程提供调控经验。反思是发展数学思维的一个重要方面,是一个思维活动过程的结束,并包含另一个新的思维活动过程的开始。
　　所以,教师要重视知识发生发展的过程,要有意识地引导学生参与教学活动,特别是要在教学过程中增添一个“反思回顾”环节,创设诸如:“你是怎么想的,为什么这样想?”“你为什么作出这样的选择?”“你选择是否是最佳?”“知识之间有什么联系、如何联系的?”等情境,教给学生元认知知识,在暴露自身认知水平的过程中培养其元认知意识。学生要在解题后进行解题思路的探求和解题过程的反思,应该抱着一种信念:“没有任何一道题是可以解决得十全十美的,总剩下一些工作要做,经过充分的探讨和钻研,我们就能改进这个解答,而且在任何情况下,我们总能提高自己对这个解答的理解水平。”(波利亚:《怎样解题》)题目初步获解后,回过头来进行解题反思,会达到“会当临绝顶,一览众山小”的境界,而且其真正价值体现在登顶后对美景的欣赏和对登山过程的体验。
　　三
　　如何进行反思才能将解题的价值发挥到极致呢?我总结出反思十条,具体阐述了解题后的反思过程。
　　1.整理解题过程
　　问题获解后,整个过程此时是模糊的、肤浅的,回顾整个思维过程,检查得失,从而使解题过程清晰化、条理化、简单化,并为进一步反思提供充分的材料。学生从解题过程中的成功与得失,体味数学学习过程中的情感因素,积累元认知知识和元认知体验。
　　2.整理知识点
　　将解题过程拆分为一些单元,总结用到了哪些知识,使用了哪些方法,它们之间是如何组合在一起的,使新知识与已有认知结构中的相关知识建立横向联系,并概括出带有普遍性的規律,从而推动同化、顺应的深入,使知识系统化。
　　3.理解方法与结构
　　按照问题解决中推理的逻辑路线,依据它们之间的逻辑联系,将所涉及到的各种意义要点联系起来,并将它们与作为其基础的原理联系起来,与相关的背景经验联系起来,与探索中的各种事实资料联系起来,从而形成良好的知识结构,合理地总结解题方法,评价解题方法的优劣。
　　4.寻求关键点
　　从解决问题的过程中提炼出最本质的步骤,找到解决问题的关键点,思考寻找此关键点的思维过程和策略,提炼其本质含义,为下一思维过程做好知识的准备。
　　5.总结发散度
　　回顾解题的思维过程,注意发现哪些信息是多余的,哪些信息是浅尝辄止、半途而废的,哪些思维是迂回的,哪些过程是可以简化的,哪些过程是可以另辟蹊径的,等等。这是解决问题思维的发散度,为下一次思维调控积累经验,从而培养元认知调控能力。
　　6.分析解题障碍
　　俗话说:“吃一堑,长一智。”解题过程中必然会遇到思维的障碍,只有找到造成思维障碍的因素,探索在解题中如何调整方向,如何进行思维调控,才能突破障碍,为下一次思维提供更为明确的思维方向。
　　7.联系相似题型
　　在问题解决的过程中,学生应先对当前问题的条件和目标进行确认,联想以往相关的知识经验,以及在此基础上所进行的推理、假设和检验等,再归纳题型,总结规律,最后进行解题。
　　8.发现解题漏洞
　　发现解题中的不完整、不全面、遗漏等,避免今后解题时类似的错误的继续发生。
　　9.更新解题方法
　　重新审视解题的信息,更换条件的思考角度,对知识链上的知识内容作多角度的理解,以开辟新的解题思路,从而加深对数学原理、通性通法的认识。同时,将新方法和基本原理与相关知识联系起来,与事实资料联系起来,将新策略与问题特征联系起来,实现知识经验的整合。
　　10.概括一般方法
　　回顾问题的结构特征及其解决过程,再现、抽象出其中的意义要点,从过程中概括出原理性知识,使各种意义明确化。可以用更一般的原理去代替现存的许多步骤,并从这一过程中提炼出其中所包含的新理解或新策略,在适当水平上概括出其一般意义,提高整个解题的观点和思维的层次性。
　　总之,学生“应当学会这样一种对待习题的态度,即把习题看作是精密研究的对象,而把解答习题看做是设计和发明的目标” (弗里德曼语)。学生通过解题过程的分析而学会解题,就是通过已知学未知,通过有限道题的学习去培养解无限道题的数学机智,积极主动地发展元认知能力,进行深层次的建构。