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2008年辽宁省大连市初中毕业升学统一考试数学试卷压轴题是：
如图1，点C、B分别为抛物线C1：y1=x2+1，抛物线C2：y2=a2x2+b2x+c2的顶点，分别过点B、C作 x 轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D，且AB=BD.
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”.其他条件不变，求CD的长和 a2 的值.
附加题：如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=a1x2+b1x+c1”.其他条件不变，求 b1+b2 的值.
一、赏析
这道题图形优美，给人赏心悦目.题中给出的两道小题与附加题既有难度，又有梯度.解题中涉及的知识点较多，重点考查了学生运用数形结合的方法以及二次函数性质探索、猜想、解决问题的能力，给学生一个从内容到方法，到观点的深层次的提高过程.
解题思路：（1）图1中，设AB交 y 轴于点E，连结AC、BC.
因为AB∥x 轴，
所以AB⊥y 轴于点E.
要求点A的坐标，就是要求出线段AE、OE的长度.
因为AB∥x 轴，CD∥x 轴，
所以AB∥CD.
又C、B分别是抛物线C1、C2的顶点，由抛物线对称性知，
AC=BC，BC=BD.
因为AB=BD，
所以AB=AC=BC.
所以△ABC是等边三角形，
所以∠A=∠ABC=60°.
在Rt△AEC中，
CEAE=tan∠A=tan60°=3，
设CE=3m，AE=m（m>0）.
因为C为抛物线C1：y1=x2+1的顶点，所以点C的坐标为（0，1），
所以OC=1，OE=1+3m，
所以点A的坐标为（-m，1+3m）.
因为点A在抛物线C1上，所以把 x=-m，y1=1+3m 代入 y1=x2+1中，解得 m1=0（舍去），m2=3，所以点A的坐标为（-3，4）.
（2）设抛物线 y1=2x2+b1x+c1=2（x-h1）2+k1，则顶点C的坐标为（h1，k1）.在图2中，连结BC，由（1）知BC=BD，AB∥CD，
所以∠BCD=∠ABC=60°，
所以△BCD是等边三角形.
作BE⊥CD于点E，则CD=2CE.
在Rt△BCE中，
BECE=tan∠BCE=tan60°=3.
设BE=3m，CE=m（m>0）.
所以点B的坐标为（h1+m，k1+3m）.
因为点B在抛物线C1上，所以把 x=h1+m，y1=k1+3m 代入 y1=2（x-h1）2+k1 中，得
k1+3m=2（h1+m-h1）2+k1，
解得 m1=0（舍去），m2=32，
所以CD=2CE=2m=2×32=3.
点B的坐标为（h1+32，k1+32）.
因为点B是抛物线C2的顶点，
所以C2：y2=a2（x-h1-32）2+k1+32.
又抛物线C2经过点C（h1，k1），所以
k1=a2（h1-h1-32）2+k1+32.
解得 a2=-2，即 a2 的值为-2.
附加题：如图2，设 y1=a1x2+b1x+c1=a1（x-h1）2+k1，则顶点C的坐标为（h1，k1），这里 h1=-b12a1.过点B作BE⊥CD于E，由（2）知CE=m>0,BE=3m.
所以点B的坐标为(h1+m,k1+3m).
因为点B在抛物线C1上,所以
k1+3m=a1(h1+m-h1)2+k1.
因为 m≠0,所以 m=3a1.
所以点B的坐标为（h1+3a1，k1+3a1）.
因为点B是抛物线C2的顶点，所以
y2=a2（x-h1-3a1）2+k1+3a1.
因为抛物线C2经过点C（h1，k1），所以
k1=a2（h1-h1-3a1）2+k1+3a1，
所以 a2=-a1.
所以C2：y2=-a1（x-h1-3a1）2+k1+3a1
=-a1［x2-2（h1+3a1）x+（h1+3a1）2］+k1+3a1.
注意到 b2 是抛物线C2中的一次项系数，所以
b2=2a1（h1+3a1）.
因为 h1=-b12a1，
所以 b2=2a1（-b12a1+3a1）
=-b1+23.
所以 b1+b2=23，即 b1+b2 的值为23.
二、启示
这道中考压轴题是同一坐标系内开口方向相反的两条相交抛物线中的问题.解析完这道试题后，类似的问题请你进一步探究.
问题：如图3，点C、B分别为抛物线C1：y1=a1x2+b1x+c1，抛物线C2：y2=a2x2+b2x+c2 的顶点，分别过点B、C作 x 轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D，连结AC、BC、BD，设∠BCD=α.那么下面四个结论能够成立吗？
（1）△CBA和△BCD是全等的等腰三角形；
（2）AB=CD=2a1tanα；
（3）抛物线C1、C2的二次项系数互为相反数，即 a1+a2=0
（4）b1+b2=2tanα.
经过探究，上面的四个结论都能够成立的，请你动手试一试吧.
