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数形结合思想是指把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法.主要包含“以形助数”和“以数助形”两个方面.其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明“数”之间的联系，即以形作为手段，数作为目的；二是借助于“数”的精确性和规范严密性来阐明“形”的某些属性，即以“数”作为手段，“形”作为目的.
纵观多年来的中考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，下面结合几个例题作一阐述.
例1如图1，抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0）两点，则一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根是.
分析：解答这个问题可以有两种方法.
方法1：把A（-1，0），B（3，0）两点代入y=x2+bx+c中，得到关于b，c的方程组，求出b，c的值，再解一元二次方程x2+bx+c=0.从而解答问题.
方法2：借助二次函数y=x2+bx+c的图象，利用一元二次方程x2+bx+c=0与二次函数y=x2+bx+c的关系来解答问题.一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根就是抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点A（-1，0），B（3，0）的横坐标，所以方程的两个实数根分别是-1，3.
点评：做这个题时若用方法1，必须有较强的计算能力（如必须能准确求出关于b，c的方程组的解），否则不能正确解答问题.若想到用方法2解答会既简单又准确.
图2图3例2用铝合金型材做一个形状如图2所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m，窗户的透光面积为y m2，y与x的函数图象如图3所示.（1）观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？
分析：对于第（2）问的解答，也有两种不同的解答方法.
方法1：观察图象可以得出图象经过三个点：（0，0），（2，0），顶点（1，1.5），先求出抛物线的解析式， 再求出函数的最大值.
方法2：由图象知当x=1时，y最大，即透光面积最大；最大面积为1.5，根据图形是矩形，由面积公式求出另一边为1.5米.
图4例3二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图4所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
（A） k<-3 （B） k>-3
（C） k<3 （D） k>3
图5分析：这道题中方程|ax2+bx+c|=k含有绝对值，去绝对值后再根据根的判别式去求k的取值范围，显然比较复杂，并且学生也不会分情况去绝对值.而先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象求出|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围，会比较清晰简单.
解：根据题意得：因为当ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，所以此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，所以此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，因为当ax2+bx+c<0时，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，所以此时y=|ax2+bx+c|=-（ax2+bx+c）所以此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，因为y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是-3，所以函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3，所以y=|ax2+bx+c|的图象如图5，因为观察图象可得当k≠0时，函数图象在直线y=3的上方时，纵坐标相同的点有两个，函数图象在直线y=3上时，纵坐标相同的点有三个，函数图象在直线y=3的下方时，纵坐标相同的点有四个，所以若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则函数图象应该在y=3的上边，故k>3，故选（D）.
点评：本题解题的关键是根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象得出k的取值范围.
引导学生学会解答问题的同时领悟隐含于问题中的数学思想方法，这样在遇到同类问题时才能轻松解决.而数形结合思想方法就是一种重要的数学思想和一把解题利剑，所以，我们要引导学生学会并运用这种思想方法解决问题.
纵观多年来的中考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，下面结合几个例题作一阐述.
例1如图1，抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0）两点，则一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根是.
分析：解答这个问题可以有两种方法.
方法1：把A（-1，0），B（3，0）两点代入y=x2+bx+c中，得到关于b，c的方程组，求出b，c的值，再解一元二次方程x2+bx+c=0.从而解答问题.
方法2：借助二次函数y=x2+bx+c的图象，利用一元二次方程x2+bx+c=0与二次函数y=x2+bx+c的关系来解答问题.一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根就是抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点A（-1，0），B（3，0）的横坐标，所以方程的两个实数根分别是-1，3.
点评：做这个题时若用方法1，必须有较强的计算能力（如必须能准确求出关于b，c的方程组的解），否则不能正确解答问题.若想到用方法2解答会既简单又准确.
图2图3例2用铝合金型材做一个形状如图2所示的矩形窗框，设窗框的一边为x m，窗户的透光面积为y m2，y与x的函数图象如图3所示.（1）观察图象，当x为何值时，窗户透光面积最大？（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是多少？
分析：对于第（2）问的解答，也有两种不同的解答方法.
方法1：观察图象可以得出图象经过三个点：（0，0），（2，0），顶点（1，1.5），先求出抛物线的解析式， 再求出函数的最大值.
方法2：由图象知当x=1时，y最大，即透光面积最大；最大面积为1.5，根据图形是矩形，由面积公式求出另一边为1.5米.
图4例3二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图4所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
（A） k<-3 （B） k>-3
（C） k<3 （D） k>3
图5分析：这道题中方程|ax2+bx+c|=k含有绝对值，去绝对值后再根据根的判别式去求k的取值范围，显然比较复杂，并且学生也不会分情况去绝对值.而先根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象求出|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根时，k的取值范围，会比较清晰简单.
解：根据题意得：因为当ax2+bx+c≥0，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴上方，所以此时y=|ax2+bx+c|=ax2+bx+c，所以此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴上方部分的图象，因为当ax2+bx+c<0时，y=ax2+bx+c（a≠0）的图象在x轴下方，所以此时y=|ax2+bx+c|=-（ax2+bx+c）所以此时y=|ax2+bx+c|的图象是函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象，因为y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点纵坐标是-3，所以函数y=ax2+bx+c（a≠0）在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是3，所以y=|ax2+bx+c|的图象如图5，因为观察图象可得当k≠0时，函数图象在直线y=3的上方时，纵坐标相同的点有两个，函数图象在直线y=3上时，纵坐标相同的点有三个，函数图象在直线y=3的下方时，纵坐标相同的点有四个，所以若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则函数图象应该在y=3的上边，故k>3，故选（D）.
点评：本题解题的关键是根据题意画出y=|ax2+bx+c|的图象，根据图象得出k的取值范围.
引导学生学会解答问题的同时领悟隐含于问题中的数学思想方法，这样在遇到同类问题时才能轻松解决.而数形结合思想方法就是一种重要的数学思想和一把解题利剑，所以，我们要引导学生学会并运用这种思想方法解决问题.