论文部分内容阅读
摘要：从一道课本复习题引发对练习不同表现形式的教学探索，引导学生去发现，进而掌握本质，在获得成功的同时，激发学生的学习兴趣，促使各个层次的学生都能得到一定的发展。
关键词：发现；变式；数形结合
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）08-0122
波利亚曾说过，一个专心备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的多个方面，使通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。
但是，教学实践又告诉我，学生并不喜欢被教师牵着鼻子走，因为兴趣才是最好的老师。如何让学生打开那道门户呢？
按照新课程标准“面向全体学生，立足双基”的要求，从学生认知能力和思维能力的最近区域出发，充分发挥学生的主体意识，发现问题，从特殊到一般，探索规律，总结经验，力求达到层层递进、分解难度，在获得成功的同时，激发学生的学习兴趣，促使各个层次的学生都能得到一定的发展。
现在以浙教版八下P156练习8的教学为例来说明，让学生自己发现：数学并不神秘，只要我们立足基础，虽然横看成岭侧成峰，但透过层层迷雾，能够发现它的本来面目，增强学习的自信，拓宽知识面，改进自己的认知！
原题：在反比例函数（y=■>0）的图像上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标分别是1、2、3、4，分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为s1、s2、s3，则s1 s2 s3= 。
本题主要考查了y=■反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k，是经常考查的知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义，并在解题过程中结合所给的条件，充分挖掘使用相应的解题技巧。
一、立足双基，梳理知识点
解决问题首先要从学生的认知能力和思维能力的最近区域出发，符合学生学情。
知识点：
设P（x，y）是反比例函数y=■图像上的任一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足为A，
则（1）OPA的面积=■OA·PA=■xy=■k
（2）矩形OAPB的面积=OA·PA=xy=k
这就是比例系数K的几何意义，并且无论P如何移动，OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。
二、预设问题，做准备工作
要求学生利用K的几何意义，充分思考。
问题：对于反比例函数y=■，
1. S1与S2的大小？
2. 当0A1=A1A2时，S3与S2的大小？
问2的设计意图：既承接原题的相邻横坐标等距的意思，又为变式拓展时的表述的正确理解做铺垫。凸显这个条件的重要性，让学生更加有效地理解题目。
三、一题多解，把握其本质
一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用不同的解法求得相同结果的思维过程。教学中适当地运用一题多解，可以激发学生发现或创造的强烈愿望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟应用。
解原题：由题意，可知点P1、P2、P3、P4的坐标为：（1，2）、（2，1）、（3，■），（4，■）
解法一：
∵s1=1×（2-1）=1，s2=1×（1-■）=■，
s3=1×（■-■）=■
∴s1 s2 s3=1 ■ ■=■
学生取名累加法
解法二：
∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，
∴1×2-■=■，
故答案为：■。
学生取名推积木法
总结：
解法一用到了函数基本技能：求点坐标，再结合图形求解。
解法二由图形的特点入手，通过图形的平移变换变成一个矩形，再利用坐标计算。两种方法都体现出了数形结合在解此类问题的优势，并且让学生体会这些基本解题经验。
四、变式训练，横侧皆看清
变式训练的目的是对一道题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列的新题，甚至得到更一般的结论，从而增强学生的应变能力和解题的信心，是减少题海战术的好方法，并培养了学生学会如何真正吃透题目，同时还要坚持以学生为主体，教师作为组织和引导的角色。
积极引导学生发现原题中的一些特定的数据和顺序，可以改变吗？改变后还有相关结论吗？你能给出解答吗？
学生1：发现例题的横坐标间隔都是1，可以改变吗？
变式1：改变特殊条件为一般条件（例题的横坐标间隔都是1
横坐标间隔等距）
过在反比例函数（y=■>0）的图像上的点P1、P2、P3…Pn、Pn 1分别作x轴、y轴的垂线段，在轴的垂足分别为A1、A2、A3…An、An 1，构成若干个矩形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…如图所示，将阴影部分的面积从左到右依次为s1、s2、s3…sn，则= s1 s2 s3 … sn=
