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【摘要】数学是诸多理工学科的基础,从它诞生一开始,就与人类探索自然的历程息息相关。数学的一些定理、公式等无疑是和自然界相吻合的,不过,一些哲学家对数学的这种地位进行了反思,提出了另一中可能并提出了自己的观点。
【关键词】数学 基础地位 反思
数百年来,数学被称为解开宇宙奥秘和寻求自然构造的钥匙。在今天,数学的定量研究方法已经成为物理、化学、生物等领域寻找正确知识的必要途径。是什么原因赋予了数学这样的基础性地位?数学说到底是人类为了揭示自然奥秘创造的一种符号化的工具,是什么原因让这种人类工具在现实生活中被准确地应用?
一、数学作为其他学科的基础地位的确立
数学成为一门独立的学问,要追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派,根据毕达哥拉斯学派的观点,我们的世界“一切都是数构成的”,并规定了一些数学的公理和定理。后来的柏拉图也认为,数学是理想世界的一部分,物质世界是理想世界的一个摹本。在毕达哥拉斯和柏拉图的系统中,自然的基本世界是数学化的,他们认为宇宙是按照用理性来发现的数学定律在运作,并认为无误的知识可以从少数正确的公理中演绎推理出来。人们是如何寻找数学的真理,并且保证这些真理就是“真理”?欧几里德给出的答案是:数学的真理是绝对无误的,没有为什么的问题。在欧几里德《几何原本》中,我们也能看出一些端倪,《几何原本》中有5个预定的假设和5个公理,欧几里德从数百年实际经验中总结出来这些公理和假设,其余的数学原理可以根据它们的逻辑演绎而来。
欧几里德的几何在很长一段时间内被认为是数学真理的精华,欧式几何的成功原因也在于,一方面,建立了一套天衣无缝的逻辑理论系统;另一方面,这套系统成功地和现实的经验世界所吻合。
在文艺复兴的时候,西方文化从古希腊时代中挖掘智慧的宝藏,毕达哥拉斯和柏拉图等古希腊学者的数学规律被一些基督信徒所热烈地维护并赋予神创的思想,认为数学规律的来源归功于神的理性:一位理性的神按照数学的规律创造了这个世界。
这个观念对后来科学的研究起到了一定积极的作用,当哥白尼提倡日心说而反对地心说时,并没有足够的论据来证实他的立场。但哥白尼认为,一套以太阳为中心的理论在数学上更简洁,不论是否合乎当时大多数人的看法,他把解释天体运作的圆形轨道从80个精简到34个,100年以后开普勒以椭圆代替圆形轨道,使得数学上的计算更简化。
同哥百尼一样,伽利略使得科学离开了经验感观而迈向了数学,进入了抽象的领域中,伽利略的动力理论完全是抽象的遐想,不是以经历到的事物为对象,而是在现实中不可能存在的完美的平面,完美的没有摩擦和空气阻力的环境下做的一种数学推理。伽利略的成就不单是一种理论代替了另一个理论,而且也表示抽象的数学化和大自然规律的完美结合。
这种思想被牛顿发扬光大,牛顿的《自然哲学的数学原理》,也显示了在物理上数学的基础地位。牛顿同样以数学方程式来形容天体和地理的运作规律。牛顿认为,“神设计了整个宇宙,我们很自然地期望它应该按照一个主要的蓝图来运作,因为一个设计宇宙者差不多会采用一套基本原理来推行有关的现象。”牛顿从而证实了宇宙是一个以数学定理来普遍运作的系统。
总而言之,很多早期的科学家研究自然科学,最先抱有的理念就是神以数学结构创造了世界,而人类是可以了解这一数学结构的。以后尽管神的概念从基督教信仰成为泛神论等,牛顿以后的很长时间内,科学界仍深信神的创造是数学知识的唯一保证。在牛顿的影响下,在18世纪末,数学成为一切其他学科的基础和工具。
二、对数学的基础地位的怀疑
怀疑主义很早就在休谟的思想中出现,休谟攻击数学的基础-公理方法,这套公理方法包括两个部分:一套是自明的公理,和一套从自明公理中演绎推理出来的结论。休谟的问题是:我们怎样晓得人类思维中的推理可以符合外在的自然界,我们若按照它的纯粹经验主义的立场来限制一切知识职能来自外在世界的话,那么,我们所有的不过是观感上的数据而已;要是我们考究这些观感上的数据,我们找不到任何符合自然定律的意念。
休谟认为,无论我们如何在我们的观感意念中寻找,我们都无法找到一个因果的力量。我们所见到的不过是有连接性的事物,比如,在一般的讨论中,我们可以说热从火来。但是实际上,我们只是看到火焰,马上就感觉到热。
