论文部分内容阅读
摘 要：函数模型是数学模型重要的组成部分之一。（Mathematical Model）这个名词早就为科学界、工程界，甚至经济学界所熟知，因为他们就是用这种方法来研究他们要处理解决的问题的。在生产、生活实际中，有大量的实际问题必须依赖函数的模型加以解决，比如经济中的利润最值问题，生物的细胞分裂文图，测量问题等等。
关键词：数学模型;函数模型
1 常见函数几类主要的模型
1.1线性函数
定义：在某一个变化过程中，设有两个变量[x]和[y]，如果可以写成[y=ax]（[a]为常数，叫做定量），那么我们就说[y]是[x]的函数，其中[x]是自变量，[y]是因变量。
1.2非线性函数
在实际的生活中我们通常会遇到类似这样的问题：某企业有[n]个工程可供选择投资，并且至少要对其中一个工程投资。已知该企业拥有总资金为[A]元，投资于第[ii=1，…n]个工程需金[ai]元，预计可收益[bi]元。试选择一个最佳的投资方案。
像上面的问题如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规问题。一般的，解非线性要比解线性规划问题复杂得多。而且，也不象线性规划有单纯形法这一较为通用方法，非线性规划目前还没有一种适于各种问题的一般算法，各个方法都有其特定的适用范围。
2 函数模型在油耗与里程中的应用
近年来由于石油短缺和禁运造成的能源危机，人们总是想要了解油料开支是怎么随车速而变化的。我们觉得以低速率和低速排挡行驶时，汽车转换能量的效率相对不高，而高速行时作用在汽车上的阻力会迅速增加。于是，人们就有了以下的期望。即存在一个或多个速率，汽车以这些速率行驶会产生最优的燃油里程（一加仑燃油能行驶的最大英里数）。那么在这个速率附近燃油里程与汽车速率有什么样的关系呢？
模型的分析与假设：
让我们来考虑影响燃油里程的因素。
第一，存在着推动汽车前进的动力[FP]。这些取决于燃油燃烧类型能提供的功率[Pr]、发动机转换潜在功率的效率[η]、齿轮比[n]、空气的温度[T]以及包括车速在内的许多其他因素.
第二，存在着阻碍汽车前进的阻力[Fz]。阻力包括依赖于汽车重量助摩擦应、车胎的类型和状况以及路面的状况。空气阻力是另—种阻力，它依赖于：车速、车辆的表形状、风以及空气密度[ρ]。
第三，影响燃油里程的另一个因素与司机的驾驶习惯有关。以常速驾驶还是不断地加速？路面平坦还是崎呕？
因此，燃油里程是总结在下面的方程中的若干因素的函数：
燃油里程=[f]（推进力，阻力，驾驶习惯，等等）
很清楚，如果要考虑车型、司机以及道路情况的所有可能的组合，对原问题的回答将会很复杂。因为做这样的研究实在是心有余而力不足，所以我们要限制和简化待处理的问题。
在限制问题下，可以认为诸如空气的温度[T]、空气密度[ρ]以及道路状况那样的环境件都是不变的.因为我们已经规定了司机正在驾驶着的车，确定了车胎的状况、车的形状和表面及燃油的种类。通过限制高速公路的驾驶速率是在最优速率附近，得到了发动机效率[η]不变及车速变化小时齿轮比[n]不变的简化假设。最终我们得到了燃油里程的变化只与推进力[Fp]和阻力[Fz]之间存在关系。
模型的建立：
原问题是要解决燃油里程与汽车最优速率的关系，上面排除其他因素对燃油里程的影响。那么，现在我们只要确定推进力[Fp]和阻力[Fz]与最优速率[u]之间关系就可以了。
通过牛顿第二定律可以得出：
[Fp]=[Fz]
首先考虑推进力。每加仑汽油包含一定的能量，记为[K]的能量。如果[Cr]表示单位时间燃烧掉的燃油的量，那么[ηCrK]就表示该车可利用的功率。假设功率转换率是不变的即发动机的转化效率[η]不变，因为对于常力而言，功率等于力和速度的乘积.这种论证就给出下面的关系：
[Fp=ηCrKu]
现在来考虑阻力，与空气的阻力相比较，假设摩擦力很小是合理的。在高速公路的速率下，这些阻力的一个有意义的模型为
[Fz=Su2]
其中[S]为汽车运动中的受阻率为常数。
我们知道燃油里程的定义： 燃油里程为 [fu=距离油耗]
由此我们可以得到燃油里程和速度之间的模型（目标函数）
[fu=ηksu2] （3）
[s.t0<η<10<u<55]
模型的结果分析
以上模型能够帮助我们解释汽车油耗的某种有用的定量信息。首先尽管方程（3）中的能量关系看起来给人印象深刻，但它只是在限制的速度范围内才是有效的。有赖于比例常数的大小，在那个限制范围里这个关系才可能是几乎线性的。不要忘记在我们的分析中曾经忽略了许多因素，而假设了某些重要的因素是不变的（常数）.因此，我们的模型的用途也只限于在限制使率的范同上的定性解释。
3 结束语
用函数问题解决问题就是要把实际问题抽象成数学问题，然后分析其中的已知量、未知量以及等量关系由此给出函数关系所建立的模型，通过推理运算并反复检验给出合理的解释从而解决问题。因此我们更应该重视函数模型的开发和利用做到真正的学以致用，让其为我们的生活工作服务。
参考文献：
[1]沈继红，高振滨，张晓威.《数学建模》[M].北京：清华大学出版社，2011.
