论文部分内容阅读
【摘要】任何一门科学都有其方法论基础，如同其他科学技术一样，在数学的产生与发展过程中，理论与方法始终是相生相伴。"工欲善其事，必先利其器"，数学方法就是关于数学活动中的"工具"的创造、产生和发展研究的理论归纳，是研究和讨论数学的发展规律，数学思想方法以及数学发现的一般性原理和方法的学问。只有了解数学方法的根本，才能通过对数学方法的掌握提高数学的"解题"能力，并在解题的过程中拿到学好数学的"钥匙"-- 数学思维。下面就结合数学方法论及数学思维的培养做一些交流、研究。
【关键词】数学方法；数学发现；数学思维
数学方法源自数学思想，思想是由思维产生的。思维活动具有多样性，即多种形态。通常把思维分为三类，即抽象（逻辑）思维、形象（直感）思维和灵感（顿悟）思维。根据思维的品质来分，粗略地分再现性思维和发现性思维。再现性思维是指对原有内容的复现，其结果是已知的或较为熟悉的，而发现性思维则要求有所创新。
一、数学发现的基本方法
数学是在解决问题中产生的，并在解决问题的过程中不断发展起来的。美国著名数学家哈尔莫斯（Halmos）说过： "数学的研究主要就是发现问题和解决问题。"
数学发现是以提出问题和解决问题为主要标志的，而这方面的能力又是衡量一个人数学水平的重要标志。因此，提高发现问题和解决问题的能力，就成为老师教好数学，学生学好数学的重要环节，也是研究数学、运用数学必不可少的技能。
发现方法通常包括观察、实验、归纳、猜想等等。
1、观察
在心理学中，观察被看作是一种有目的、有计划、有步骤的感知活动，是一种主动的、对思维起积极作用的感知活动。也可用数学上的"映射"概念来解释观察。观察是由客体或已有成果到大脑的一种"映射"，其中眼睛就好比一架照相机，它把已有的客观材料摄入人的大脑，让大脑去分析处理，从而形成新的成果--发现。
数学方法的产生，数学结论的形成无不依赖于观察。例如"π"，有人曾说关于π的研究水平就代表一个国家的数学水平。以下几个有关于π的有趣性质无疑是学者们惊人的观察结果。
①、314159是个素数，而且是个逆素数，即951413也是素数；
②、314159各位数的补数构成的数796951也是一个素数，且也是一个逆素数；
③、31，41，59是三个素数，且都是孪生素数；
④、31+41+59=131（三对数的一次方和）是对称素数，这三对数的立方和为304091也是素数，并且这三对数的五次方和为859409651也是素数；
······
2、实验
实验是在观察的基础上，进一步发挥人的主观能动作用，从而进一步获得感性资料。实验是人们根据科学研究的目的，运用一定的研究手段（通常指器具、仪器或科研设备），在人为控制、变革或模拟客观对象的条件下，通过观察获取感性经验和科学事实的研究方法。观察依赖于实验，而实验伴随着观察，它们两者之间是互相依存的。
数学实验可以通过计算机提供的数据、图像及动态表现，有了更多的观察、探索、试验和模拟的机会，在此基础上，可产生顿悟和直觉，形成猜想，再利用数学手段，对猜想进行肯定或否定。
3、归纳猜想
在研究数学问题上，我们常常在观察和实验的基础上，把一些特殊问题一般化，从中发现新问题，有时还可以发现新问题的解法，这种从特殊到一般的思考，能否有所发现，关键在于能否恰当的运用归纳法，能否从个别的例子中归纳概括出一般性的结论和方法来。对于学习数学、研究数学方法、数学问题的解法的学生及学者来说，能否从个别事例中总结和归纳出一般性的结论，对于学好数学，发现数学方法，乃至解决生活中的这样那样的问题都是至关重要的。
二、数学思维
数学思维的过程就是解题的过程，其中即有逻辑思维，又有直觉思维；有分析与综合、抽象与概括、比较与类比，也有归纳与猜想、观察与尝试、想像与顿悟，是一个极其复杂的心理过程。
培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口。在教学过程中应该有不同的培养手段。
（1）、思维的深刻性既是数学的性质决定了数学教学既要以学生为基础，又要培养学生的思维深刻性。数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成通过主动的观察发现问题并追根究底的习惯（观察的主动性）。
（2）、数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，在考虑训练学生的运算速度的同时要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且還有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，使学生掌握速算的要领。
（3）、培养学生的思维灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到"举一反三"。教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性有很大作用。如在概念教学中，使学生用等值语言叙述概念；数学公式教学中，要求学生掌握公式的各种变形等，都有利于培养思维的灵活性。
（4）、创造性思维品质的培养，首先应当使学生融会贯通地学习知识，养成独立思考的习惯。在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，使学生多思善问。能够提出高质量的问题是创新的开始。数学教学中应当鼓励学生提出不同看法（猜想），并引导学生积极思考和归纳总结。
