换元是中学数学中常用数学方法.通过换元可以降低难度，简化运算.换元的关键是选择换元对象，确定换元方式.常用的换元方式有以下十种.
　　一、取相同部分换元
　　例1设对所有实数x，不等式
　　x2log24（a+1）a+2
　　xlog22aa+1+
　　log2（a+1）24a2>0恒成立，求实数a的取值范围.
　　分析考察不等式中对数式的类似结构，可考虑换元.
　　解设t=log2a+12a，则原不等式等价于不等式（3+t）x2-2tx+2t>0对一切x∈R恒成立，而这又等价于3+t>0，（-2t）2-4（3+t）·2t<0，解得t>0.
　　于是log2a+12a>0，得
　　a+12a>1.
　　解此分式不等式，得0　　二、相反数换元
　　例2已知af（2x-3）+bf（3-2x）=2x（a2≠b2），求f（x）的表达式.
　　分析2x-3与3-2x互为相反数，若设其中一个为t，则另一个为-t，代入已知条件可得含f（t）及f（-t）的式子，可先求f（t）.
　　解令2x-3=t，则3-2x=-t，x=
　　t+32，
　　∴af（t）+bf（-t）=t+3.①
　　在上式中以-t代t得
　　bf（t）+af（-t）=-t+3②
　　①×a-②×b，得
　　（a2-b2）f（t）=at+3a+bt-3b.
　　∵a2-b2≠0
　　∴f（t）=（a+b）t+3（a-b）a2-b2=ta-b+3a+b
　　∴f（x）=xa-b+3a+b.
　　三、倒数换元
　　例3解方程（4+15）x+（4-15）x=8
　　分析4+15·4-15=1，∴（4+15）x与（4-15）x互为倒数.
　　解设（4+15）x=t，则（4-15）x=1t，于是原方程化为t+1t-8=0，即t2-8t+1=0，解得t=4±15.
　　当（4+15）x=
　　4+15时，x=2；
　　当（4+15）x=4-
　　15时，x=-2.
　　点评解此题用了互为倒数的两数的特点，巧用了这一特点换元，使问题得解，值得一学.
　　四、设比值换元
　　例4设x、y、z有关系x-1=
　　y+12=z-23，试求w=x2+y2+z2的最小值，且求出此时x、y、z的值.
　　解令x-11=y+12=z-23=k，则x-1=k，y+1=2k，z-2=3k，即x=k+1，y=2k-1，z=3k+2.
　　∴w=x2+y2+z2=（k+1）2+（2k-1）2+（3k+2）2=14k2+10k+6=14（k+514）2+4314.
　　故当k=-514，即x=914，y=-157，z=1314时w取最小值4314.
　　五、代数换元
　　例5求函数f（x）=（a+sinx）（a+cosx）（a>0，0≤x≤π2）的最小值.
　　解y=sinx·cosx+a（sinx+cosx）+a2
　　设t=sinx+cosx，两边平方解得t2-12=sinxcosx
　　∴y=t2-12+at+a2=t2+2at2+a2-12=（t+a）22+a2-12
　　由0≤x≤π2知π4≤x+π4≤3π4.
　　而t=sinx+cosx=2sin（x+π4）
　　12≤sin（x+π4）≤1
　　∴1≤2sin（x+π4）≤2
　　∴1≤t≤2
　　当t=1，即sin（x+π4）=22，x=0时，函数f（x）取得最小值a2+a.
　　六、三角换元
　　例6求函数y=1+x-x的最值.
　　解函数的定义域为[0，+∞）.
　　令x=cot2θ，θ∈（0，π2]，则1+x=1+cot2θ=csc2θ.∴原函数转化为
　　y=csc2θ-cot2θ=cscθ-cotθ=1sinθ-cosθsinθ=1-cosθsinθ=tanθ2.
　　∵0<θ≤π2，∴0<θ2≤π4，∴0　　∴ymax=1，但没有最小值.
　　例7已知锐角α、β满足条件
　　sin4αcos2β+
　　cos4αsin2β=1，求证：α+β=π2.
　　分析注意到已知条件满足公式sin2α+cos2α=1，可进行三角代换，即可换元.
　　证明由已知可设
　　sin2αcosβ=cosθ，
　　cos2αsinβ=sinθ，则sin2α=cosθ·cosβ，cos2α=sinθ·sinβ
　　上两式相加，得
　　sin2α+cos2α=cosθ·cosβ+sinθ·sinβ=1
　　∴cos（θ-β）=1，
　　∴θ-β=2kπ（k∈Z）
　　∴θ=2πk+β（k∈Z）
　　∴sin2α=cosβcosθ=cos2β，
　　cos2α=sinθ·sinβ=sin2β
　　∵α、β为锐角，
　　∴sinα=cosβ=sin（π2-β），
　　∴α=π2-β，即α+β=π2.
　　点评三角代换既可解代数题，又可解三角题，关键是抓特点，引进三角函数.
　　七、增量换元法
　　例8已知a>b>c，求证1a-b+1b-c+1c-a>0. 　　证明设a=b+m，b=c+n（m、n∈R+），则a=c+m+n，于是
　　1a-b+1b-c+1c-a=1m+1n-1m+n
　　=m2+n2+mnmn（m+n）>0.
　　即1a-b+1b-c+1c-a>0.
　　点评对于实数a、b若a>b，则必定存在c∈R+，使a=b+c，把实数c叫做“增量”.使用增量证题的方法叫做增量换元法.
　　八、数值换元法
　　例9求证：（22004）2005>（2005！）2
　　证明设2004=n，2005=n+1，则只需证明2n（n+1）>[（n+1）！]2，即证2n（n+1）/2>（n+1）！，就是证21+2+3+…+n>1·2·3·…·（n+1），从而只要证明20·21·22·…·2n>1·2·3…（n+1）.
　　因为20=1，21=2，22>3，…，2n>n+1，n≥2，所以有2n（n+1）>[（n+1）！]2成立，于是（22004）2005>（2005！）2，
　　故原不等式成立.
　　点评换元法不仅适用于字母，也适用于数值，将复杂的数值运算，通过换元转化成字母运算，便于发现关系，揭示规律，从而运用已有公式或结论.应认真体会常值换元.
　　九、整体换元
　　例10求同时满足下列条件的所有复数z：
　　（1）z+10z是实数且1　　（2）z的实部与虚部都是整数.
　　解设z+10z=m（1　　z2-mz+10=0
　　这是关于z的实系数二次方程.因1　　z=m2±40-m22i.
　　故m2是整数，且1　　若m=2时，z=1±3i；若m=4时，z的虚部不为整数，舍去；若m=6时，z=3±i.
　　故所求复数为z=1±3i，z=3±i.
　　十、换元后求解
　　例11解不等式3logax-2<2logax-1.
　　解设3logax-2=y（y≥0），两边平方，得
　　2logax=23y2+43，则不等式化为
　　2y2-3y+1>0，解得y>1或y<12.
　　再由3logax-2>1，或
　　3logax-2<12
　　解出logax>1或23≤logax<34.
　　a>1时，所求解集为{x|a2/3≤xa}.
　　0