[2]姚泽清，郑旭东，赵颖.《全国大学生数学建模竞赛赛题与优秀论文评析》[M].北京：国防工业出版社，2012.
关键词：数学模型;函数模型
1 常见函数几类主要的模型
1.1线性函数
定义：在某一个变化过程中，设有两个变量[x]和[y]，如果可以写成[y=ax]（[a]为常数，叫做定量），那么我们就说[y]是[x]的函数，其中[x]是自变量，[y]是因变量。
1.2非线性函数
在实际的生活中我们通常会遇到类似这样的问题：某企业有[n]个工程可供选择投资，并且至少要对其中一个工程投资。已知该企业拥有总资金为[A]元，投资于第[ii=1，…n]个工程需金[ai]元，预计可收益[bi]元。试选择一个最佳的投资方案。
像上面的问题如果目标函数或约束条件中包含非线性函数，就称这种规划问题为非线性规问题。一般的，解非线性要比解线性规划问题复杂得多。而且，也不象线性规划有单纯形法这一较为通用方法，非线性规划目前还没有一种适于各种问题的一般算法，各个方法都有其特定的适用范围。
2 函数模型在油耗与里程中的应用
近年来由于石油短缺和禁运造成的能源危机，人们总是想要了解油料开支是怎么随车速而变化的。我们觉得以低速率和低速排挡行驶时，汽车转换能量的效率相对不高，而高速行时作用在汽车上的阻力会迅速增加。于是，人们就有了以下的期望。即存在一个或多个速率，汽车以这些速率行驶会产生最优的燃油里程（一加仑燃油能行驶的最大英里数）。那么在这个速率附近燃油里程与汽车速率有什么样的关系呢？
模型的分析与假设：
让我们来考虑影响燃油里程的因素。
第一，存在着推动汽车前进的动力[FP]。这些取决于燃油燃烧类型能提供的功率[Pr]、发动机转换潜在功率的效率[η]、齿轮比[n]、空气的温度[T]以及包括车速在内的许多其他因素.
第二，存在着阻碍汽车前进的阻力[Fz]。阻力包括依赖于汽车重量助摩擦应、车胎的类型和状况以及路面的状况。空气阻力是另—种阻力，它依赖于：车速、车辆的表形状、风以及空气密度[ρ]。
第三，影响燃油里程的另一个因素与司机的驾驶习惯有关。以常速驾驶还是不断地加速？路面平坦还是崎呕？
因此，燃油里程是总结在下面的方程中的若干因素的函数：
燃油里程=[f]（推进力，阻力，驾驶习惯，等等）
很清楚，如果要考虑车型、司机以及道路情况的所有可能的组合，对原问题的回答将会很复杂。因为做这样的研究实在是心有余而力不足，所以我们要限制和简化待处理的问题。
在限制问题下，可以认为诸如空气的温度[T]、空气密度[ρ]以及道路状况那样的环境件都是不变的.因为我们已经规定了司机正在驾驶着的车，确定了车胎的状况、车的形状和表面及燃油的种类。通过限制高速公路的驾驶速率是在最优速率附近，得到了发动机效率[η]不变及车速变化小时齿轮比[n]不变的简化假设。最终我们得到了燃油里程的变化只与推进力[Fp]和阻力[Fz]之间存在关系。
模型的建立：
原问题是要解决燃油里程与汽车最优速率的关系，上面排除其他因素对燃油里程的影响。那么，现在我们只要确定推进力[Fp]和阻力[Fz]与最优速率[u]之间关系就可以了。
通过牛顿第二定律可以得出：
[Fp]=[Fz]
首先考虑推进力。每加仑汽油包含一定的能量，记为[K]的能量。如果[Cr]表示单位时间燃烧掉的燃油的量，那么[ηCrK]就表示该车可利用的功率。假设功率转换率是不变的即发动机的转化效率[η]不变，因为对于常力而言，功率等于力和速度的乘积.这种论证就给出下面的关系：
[Fp=ηCrKu]
现在来考虑阻力，与空气的阻力相比较，假设摩擦力很小是合理的。在高速公路的速率下，这些阻力的一个有意义的模型为
[Fz=Su2]
其中[S]为汽车运动中的受阻率为常数。
我们知道燃油里程的定义： 燃油里程为 [fu=距离油耗]
由此我们可以得到燃油里程和速度之间的模型（目标函数）
[fu=ηksu2] （3）
[s.t0<η<10<u<55]
模型的结果分析
以上模型能够帮助我们解释汽车油耗的某种有用的定量信息。首先尽管方程（3）中的能量关系看起来给人印象深刻，但它只是在限制的速度范围内才是有效的。有赖于比例常数的大小，在那个限制范围里这个关系才可能是几乎线性的。不要忘记在我们的分析中曾经忽略了许多因素，而假设了某些重要的因素是不变的（常数）.因此，我们的模型的用途也只限于在限制使率的范同上的定性解释。
3 结束语
用函数问题解决问题就是要把实际问题抽象成数学问题，然后分析其中的已知量、未知量以及等量关系由此给出函数关系所建立的模型，通过推理运算并反复检验给出合理的解释从而解决问题。因此我们更应该重视函数模型的开发和利用做到真正的学以致用，让其为我们的生活工作服务。
参考文献：
[1]沈继红，高振滨，张晓威.《数学建模》[M].北京：清华大学出版社，2011.
[2]姚泽清，郑旭东，赵颖.《全国大学生数学建模竞赛赛题与优秀论文评析》[M].北京：国防工业出版社，2012.