摘要：如何简单，准确，快速解决高中数学的恒成立问题。本文试从函数的单调性，不等式的性质，导数等方面总结题型，并给出相应的方法。
　　关键词：恒成立问题 常规方法
　　【中图分类号】G633.6
　　高中数学的恒成立问题一直以来都是一个重点、难点，这类问题也没有一个固定的思想方法去处理，各类考试以及高考中都屡见不鲜。如何更好地简单，准确，快速解决这类问题并更好地认识把握，本文通过举例说明这类问题的一些常规处理方法。
　　一 利用分类讨论思想，借助函数性质
　　例1.已知函数f（x）=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围.
　　解：∵f（x）=（x-a）2+2-a2，∴此二次函数图象的对称轴为x=a
　　（1）当a∈（-∞，-1）时，f（x）在[-1，+∞）上单调递增，
　　∴f（x）min=f（-1）=2a+3.
　　要使f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a，即2a+3≥a，
　　解得a≥-3，即-3≤a<-1.
　　（2）当a∈[-1，+∞）时，f（x）min=f（a）=2-a2.
　　要使f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a，
　　即2-a2≥a
　　解得-2≤a≤1，即-1≤a≤1.
　　综上所述，实数a的取值范围为[-3，1]
　　二 利用等价转化法构造新函数，借助函数的单调性
　　例2.若不等式2x-1>m（x2-1）对满足-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为________.
　　解：将原不等式化为：m（x2-1）-（2x-1）<0.令f（m）=m（x2-1）-（2x-1），则原问题转化为当-2≤m≤2时，f（m）<0恒成立，只需f-2<0，f2<0即可，即-2x2-1-2x-1<0，2x2-1-2x-1<0，解得-1+72　　三 利用分离参数
　　例3.已知函数f（x）=mx2-mx-1.若对于x∈[1，3]，f（x）<5-m恒成立，求实数m的取值范围.
　　解：∵f（x）<-m+5?m（x2-x+1）<6，
　　∵x∈[1，3]，∴x2-x+1>0，
　　∴m<6x2-x+1对于x∈[1，3]恒成立，
　　记g（x）=6x2-x+1，x∈[1，3]，
　　记h（x）=x2-x+1，h（x）在x∈[1，3]上为增函数.
　　则g（x）在[1，3]上为减函数，
　　∴[g（x）]min=g（3）=67，∴m<67.
　　所以m的取值范围为-∞，67.
　　四 利用不等式性质
　　例4.函数f（x）=|x+1|+|x-2a|.
　　（Ⅰ）当a=1时，求f（x）<5的解集；
　　（Ⅱ）若f（x）≥5的解集是全体实数，求a的取值范围.
　　解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-2|
　　由绝对值的几何意义，f（x）<5的解集是：（-2，4）
　　（2）f（x）≥5的解集是全体实数，则f（x）min≥5
　　又f（x）=|x+1|+|x-2a|≥|1+2a|
　　∴|1+2a|≥5，即a≥2或a≤-3
　　五 利用导数
　　例5.设函数f（x）=12x2+ex-xex.若当x∈[-2，2]时，不等式f（x）>m恒成立，求实数m的取值范围.
　　解：函数f（x）的定义域为（- ∞，+∞），
　　∵f′（x）=x+ex-（ex+xex）=x（1-ex），
　　若x<0，则1-ex>0，所以f′（x）<0；
　　若x>0，则1-ex<0，所以f′（x）<0；
　　∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
　　即f（x）的单调减区间为（-∞，+∞）.
　　∴f（x）在[-2，2]上单调递减.
　　∴[f（x）]min=f（2）=2-e2，
　　∴m<2-e2时，不等式f（x）>m恒成立.
　　当然，除了以上几种常见的题型以外，解决恒成立问题的方法还有很多种，希望同学们注意对基础知识的总结，从中可以提炼出很多巧妙的解题办法。