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摘要：数学的抽象性必须以具体的素材为基础，任何抽象的数学概念、命题，甚至数学思想和方法都有具体生动的现实原型。本文提出如何在中职数学教学中贯彻具体与抽象相结合的原则，从学生的感知出发，以客观事实为基础，从具体到抽象，逐步形成抽象的教学概念，进而上升为理论，然后用理论再去解决数学应用问题和生活实际问题。
关键词：中职数学；具体；抽象
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0018
整个数学学科，是将现实世界的数量关系和空间结构，经过抽象概括、符号表示，以纯粹的形式进行演算、推理与证明，最后构成形式化的体系。数学一旦表达成为形式化的思想体系之后，往往会把生动的现实内容放在一边。
数学的抽象性应该具有层次性和阶段性。在把具体事物抽象的过程中，不应该掩盖数学抽象的对象——形式化的思想材料，这些材料仍可以溯源于经验世界。所以，在数学教学过程中就应该从学生的思维特征、生活实际和数学现实出发，在不同的阶段施予不同的思维材料，让学生经历数学抽象的层次性和阶段性。下面，笔者谈谈如何在中职数学教学中贯彻具体与抽象相结合的原则的策略。
一、概念教学的策略
数学概念的教学应从实例引入。数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。多数数学概念是从它们的现实模型中直接抽象出来的，提供实例有助于形成概念。
如函数概念章节，可采用如下步骤让学生理解函数的概念：
第一步：让学生分别指出下面例子中的变量。以自变量之间的关系的表达方式：1. 某市2000～2015年的国内生产总值（表略）；2. 高速公路上汽车匀速行驶，路程、速度（90km/h）、时间之间的关系；3. 某市某日24小时气温变化图（图略）。
第二步：找出上各实例中变量之间关系的共同本质特征。学生经过多次分析比较后可知，一个变量每取一个确定的值，相应地另一变量也唯一地确定一个值，是函数的本质属性。同时，前一个变量取值是有一定范围的，并不是随便取的，也是它们共同的本质属性，而变量所代表的实际意义是什么，用什么字母来表示变量等非本质属性。
第三步：抽象、归纳、概括出函数定义，并通过练习加以巩固。
再如，在教学中，可以以学生熟悉的事情为现实模型，使学生有一个感性认识，然后分析、抽象、引申、归纳出该事物的本质属性，推广到一般，最终概括出数学概念。
例如，古典概型的概念的过程中，引入三个随机试验进行比较：
试验一：在班级中上随机抽取学号，叫同学回答问题；
试验二：在草稿纸上随意点一下（假设笔迹是一个点，且笔点的任一位置是等可能的）；
试验三：玩飞镖游戏时，飞镖投中的环数。
通过试验一和试验二的比较分析，两个试验的共同特质是试验每个结果发生的可能性是相等的；通过试验一和试验三的比较，两个试验的共同特质是试验的一切可能的结果是有限的。引导归纳出，只有试验一同时具备了，每个结果发生的可能性相当和一切可能的结果是有限的这两个特征。从而抽象出古典概型的概念——“随机试验一切可能的结果是有限的且每个结果发生的可能性是相等的，这样的随机试验叫做古典概型”。
通过多次重复这一过程，学生逐渐掌握了如何选取实例，如何概括一般性理论和如何培养研究实际问题的能力，这样也就掌握了这一数学概念的形成方法。
二、定理（公式、法则）教学的策略
数学定理（公式、法则）的教学策略要提供现实原型或从特例引入。
数学定理是从现实世界的空间和数量关系中抽象出来的，一般来说在现实世界中总能找到它们的原型。如“三脚架能稳固地放在地面上”就是定理“不共线的三点确定一个平面”的一个现实原型，提供定理的现实原型有助于学生对定理的初步理解。
例如，中职数学教材讲等差数列的求和公式时，引入200多年前高斯求1 2 3 …… 100=？的过程：
（1 100） （2 99） …… （50 51）=101×50=5050
而（1 100）/2=（2 99）/2=……=（50 51）/2，则
1 2 3 …… 100=（50 51）/2×100=5050
由上述过程可以得到如下启示：1. 等差数求和可先求数列的平均数，再用平均数乘数列的项数得和；2. 等差数列的首尾两项之和等于第二项与倒数第二项的和，等于第三项与倒数第三项的和……等于中间两项的和或中间一项的两倍，因此，等差数列的平均数就等于中间那一项的值，或中间两项的平均数，或首尾两项的平均数，或……由此可推测等差数列前n项和的公式为，最后再加以论证即可。