休谟认为,当我们经历到甲或乙两件事“无间断地连在一起”时,我们思想中就会形成每遇到甲,就必然联想到乙的观念,甲“导致”乙不过是口头上的通用词语而已,它不过告诉我们人心中根据经验而来的期望。所以休谟认为,因果关系的概念根源并非是实际的必须,而只是心理上的作用。
休谟认为,要是在事物之间并无实际上的关联,那么自然规律的必然性就不能成立,所以大自然不能被公理方法来研究。休谟认为,大自然根本不能以任何包括数学在内的逻辑推理系统来表示。认为数学完全实在自圆其说的,它的定理不过是发挥已内含在公理中的意义。
休谟将数学从它是至高无上的科学地位拉了下来,成为不过是一套正式的定义而已——都是自圆其说的理论。
而对康德来说,康德认为,若要从探讨我们思想的内涵着手的话,我们对“心中”的意念是否就与“外在”的世界相符合完全没有任何把握。康德认为,我们的思想可以创造条理——这种条理使我们误认为存在于外在世界。人的思想是要从一堆凌乱的观感数据中注入有条理的思维系统——在变动的感受中加上结构,思维好像屋中摆好的家具,需要房客的适应。
康德认为,我们永远不能确定究竟世界本身是否有数学的结构,我们只能说它似乎如此,我们的思维创造了数学结构。
如上所述,休谟和康德的思想都对数学的基础地位产生了怀疑,康德将人类的思维放在了宇宙的中心,认为哥白尼、伽利略以及牛顿的数学成果和欧式几何不过是人类如何整理空间的思维,数学不过是人类创造出来描述世界的一种工具。
非欧几何的出现,无疑验证康德的这一思想。
在19世纪以前的两千多年,欧氏几何都是和现实协调的,它似乎是一套理想的真理。但数学家高斯在验证欧氏的第五假设即平行公理的时候,创造了非欧几何。科学家认为,欧氏几何是应用于普通日常平面中的系统,而在其他的场合中,非欧几何更为适用,甚至于黎曼几何的出现,爱因斯坦在天文学上应用黎曼几何,也取得了成功。总之,随着非欧氏几何的发展,导致了数学中很多分支的出现,这些数学分支并非符合所有的实际应用需要,只是能解决某些特定场合的问题,数学的真理和现实的真理之间的隔阂越来越大。
如果数学不是真理,那么为何数学如此地有效,使得我们通过数学方程式实现了许多物理、化学等领域上的实际应用。如果说数学只是人创造的一种工具、一种符号,那么这个工具为什么和自然界如此贴近?
笔者认为,现阶段,这个问题是无解的,否则,我们的诸多业已证明的定理、公式将面临一场危机,相信这场危机足以摧毁人类文明的基石!
参考文献:
[1]赵敦华.西方哲学简史.北京:北京大学出版社,2001.
[2]朱家生.数学史.北京:高等教育出版社,2004.
【关键词】数学 基础地位 反思
数百年来,数学被称为解开宇宙奥秘和寻求自然构造的钥匙。在今天,数学的定量研究方法已经成为物理、化学、生物等领域寻找正确知识的必要途径。是什么原因赋予了数学这样的基础性地位?数学说到底是人类为了揭示自然奥秘创造的一种符号化的工具,是什么原因让这种人类工具在现实生活中被准确地应用?
一、数学作为其他学科的基础地位的确立
数学成为一门独立的学问,要追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派,根据毕达哥拉斯学派的观点,我们的世界“一切都是数构成的”,并规定了一些数学的公理和定理。后来的柏拉图也认为,数学是理想世界的一部分,物质世界是理想世界的一个摹本。在毕达哥拉斯和柏拉图的系统中,自然的基本世界是数学化的,他们认为宇宙是按照用理性来发现的数学定律在运作,并认为无误的知识可以从少数正确的公理中演绎推理出来。人们是如何寻找数学的真理,并且保证这些真理就是“真理”?欧几里德给出的答案是:数学的真理是绝对无误的,没有为什么的问题。在欧几里德《几何原本》中,我们也能看出一些端倪,《几何原本》中有5个预定的假设和5个公理,欧几里德从数百年实际经验中总结出来这些公理和假设,其余的数学原理可以根据它们的逻辑演绎而来。
欧几里德的几何在很长一段时间内被认为是数学真理的精华,欧式几何的成功原因也在于,一方面,建立了一套天衣无缝的逻辑理论系统;另一方面,这套系统成功地和现实的经验世界所吻合。
在文艺复兴的时候,西方文化从古希腊时代中挖掘智慧的宝藏,毕达哥拉斯和柏拉图等古希腊学者的数学规律被一些基督信徒所热烈地维护并赋予神创的思想,认为数学规律的来源归功于神的理性:一位理性的神按照数学的规律创造了这个世界。
这个观念对后来科学的研究起到了一定积极的作用,当哥白尼提倡日心说而反对地心说时,并没有足够的论据来证实他的立场。但哥白尼认为,一套以太阳为中心的理论在数学上更简洁,不论是否合乎当时大多数人的看法,他把解释天体运作的圆形轨道从80个精简到34个,100年以后开普勒以椭圆代替圆形轨道,使得数学上的计算更简化。