（用含n的代数式表示）
解：设=OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=a
则P1（a，2/a），P2（2a，2/2a）
Pn（na，2/na），Pn 1（（n 1）a，2/（n 1）a），
解法一：累加法
s1 s2 s3 … s=a（2/a-2/（n 1）a）=2n/n 1
解法二：推積木法 目的：进行知识的正迁移。体现数学从特殊到一般的探究式的自主学习方式。学生解决。
学生2：那么不等距呢？
变式2：横坐标间隔等距 不等距
（新编）在反比例函数（y=■>0）的图像上，S1 S2 S3= 。
学生发现：原式=s1 2s2 s3，可以单个计算，累加。学生解决。
学生3：发现反比例函数是确定的。
变式3：进一步改变特殊条件为一般条件（比例系数k如果也不知道呢？）
把变式1中的反比例函数改成（y=■>0）？
发现两种解法照样可以解决：s1 s2 s3 … sn=Kn/n 1
学生发现有些问题，哪怕变成一般条件，照样能够找到规律和一般结论。学生解决。
学生4：一定要第1个加到最后一个吗？
变式4：改变结论（取部分的和）
（改编）反比例函数改成（y=■>0），OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…
当k=8时，s2 s3= 。
这个问题有一定难度，需要在找到规律的同时，学生合作解决！
学生5：能把条件和结论换个位置吗？
变式5：改条件为结论，结论为条件。
（新编）当s2 s3=5时，k等于多少？（知识负迁移）
效果：激发学生的逆向思维，主动运用方程思想，解决问题的能力。合作解决。
学生6：一定要是矩形嗎？
变式6：从矩形变成三角形
（改编）在反比例函数（y=■>0）的图像上，若OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…现分别过点A1、A2、A3、…An、An 1…作x轴的垂线段，交反比例函数图像于点P1、P2、P3、P4、P5构成若干个三角形，如图所示，将阴影部分的面积从左到右依次记为s1、s2、s3、s4、s5，已知s4=2，则s1= 。
解：再次探究规律，sn=■。
∵s4=■=2
∴k=16，s1=■=8
发现是什么？发现是一切智慧的起源！只有敢于发现的人，才有获得新知识的动力。在教学中，我们需要让学生发现问题，并引导他们如何去改变，获得更多的、更完整的处理问题的经验。
在探究过程中，我发现学生发现的并不比我们少，有弱化条件的，有改变图形的，有找规律的，也有求特殊的，甚至有学生问“会不会有动点问题？”这些发现和改变无疑都是很精彩的。
（作者单位：浙江省绍兴市上虞区张杰中学 312000）
关键词：发现；变式；数形结合
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）08-0122
波利亚曾说过，一个专心备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的多个方面，使通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。
但是，教学实践又告诉我，学生并不喜欢被教师牵着鼻子走，因为兴趣才是最好的老师。如何让学生打开那道门户呢？
按照新课程标准“面向全体学生，立足双基”的要求，从学生认知能力和思维能力的最近区域出发，充分发挥学生的主体意识，发现问题，从特殊到一般，探索规律，总结经验，力求达到层层递进、分解难度，在获得成功的同时，激发学生的学习兴趣，促使各个层次的学生都能得到一定的发展。
现在以浙教版八下P156练习8的教学为例来说明，让学生自己发现：数学并不神秘，只要我们立足基础，虽然横看成岭侧成峰，但透过层层迷雾，能够发现它的本来面目，增强学习的自信，拓宽知识面，改进自己的认知！
原题：在反比例函数（y=■>0）的图像上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标分别是1、2、3、4，分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为s1、s2、s3，则s1 s2 s3= 。
本题主要考查了y=■反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为k，是经常考查的知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义，并在解题过程中结合所给的条件，充分挖掘使用相应的解题技巧。
一、立足双基，梳理知识点
解决问题首先要从学生的认知能力和思维能力的最近区域出发，符合学生学情。
知识点：
设P（x，y）是反比例函数y=■图像上的任一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足为A，
则（1）OPA的面积=■OA·PA=■xy=■k
（2）矩形OAPB的面积=OA·PA=xy=k
这就是比例系数K的几何意义，并且无论P如何移动，OPA的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。