此外，还应加强分析、综合、类比等方法的训练，提高学生的逻辑思维能力；加强逆向应用公式和逆向思考的训练，提高逆向思维能力；通过解题错、漏的剖析，提高辨识思维能力；通过一题多解（证）的训练，提高发散思维能力等。
综上所述，能否学好数学，提高数学思维能力，就在于能否在现实中善于发现问题并找到解决问题的捷径。而这条"捷径"是可以通过后天努力和培养的，这就要求我们要在平时提高自己观察--实验--归纳的能力。
【参考文献】
［1］《数学方法论与解题研究》高等教育出版社
【关键词】数学方法；数学发现；数学思维
数学方法源自数学思想，思想是由思维产生的。思维活动具有多样性，即多种形态。通常把思维分为三类，即抽象（逻辑）思维、形象（直感）思维和灵感（顿悟）思维。根据思维的品质来分，粗略地分再现性思维和发现性思维。再现性思维是指对原有内容的复现，其结果是已知的或较为熟悉的，而发现性思维则要求有所创新。
一、数学发现的基本方法
数学是在解决问题中产生的，并在解决问题的过程中不断发展起来的。美国著名数学家哈尔莫斯（Halmos）说过： "数学的研究主要就是发现问题和解决问题。"
数学发现是以提出问题和解决问题为主要标志的，而这方面的能力又是衡量一个人数学水平的重要标志。因此，提高发现问题和解决问题的能力，就成为老师教好数学，学生学好数学的重要环节，也是研究数学、运用数学必不可少的技能。
发现方法通常包括观察、实验、归纳、猜想等等。
1、观察
在心理学中，观察被看作是一种有目的、有计划、有步骤的感知活动，是一种主动的、对思维起积极作用的感知活动。也可用数学上的"映射"概念来解释观察。观察是由客体或已有成果到大脑的一种"映射"，其中眼睛就好比一架照相机，它把已有的客观材料摄入人的大脑，让大脑去分析处理，从而形成新的成果--发现。
数学方法的产生，数学结论的形成无不依赖于观察。例如"π"，有人曾说关于π的研究水平就代表一个国家的数学水平。以下几个有关于π的有趣性质无疑是学者们惊人的观察结果。
①、314159是个素数，而且是个逆素数，即951413也是素数；
②、314159各位数的补数构成的数796951也是一个素数，且也是一个逆素数；
③、31，41，59是三个素数，且都是孪生素数；
④、31+41+59=131（三对数的一次方和）是对称素数，这三对数的立方和为304091也是素数，并且这三对数的五次方和为859409651也是素数；
······
2、实验
实验是在观察的基础上，进一步发挥人的主观能动作用，从而进一步获得感性资料。实验是人们根据科学研究的目的，运用一定的研究手段（通常指器具、仪器或科研设备），在人为控制、变革或模拟客观对象的条件下，通过观察获取感性经验和科学事实的研究方法。观察依赖于实验，而实验伴随着观察，它们两者之间是互相依存的。
数学实验可以通过计算机提供的数据、图像及动态表现，有了更多的观察、探索、试验和模拟的机会，在此基础上，可产生顿悟和直觉，形成猜想，再利用数学手段，对猜想进行肯定或否定。
3、归纳猜想
在研究数学问题上，我们常常在观察和实验的基础上，把一些特殊问题一般化，从中发现新问题，有时还可以发现新问题的解法，这种从特殊到一般的思考，能否有所发现，关键在于能否恰当的运用归纳法，能否从个别的例子中归纳概括出一般性的结论和方法来。对于学习数学、研究数学方法、数学问题的解法的学生及学者来说，能否从个别事例中总结和归纳出一般性的结论，对于学好数学，发现数学方法，乃至解决生活中的这样那样的问题都是至关重要的。
二、数学思维
数学思维的过程就是解题的过程，其中即有逻辑思维，又有直觉思维；有分析与综合、抽象与概括、比较与类比，也有归纳与猜想、观察与尝试、想像与顿悟，是一个极其复杂的心理过程。
培养学生的数学思维品质是培养和发展数学能力的突破口。在教学过程中应该有不同的培养手段。
（1）、思维的深刻性既是数学的性质决定了数学教学既要以学生为基础，又要培养学生的思维深刻性。数学教学中应当教育学生学会透过现象看本质，学会全面地思考问题，养成通过主动的观察发现问题并追根究底的习惯（观察的主动性）。
（2）、数学思维的敏捷性主要反映了正确前提下的速度问题。因此，数学教学中，在考虑训练学生的运算速度的同时要尽量使学生掌握数学概念、原理的本质，提高所掌握的数学知识的抽象程度。运算速度不仅仅是对数学知识理解程度的差异，而且還有运算习惯以及思维概括能力的差异。因此，数学教学中，应当时刻向学生提出速度方面的要求，使学生掌握速算的要领。
（3）、培养学生的思维灵活性，应当增强数学教学的变化性，为学生提供思维的广泛联想空间，使学生在面临问题时能够从多种角度进行考虑，并迅速地建立起自己的思路，真正做到"举一反三"。教学实践表明，变式教学对于培养学生思维的灵活性有很大作用。如在概念教学中，使学生用等值语言叙述概念；数学公式教学中，要求学生掌握公式的各种变形等，都有利于培养思维的灵活性。
（4）、创造性思维品质的培养，首先应当使学生融会贯通地学习知识，养成独立思考的习惯。在独立思考的基础上，还要启发学生积极思考，使学生多思善问。能够提出高质量的问题是创新的开始。数学教学中应当鼓励学生提出不同看法（猜想），并引导学生积极思考和归纳总结。
此外，还应加强分析、综合、类比等方法的训练，提高学生的逻辑思维能力；加强逆向应用公式和逆向思考的训练，提高逆向思维能力；通过解题错、漏的剖析，提高辨识思维能力；通过一题多解（证）的训练，提高发散思维能力等。
综上所述，能否学好数学，提高数学思维能力，就在于能否在现实中善于发现问题并找到解决问题的捷径。而这条"捷径"是可以通过后天努力和培养的，这就要求我们要在平时提高自己观察--实验--归纳的能力。
【参考文献】
［1］《数学方法论与解题研究》高等教育出版社