（初三）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
如图1，点C、B分别为抛物线C1：y1=x2+1，抛物线C2：y2=a2x2+b2x+c2的顶点，分别过点B、C作 x 轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D，且AB=BD.
（1）求点A的坐标；
（2）如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”.其他条件不变，求CD的长和 a2 的值.
附加题：如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=a1x2+b1x+c1”.其他条件不变，求 b1+b2 的值.
一、赏析
这道题图形优美，给人赏心悦目.题中给出的两道小题与附加题既有难度，又有梯度.解题中涉及的知识点较多，重点考查了学生运用数形结合的方法以及二次函数性质探索、猜想、解决问题的能力，给学生一个从内容到方法，到观点的深层次的提高过程.
解题思路：（1）图1中，设AB交 y 轴于点E，连结AC、BC.
因为AB∥x 轴，
所以AB⊥y 轴于点E.
要求点A的坐标，就是要求出线段AE、OE的长度.
因为AB∥x 轴，CD∥x 轴，
所以AB∥CD.
又C、B分别是抛物线C1、C2的顶点，由抛物线对称性知，
AC=BC，BC=BD.
因为AB=BD，
所以AB=AC=BC.
所以△ABC是等边三角形，
所以∠A=∠ABC=60°.
在Rt△AEC中，
CEAE=tan∠A=tan60°=3，
设CE=3m，AE=m（m>0）.
因为C为抛物线C1：y1=x2+1的顶点，所以点C的坐标为（0，1），
所以OC=1，OE=1+3m，
所以点A的坐标为（-m，1+3m）.
因为点A在抛物线C1上，所以把 x=-m，y1=1+3m 代入 y1=x2+1中，解得 m1=0（舍去），m2=3，所以点A的坐标为（-3，4）.
（2）设抛物线 y1=2x2+b1x+c1=2（x-h1）2+k1，则顶点C的坐标为（h1，k1）.在图2中，连结BC，由（1）知BC=BD，AB∥CD，
所以∠BCD=∠ABC=60°，
所以△BCD是等边三角形.
作BE⊥CD于点E，则CD=2CE.
在Rt△BCE中，
BECE=tan∠BCE=tan60°=3.
设BE=3m，CE=m（m>0）.
所以点B的坐标为（h1+m，k1+3m）.
因为点B在抛物线C1上，所以把 x=h1+m，y1=k1+3m 代入 y1=2（x-h1）2+k1 中，得
k1+3m=2（h1+m-h1）2+k1，
解得 m1=0（舍去），m2=32，
所以CD=2CE=2m=2×32=3.
点B的坐标为（h1+32，k1+32）.
因为点B是抛物线C2的顶点，
所以C2：y2=a2（x-h1-32）2+k1+32.
又抛物线C2经过点C（h1，k1），所以
k1=a2（h1-h1-32）2+k1+32.
解得 a2=-2，即 a2 的值为-2.
附加题：如图2，设 y1=a1x2+b1x+c1=a1（x-h1）2+k1，则顶点C的坐标为（h1，k1），这里 h1=-b12a1.过点B作BE⊥CD于E，由（2）知CE=m>0,BE=3m.
所以点B的坐标为(h1+m,k1+3m).
因为点B在抛物线C1上,所以
k1+3m=a1(h1+m-h1)2+k1.
因为 m≠0,所以 m=3a1.
所以点B的坐标为（h1+3a1，k1+3a1）.
因为点B是抛物线C2的顶点，所以
y2=a2（x-h1-3a1）2+k1+3a1.
因为抛物线C2经过点C（h1，k1），所以
k1=a2（h1-h1-3a1）2+k1+3a1，
所以 a2=-a1.
所以C2：y2=-a1（x-h1-3a1）2+k1+3a1
=-a1［x2-2（h1+3a1）x+（h1+3a1）2］+k1+3a1.
注意到 b2 是抛物线C2中的一次项系数，所以
b2=2a1（h1+3a1）.
因为 h1=-b12a1，
所以 b2=2a1（-b12a1+3a1）
=-b1+23.
所以 b1+b2=23，即 b1+b2 的值为23.
二、启示
这道中考压轴题是同一坐标系内开口方向相反的两条相交抛物线中的问题.解析完这道试题后，类似的问题请你进一步探究.
问题：如图3，点C、B分别为抛物线C1：y1=a1x2+b1x+c1，抛物线C2：y2=a2x2+b2x+c2 的顶点，分别过点B、C作 x 轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D，连结AC、BC、BD，设∠BCD=α.那么下面四个结论能够成立吗？
（1）△CBA和△BCD是全等的等腰三角形；
（2）AB=CD=2a1tanα；
（3）抛物线C1、C2的二次项系数互为相反数，即 a1+a2=0
（4）b1+b2=2tanα.
经过探究，上面的四个结论都能够成立的，请你动手试一试吧.
（初三）
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文