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摘要： 为了研究壁板在亚音速气流和外激扰联合作用下的非线性运动特性，基于Hamilton原理，建立了外激励作用下亚音速粘弹性壁板的非线性运动方程，并采用Galerkin方法将其离散为常微分方程组，研究了系统的平衡点及其稳定性.利用Melnikov方法得到了壁板出现混沌运动时系统参数所满足的临界条件，分析了外激励幅值、频率及气流来流速度之间的临界关系，并与系统混沌运动的数值模拟结果进行了对比.结果表明：当无量纲动压值超过64.42时，壁板系统平衡点的个数及其稳定性均会发生改变；使用Melnikov方法确定的混沌运动临界参数与数值模拟结果相符，该方法可用于判定混沌运动是否发生.
关键词： 亚音速流；壁板；混沌；Melnikov方法
中图分类号： O326文献标志码： AChaotic Motion of TwoDimensional Viscoelastic Panel with
自20世纪60年代日本建成东海道新干线以来，高速列车已经成为当代铁路发展的主流方向.列车在低速运行时，被忽略的气动力成为影响列车高速安全运行的主要因素[12].随着高速列车运行速度不断增加，其气动弹性问题越来越突显.气动弹性问题是发展高速列车亟待解决的关键问题之一[2].由于高速列车车体采用流线型设计，以最大限度地减小空气阻力，因此，在高速列车车身中存在着大量的蒙皮等壁板结构.壁板结构在列车运行时产生振动，如武广客运专线试验时，当列车运行速度达到350 km/h时，车身蒙皮和车窗的振动较大.另外，车身表面气体流动将会对车体形成脉动载荷，迫使整个车身产生较大幅度振动.当列车运行速度较高时，这些壁板结构在气流和轮轨激扰的联合作用下出现复杂的响应[3].因此，对壁板在亚音速气流和轮轨激扰的联合作用下的非线性运动特性加以研究，预测系统出现混沌运动的参数条.
Melnikov法是理论上预测非线性系统出现混沌运动的典型方法[46]，与传统研究非线性动力学的方法相比[712]，该方法用来解析判定拟哈密顿系统出现Smale意义下的混沌.对于哈密顿系统，如果此系统存在同宿或异宿轨道，在弱周期外力的扰动下，系统对应周期轨道不动点的稳定和不稳定流形成分裂，不动点是否相交意味着混沌运动是否会发生.文献[12]中将Melnikov方法引入到管道流固耦合非线性动力系统中，成功地预测了系统出现的混沌运动，为工程应用提供理论依据.
本文采用Galerkin方法对激振力作用下二维壁板在亚音速气流中的非线性动力学方程进行离散，采用Melnikov方法研究了壁板系统出现混沌时系统参数需要满足的条件，确定来流动压和外激励幅值、频率间的临界关系，同时对系统的混沌运动进行数值仿真.西南交通大学学报第48卷第2期李鹏等：外激励作用下亚音速二维粘弹性壁板系统的混沌运动1系统运动方程具有初始中面内力N0的对边简支对边自由中的二维壁板，如图1所示.其长度为l，厚度为h，且hl，壁板单位长度的质量为ρs.上表面作用有沿x方向的亚音速不可压缩气流，其中来流速度为v∞，空气密度为ρ∞.同时，壁板作用有沿y方向的4结束语本文利用Melnikov方法分析了外激励作用下亚音速气流中粘弹性壁板的混沌运动.结果表明：在超过临界无量纲来流动压64.42后，系统平衡点的个数和稳定性均会发生变化；无扰系统存在同宿轨道，扰动系统出现Samle马蹄意义下的混沌.文中采用Melnikov方法计算得到了系统出现混沌运动时各个参数需要满足的临界条件，该临界条件受到外激励幅值、外激励频率和来流动压的影响.与数值模拟结果的对比说明，该方法可以有效地判定系统混沌运动的发生，为工程应用提供理论依据.
参考文献：
[1]SCHETZ J A. Aerodynamics of highspeed trains[J]. Ann. Rev. Fluid. Mech， 2001， 23： 371414.
[2]JERPMR C R. A train for the 21st century [J]. Rail International， 1994， 25（4）： 28.
[3]李鹏，杨翊仁，鲁丽. 外激励作用下亚音速二维壁板的分叉及响应研究[J].力学学报，2011，43（4）： 746754.