这样做有以下几点好处：（1）引入数学史典故易激发学生学习的兴趣；（2）有助于记住公式。当要用到等差数列求和公式时，只要联想到上连过程，就可以回忆起公式；（3）使等差数列求和公式所包含的“道理”更加明了，有助于学生灵活运用。
三、解题教学的策略
解题教学时要培养学生具体问题具体分析，用具体的方法解决问题的能力。作为学生掌握知识的过程来说，仅仅由具体到抽象，由感性认识到理性认识是不够的，为了加深对知识的理解，还需要把所学的知识运用到同类问题中，从而检验和深化抽象的理论，并且从中学到必要的技能和技巧。所以，为了让学生真正掌握所学的知识，教师必须依据教材的要求，向学生提出一些问题，或是布置一些习题作业，使学生依据所学概念定理和法则等知识，或是去辨认同类的有关事物，或是去解决、说明同类事物的有关现象，或是去完成相应的操作等。
在数学教学中指导学生解题是相当重要的，它一方面可以看作抽象知识的具体化过程，另一方面，通过解题又学到一些新的知识、技能和方法，从某种意义上来说又是由具体到抽象的过程。
解题的教学也是抽象到具体的一种体现，在解题的教学中我们需要注意以下五个方面：
1. 要注意选题的目的性（不是依据兴趣和爱好）。2. 注意它们系统性的安排，由易到难、由简单到复杂、由单一到综合。3. 注意把讲授的重点放在探索解题的途径上。4. 注意与必要的理论知识联系。5. 注意做必要的小结，把具体的题目能提到“一般性”的高度来认识。
所以，首先要引导学生从问题本身已知和未知之间的内在联系出发，去寻找问题的解决办法，而不要过早地将问题进行分类，避免学生只会生搬硬套公式、定理和模仿例题进行解题，把解题过程、解题步骤作为学习的重点。
总之，抽象性与具体性相结合的原则，即具体——抽象——具体的原则，在数学教学中运用是很广泛的。虽然理解数学的抽象性是一项基本要求，但不能只限于抽象的表达，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在抽象化的海洋里。因此，具体与抽象相结合的原则对教学过程的安排起着特别重要的作用。
参考文献：
[1] 曹才翰.中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，2007.
[2] 朱湘花.关于数学教学培养学生形象思维能力的几点思考[J].当代教育论坛，2007（11）.
（作者单位：浙江省温州第二职业中等专业学校 325000）
关键词：中职数学；具体；抽象
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）03-0018
整个数学学科，是将现实世界的数量关系和空间结构，经过抽象概括、符号表示，以纯粹的形式进行演算、推理与证明，最后构成形式化的体系。数学一旦表达成为形式化的思想体系之后，往往会把生动的现实内容放在一边。
数学的抽象性应该具有层次性和阶段性。在把具体事物抽象的过程中，不应该掩盖数学抽象的对象——形式化的思想材料，这些材料仍可以溯源于经验世界。所以，在数学教学过程中就应该从学生的思维特征、生活实际和数学现实出发，在不同的阶段施予不同的思维材料，让学生经历数学抽象的层次性和阶段性。下面，笔者谈谈如何在中职数学教学中贯彻具体与抽象相结合的原则的策略。
一、概念教学的策略
数学概念的教学应从实例引入。数学概念是揭示现实世界空间形式与数量关系本质属性的思维形式。多数数学概念是从它们的现实模型中直接抽象出来的，提供实例有助于形成概念。
如函数概念章节，可采用如下步骤让学生理解函数的概念：
第一步：让学生分别指出下面例子中的变量。以自变量之间的关系的表达方式：1. 某市2000～2015年的国内生产总值（表略）；2. 高速公路上汽车匀速行驶，路程、速度（90km/h）、时间之间的关系；3. 某市某日24小时气温变化图（图略）。
第二步：找出上各实例中变量之间关系的共同本质特征。学生经过多次分析比较后可知，一个变量每取一个确定的值，相应地另一变量也唯一地确定一个值，是函数的本质属性。同时，前一个变量取值是有一定范围的，并不是随便取的，也是它们共同的本质属性，而变量所代表的实际意义是什么，用什么字母来表示变量等非本质属性。
第三步：抽象、归纳、概括出函数定义，并通过练习加以巩固。
再如，在教学中，可以以学生熟悉的事情为现实模型，使学生有一个感性认识，然后分析、抽象、引申、归纳出该事物的本质属性，推广到一般，最终概括出数学概念。