同哥百尼一样,伽利略使得科学离开了经验感观而迈向了数学,进入了抽象的领域中,伽利略的动力理论完全是抽象的遐想,不是以经历到的事物为对象,而是在现实中不可能存在的完美的平面,完美的没有摩擦和空气阻力的环境下做的一种数学推理。伽利略的成就不单是一种理论代替了另一个理论,而且也表示抽象的数学化和大自然规律的完美结合。
这种思想被牛顿发扬光大,牛顿的《自然哲学的数学原理》,也显示了在物理上数学的基础地位。牛顿同样以数学方程式来形容天体和地理的运作规律。牛顿认为,“神设计了整个宇宙,我们很自然地期望它应该按照一个主要的蓝图来运作,因为一个设计宇宙者差不多会采用一套基本原理来推行有关的现象。”牛顿从而证实了宇宙是一个以数学定理来普遍运作的系统。
总而言之,很多早期的科学家研究自然科学,最先抱有的理念就是神以数学结构创造了世界,而人类是可以了解这一数学结构的。以后尽管神的概念从基督教信仰成为泛神论等,牛顿以后的很长时间内,科学界仍深信神的创造是数学知识的唯一保证。在牛顿的影响下,在18世纪末,数学成为一切其他学科的基础和工具。
二、对数学的基础地位的怀疑
怀疑主义很早就在休谟的思想中出现,休谟攻击数学的基础-公理方法,这套公理方法包括两个部分:一套是自明的公理,和一套从自明公理中演绎推理出来的结论。休谟的问题是:我们怎样晓得人类思维中的推理可以符合外在的自然界,我们若按照它的纯粹经验主义的立场来限制一切知识职能来自外在世界的话,那么,我们所有的不过是观感上的数据而已;要是我们考究这些观感上的数据,我们找不到任何符合自然定律的意念。
休谟认为,无论我们如何在我们的观感意念中寻找,我们都无法找到一个因果的力量。我们所见到的不过是有连接性的事物,比如,在一般的讨论中,我们可以说热从火来。但是实际上,我们只是看到火焰,马上就感觉到热。
休谟认为,当我们经历到甲或乙两件事“无间断地连在一起”时,我们思想中就会形成每遇到甲,就必然联想到乙的观念,甲“导致”乙不过是口头上的通用词语而已,它不过告诉我们人心中根据经验而来的期望。所以休谟认为,因果关系的概念根源并非是实际的必须,而只是心理上的作用。
休谟认为,要是在事物之间并无实际上的关联,那么自然规律的必然性就不能成立,所以大自然不能被公理方法来研究。休谟认为,大自然根本不能以任何包括数学在内的逻辑推理系统来表示。认为数学完全实在自圆其说的,它的定理不过是发挥已内含在公理中的意义。
休谟将数学从它是至高无上的科学地位拉了下来,成为不过是一套正式的定义而已——都是自圆其说的理论。
而对康德来说,康德认为,若要从探讨我们思想的内涵着手的话,我们对“心中”的意念是否就与“外在”的世界相符合完全没有任何把握。康德认为,我们的思想可以创造条理——这种条理使我们误认为存在于外在世界。人的思想是要从一堆凌乱的观感数据中注入有条理的思维系统——在变动的感受中加上结构,思维好像屋中摆好的家具,需要房客的适应。
康德认为,我们永远不能确定究竟世界本身是否有数学的结构,我们只能说它似乎如此,我们的思维创造了数学结构。
如上所述,休谟和康德的思想都对数学的基础地位产生了怀疑,康德将人类的思维放在了宇宙的中心,认为哥白尼、伽利略以及牛顿的数学成果和欧式几何不过是人类如何整理空间的思维,数学不过是人类创造出来描述世界的一种工具。
非欧几何的出现,无疑验证康德的这一思想。
在19世纪以前的两千多年,欧氏几何都是和现实协调的,它似乎是一套理想的真理。但数学家高斯在验证欧氏的第五假设即平行公理的时候,创造了非欧几何。科学家认为,欧氏几何是应用于普通日常平面中的系统,而在其他的场合中,非欧几何更为适用,甚至于黎曼几何的出现,爱因斯坦在天文学上应用黎曼几何,也取得了成功。总之,随着非欧氏几何的发展,导致了数学中很多分支的出现,这些数学分支并非符合所有的实际应用需要,只是能解决某些特定场合的问题,数学的真理和现实的真理之间的隔阂越来越大。
如果数学不是真理,那么为何数学如此地有效,使得我们通过数学方程式实现了许多物理、化学等领域上的实际应用。如果说数学只是人创造的一种工具、一种符号,那么这个工具为什么和自然界如此贴近?
笔者认为,现阶段,这个问题是无解的,否则,我们的诸多业已证明的定理、公式将面临一场危机,相信这场危机足以摧毁人类文明的基石!
参考文献:
[1]赵敦华.西方哲学简史.北京:北京大学出版社,2001.
[2]朱家生.数学史.北京:高等教育出版社,2004.