LI Peng， YANG Yiren， LU Li. Bifurcation and responses analysis of twodimensional panel with external excitation in subsonic flow[J]. Chinese Journal of Theoretical and Application Mechanics， 2011， 43（4）： 746754.
[4]谢建华. 一类单自由度强迫振动系统的混沌运动[J]. 西南交通大学学报，1998，33（1）： 7276.
XIE J H. Chaotic motions in a forced vibration system of singledegreeoffreedom[J]. Journal of Southwest Jiaotong University， 1998， 33（1）： 7276.
[5]WIGGINS S. Introduction to applied nonlinear dynamical system and chaos[M]. New York： SpringerVerlag， 1990： 687720.
[6]GUKENHEIMER J， HOLMES P. Nonlinear oscillations， dynamical system， and bifurcation of vector fields[M]. New York： SpringerVerlag， 1983： 180212. [7]CHEN D L， YANG Y R， FAN C G. Nonlinear flutter of a twodimension thin plate subjected to aerodynamic heating by differential quadrature method[J]. Acta Mechanica Sinica， 2008， 24（1）： 4550.
[8]张伟，霍拳忠. 参数激励和强迫激励联合作用下非线性振动的分叉[J]. 力学学报，1991，23（4）： 464474.
ZHANG Wei， HUO Quanzhong. Bifurcation of nonlinear oscillation system under combined parametric and forcing excitation[J]. Acta Mechanica Sinica， 1991， 23（4）： 464474.
[9]WANG L， NI Q， HUANG Y Y. Bifurcations and chaos in forced cantilever system with impacts[J]. Journal of Sound and Vibration， 2006， 296： 10681078.
[10]KENFACK A. Bifurcation structure of two coupled periodically driven doublewell Duffing oscillators[J]. Chaos， Solutons and Fractals， 2003， 15： 205218.
[11]JING Z J， WANG R Q. Complex dynamics in Duffing system with two external forcings[J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2005， 23： 399411.
[12]包日东，毕文军，闻邦椿. 两端固定输流管道混沌运动预测[J]. 振动与冲击，2008，27（6）： 99102.
BAO Ridong， BI Wenjun， WEN Bangchun. Predicting chaotic motion of a two endfixed fluid conveying pipe[J]. Journal of Vibration and Shock， 2008， 27（6）： 99102.
[13]BISPLINGHOFF R L， ASHLEY H， HALFMAN R L. Aeroelasticity[M]. Cambridge： AddisonWesley Publishing Co. Inc.， 1955： 285326.
[14]DOWELL E H. Aeroelasticity of plates and shells[M]. Leyden： Noordhoff International Publishing， 1975： 5155.
[15]LI P， YANG Y R， XU W， et al. On the aeroelastic stability and bifurcation structure of subsonic nonlinear thin panels subjected to external excitation[J]. Archive of Applied Mechanics， 2012， 82（9）： 12511267.
（中文编辑：秦瑜英文编辑：兰俊思）
关键词： 亚音速流；壁板；混沌；Melnikov方法
中图分类号： O326文献标志码： AChaotic Motion of TwoDimensional Viscoelastic Panel with
自20世纪60年代日本建成东海道新干线以来，高速列车已经成为当代铁路发展的主流方向.列车在低速运行时，被忽略的气动力成为影响列车高速安全运行的主要因素[12].随着高速列车运行速度不断增加，其气动弹性问题越来越突显.气动弹性问题是发展高速列车亟待解决的关键问题之一[2].由于高速列车车体采用流线型设计，以最大限度地减小空气阻力，因此，在高速列车车身中存在着大量的蒙皮等壁板结构.壁板结构在列车运行时产生振动，如武广客运专线试验时，当列车运行速度达到350 km/h时，车身蒙皮和车窗的振动较大.另外，车身表面气体流动将会对车体形成脉动载荷，迫使整个车身产生较大幅度振动.当列车运行速度较高时，这些壁板结构在气流和轮轨激扰的联合作用下出现复杂的响应[3].因此，对壁板在亚音速气流和轮轨激扰的联合作用下的非线性运动特性加以研究，预测系统出现混沌运动的参数条.