例如，古典概型的概念的过程中，引入三个随机试验进行比较：
试验一：在班级中上随机抽取学号，叫同学回答问题；
试验二：在草稿纸上随意点一下（假设笔迹是一个点，且笔点的任一位置是等可能的）；
试验三：玩飞镖游戏时，飞镖投中的环数。
通过试验一和试验二的比较分析，两个试验的共同特质是试验每个结果发生的可能性是相等的；通过试验一和试验三的比较，两个试验的共同特质是试验的一切可能的结果是有限的。引导归纳出，只有试验一同时具备了，每个结果发生的可能性相当和一切可能的结果是有限的这两个特征。从而抽象出古典概型的概念——“随机试验一切可能的结果是有限的且每个结果发生的可能性是相等的，这样的随机试验叫做古典概型”。
通过多次重复这一过程，学生逐渐掌握了如何选取实例，如何概括一般性理论和如何培养研究实际问题的能力，这样也就掌握了这一数学概念的形成方法。
二、定理（公式、法则）教学的策略
数学定理（公式、法则）的教学策略要提供现实原型或从特例引入。
数学定理是从现实世界的空间和数量关系中抽象出来的，一般来说在现实世界中总能找到它们的原型。如“三脚架能稳固地放在地面上”就是定理“不共线的三点确定一个平面”的一个现实原型，提供定理的现实原型有助于学生对定理的初步理解。
例如，中职数学教材讲等差数列的求和公式时，引入200多年前高斯求1 2 3 …… 100=？的过程：
（1 100） （2 99） …… （50 51）=101×50=5050
而（1 100）/2=（2 99）/2=……=（50 51）/2，则
1 2 3 …… 100=（50 51）/2×100=5050
由上述过程可以得到如下启示：1. 等差数求和可先求数列的平均数，再用平均数乘数列的项数得和；2. 等差数列的首尾两项之和等于第二项与倒数第二项的和，等于第三项与倒数第三项的和……等于中间两项的和或中间一项的两倍，因此，等差数列的平均数就等于中间那一项的值，或中间两项的平均数，或首尾两项的平均数，或……由此可推测等差数列前n项和的公式为，最后再加以论证即可。
这样做有以下几点好处：（1）引入数学史典故易激发学生学习的兴趣；（2）有助于记住公式。当要用到等差数列求和公式时，只要联想到上连过程，就可以回忆起公式；（3）使等差数列求和公式所包含的“道理”更加明了，有助于学生灵活运用。
三、解题教学的策略
解题教学时要培养学生具体问题具体分析，用具体的方法解决问题的能力。作为学生掌握知识的过程来说，仅仅由具体到抽象，由感性认识到理性认识是不够的，为了加深对知识的理解，还需要把所学的知识运用到同类问题中，从而检验和深化抽象的理论，并且从中学到必要的技能和技巧。所以，为了让学生真正掌握所学的知识，教师必须依据教材的要求，向学生提出一些问题，或是布置一些习题作业，使学生依据所学概念定理和法则等知识，或是去辨认同类的有关事物，或是去解决、说明同类事物的有关现象，或是去完成相应的操作等。
在数学教学中指导学生解题是相当重要的，它一方面可以看作抽象知识的具体化过程，另一方面，通过解题又学到一些新的知识、技能和方法，从某种意义上来说又是由具体到抽象的过程。
解题的教学也是抽象到具体的一种体现，在解题的教学中我们需要注意以下五个方面：
1. 要注意选题的目的性（不是依据兴趣和爱好）。2. 注意它们系统性的安排，由易到难、由简单到复杂、由单一到综合。3. 注意把讲授的重点放在探索解题的途径上。4. 注意与必要的理论知识联系。5. 注意做必要的小结，把具体的题目能提到“一般性”的高度来认识。
所以，首先要引导学生从问题本身已知和未知之间的内在联系出发，去寻找问题的解决办法，而不要过早地将问题进行分类，避免学生只会生搬硬套公式、定理和模仿例题进行解题，把解题过程、解题步骤作为学习的重点。
总之，抽象性与具体性相结合的原则，即具体——抽象——具体的原则，在数学教学中运用是很广泛的。虽然理解数学的抽象性是一项基本要求，但不能只限于抽象的表达，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在抽象化的海洋里。因此，具体与抽象相结合的原则对教学过程的安排起着特别重要的作用。
参考文献：
[1] 曹才翰.中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，2007.
[2] 朱湘花.关于数学教学培养学生形象思维能力的几点思考[J].当代教育论坛，2007（11）.
（作者单位：浙江省温州第二职业中等专业学校 325000）