二、预设问题，做准备工作
要求学生利用K的几何意义，充分思考。
问题：对于反比例函数y=■，
1. S1与S2的大小？
2. 当0A1=A1A2时，S3与S2的大小？
问2的设计意图：既承接原题的相邻横坐标等距的意思，又为变式拓展时的表述的正确理解做铺垫。凸显这个条件的重要性，让学生更加有效地理解题目。
三、一题多解，把握其本质
一题多解是从不同的角度、不同的方位审视分析同一题中的数量关系，用不同的解法求得相同结果的思维过程。教学中适当地运用一题多解，可以激发学生发现或创造的强烈愿望，加深学生对所学知识的深刻理解，训练学生对数学思想和数学方法的娴熟应用。
解原题：由题意，可知点P1、P2、P3、P4的坐标为：（1，2）、（2，1）、（3，■），（4，■）
解法一：
∵s1=1×（2-1）=1，s2=1×（1-■）=■，
s3=1×（■-■）=■
∴s1 s2 s3=1 ■ ■=■
学生取名累加法
解法二：
∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，
∴1×2-■=■，
故答案为：■。
学生取名推积木法
总结：
解法一用到了函数基本技能：求点坐标，再结合图形求解。
解法二由图形的特点入手，通过图形的平移变换变成一个矩形，再利用坐标计算。两种方法都体现出了数形结合在解此类问题的优势，并且让学生体会这些基本解题经验。
四、变式训练，横侧皆看清
变式训练的目的是对一道题或联想，或类比，或推广，可以得到一系列的新题，甚至得到更一般的结论，从而增强学生的应变能力和解题的信心，是减少题海战术的好方法，并培养了学生学会如何真正吃透题目，同时还要坚持以学生为主体，教师作为组织和引导的角色。
积极引导学生发现原题中的一些特定的数据和顺序，可以改变吗？改变后还有相关结论吗？你能给出解答吗？
学生1：发现例题的横坐标间隔都是1，可以改变吗？
变式1：改变特殊条件为一般条件（例题的横坐标间隔都是1
横坐标间隔等距）
过在反比例函数（y=■>0）的图像上的点P1、P2、P3…Pn、Pn 1分别作x轴、y轴的垂线段，在轴的垂足分别为A1、A2、A3…An、An 1，构成若干个矩形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…如图所示，将阴影部分的面积从左到右依次为s1、s2、s3…sn，则= s1 s2 s3 … sn=
（用含n的代数式表示）
解：设=OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5=a
则P1（a，2/a），P2（2a，2/2a）
Pn（na，2/na），Pn 1（（n 1）a，2/（n 1）a），
解法一：累加法
s1 s2 s3 … s=a（2/a-2/（n 1）a）=2n/n 1
解法二：推積木法 目的：进行知识的正迁移。体现数学从特殊到一般的探究式的自主学习方式。学生解决。
学生2：那么不等距呢？
变式2：横坐标间隔等距 不等距
（新编）在反比例函数（y=■>0）的图像上，S1 S2 S3= 。
学生发现：原式=s1 2s2 s3，可以单个计算，累加。学生解决。
学生3：发现反比例函数是确定的。
变式3：进一步改变特殊条件为一般条件（比例系数k如果也不知道呢？）
把变式1中的反比例函数改成（y=■>0）？
发现两种解法照样可以解决：s1 s2 s3 … sn=Kn/n 1
学生发现有些问题，哪怕变成一般条件，照样能够找到规律和一般结论。学生解决。
学生4：一定要第1个加到最后一个吗？
变式4：改变结论（取部分的和）
（改编）反比例函数改成（y=■>0），OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…
当k=8时，s2 s3= 。
这个问题有一定难度，需要在找到规律的同时，学生合作解决！
学生5：能把条件和结论换个位置吗？
变式5：改条件为结论，结论为条件。
（新编）当s2 s3=5时，k等于多少？（知识负迁移）
效果：激发学生的逆向思维，主动运用方程思想，解决问题的能力。合作解决。
学生6：一定要是矩形嗎？
变式6：从矩形变成三角形
（改编）在反比例函数（y=■>0）的图像上，若OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4A5…现分别过点A1、A2、A3、…An、An 1…作x轴的垂线段，交反比例函数图像于点P1、P2、P3、P4、P5构成若干个三角形，如图所示，将阴影部分的面积从左到右依次记为s1、s2、s3、s4、s5，已知s4=2，则s1= 。
解：再次探究规律，sn=■。
∵s4=■=2
∴k=16，s1=■=8
发现是什么？发现是一切智慧的起源！只有敢于发现的人，才有获得新知识的动力。在教学中，我们需要让学生发现问题，并引导他们如何去改变，获得更多的、更完整的处理问题的经验。
在探究过程中，我发现学生发现的并不比我们少，有弱化条件的，有改变图形的，有找规律的，也有求特殊的，甚至有学生问“会不会有动点问题？”这些发现和改变无疑都是很精彩的。
（作者单位：浙江省绍兴市上虞区张杰中学 312000）