Melnikov法是理论上预测非线性系统出现混沌运动的典型方法[46]，与传统研究非线性动力学的方法相比[712]，该方法用来解析判定拟哈密顿系统出现Smale意义下的混沌.对于哈密顿系统，如果此系统存在同宿或异宿轨道，在弱周期外力的扰动下，系统对应周期轨道不动点的稳定和不稳定流形成分裂，不动点是否相交意味着混沌运动是否会发生.文献[12]中将Melnikov方法引入到管道流固耦合非线性动力系统中，成功地预测了系统出现的混沌运动，为工程应用提供理论依据.
本文采用Galerkin方法对激振力作用下二维壁板在亚音速气流中的非线性动力学方程进行离散，采用Melnikov方法研究了壁板系统出现混沌时系统参数需要满足的条件，确定来流动压和外激励幅值、频率间的临界关系，同时对系统的混沌运动进行数值仿真.西南交通大学学报第48卷第2期李鹏等：外激励作用下亚音速二维粘弹性壁板系统的混沌运动1系统运动方程具有初始中面内力N0的对边简支对边自由中的二维壁板，如图1所示.其长度为l，厚度为h，且hl，壁板单位长度的质量为ρs.上表面作用有沿x方向的亚音速不可压缩气流，其中来流速度为v∞，空气密度为ρ∞.同时，壁板作用有沿y方向的4结束语本文利用Melnikov方法分析了外激励作用下亚音速气流中粘弹性壁板的混沌运动.结果表明：在超过临界无量纲来流动压64.42后，系统平衡点的个数和稳定性均会发生变化；无扰系统存在同宿轨道，扰动系统出现Samle马蹄意义下的混沌.文中采用Melnikov方法计算得到了系统出现混沌运动时各个参数需要满足的临界条件，该临界条件受到外激励幅值、外激励频率和来流动压的影响.与数值模拟结果的对比说明，该方法可以有效地判定系统混沌运动的发生，为工程应用提供理论依据.
参考文献：
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[3]李鹏，杨翊仁，鲁丽. 外激励作用下亚音速二维壁板的分叉及响应研究[J].力学学报，2011，43（4）： 746754.
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[6]GUKENHEIMER J， HOLMES P. Nonlinear oscillations， dynamical system， and bifurcation of vector fields[M]. New York： SpringerVerlag， 1983： 180212. [7]CHEN D L， YANG Y R， FAN C G. Nonlinear flutter of a twodimension thin plate subjected to aerodynamic heating by differential quadrature method[J]. Acta Mechanica Sinica， 2008， 24（1）： 4550.
[8]张伟，霍拳忠. 参数激励和强迫激励联合作用下非线性振动的分叉[J]. 力学学报，1991，23（4）： 464474.
ZHANG Wei， HUO Quanzhong. Bifurcation of nonlinear oscillation system under combined parametric and forcing excitation[J]. Acta Mechanica Sinica， 1991， 23（4）： 464474.
[9]WANG L， NI Q， HUANG Y Y. Bifurcations and chaos in forced cantilever system with impacts[J]. Journal of Sound and Vibration， 2006， 296： 10681078.
[10]KENFACK A. Bifurcation structure of two coupled periodically driven doublewell Duffing oscillators[J]. Chaos， Solutons and Fractals， 2003， 15： 205218.
[11]JING Z J， WANG R Q. Complex dynamics in Duffing system with two external forcings[J]. Chaos， Solitons and Fractals， 2005， 23： 399411.
[12]包日东，毕文军，闻邦椿. 两端固定输流管道混沌运动预测[J]. 振动与冲击，2008，27（6）： 99102.
BAO Ridong， BI Wenjun， WEN Bangchun. Predicting chaotic motion of a two endfixed fluid conveying pipe[J]. Journal of Vibration and Shock， 2008， 27（6）： 99102.
[13]BISPLINGHOFF R L， ASHLEY H， HALFMAN R L. Aeroelasticity[M]. Cambridge： AddisonWesley Publishing Co. Inc.， 1955： 285326.
[14]DOWELL E H. Aeroelasticity of plates and shells[M]. Leyden： Noordhoff International Publishing， 1975： 5155.
[15]LI P， YANG Y R， XU W， et al. On the aeroelastic stability and bifurcation structure of subsonic nonlinear thin panels subjected to external excitation[J]. Archive of Applied Mechanics， 2012， 82（9）： 12511267.
（中文编辑：秦瑜英文编辑：兰俊思）