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摘要：以角接触球轴承的优化设计为例，运用网格法和惩罚函数法进行对比设计计算。两种方法的计算结果基本相同，但应用网格法计算，速度快、计算数据更接近真实情况；应有惩罚函数法计算，耗时大、且需要对计算结果进行调整以符合轴承设计标准。滚动轴承的优化设计问题属于具有离散变量的小型约束优化问题，针对这一具体问题，网格法较惩罚函数可操作性、实用性更强。
关键词：角接触球轴承；优化设计；网格法；惩罚函数法
引言
我国采用优化设计方法设计滚动轴承已有近百年的历史，且随着计算机的普及应用，利用其高速计算能力对轴承的优化设计算法进行编程计算也早已成为可能。本文将重点介绍一下优化算法在滚动轴承优化设计中的应用。滚动轴承的优化设计是一个约束优化设计问题，对此问题有两种解法，直接法或转化为无约束问题求解。网格法是一种直接解法，在文献[1]中介绍了一种间接解法，惩罚函数法。一般认为，惩罚函数法较网格法容易理解，且易于编程实现，很多书籍对其都有大量说明，但很少有文献资料涉及网格法，但是通过计算发现，在滚动轴承优化设计问题上，网格法较惩罚函数法更加合适，现将两种情况对比介绍如下。
1 滚动轴承优化设计过程
滚动轴承产品设计的正确与否对其性能、寿命和可靠性有着根本的影响，进而也影响到主机的工作质量。设计人员的职责是从所有可能的候选方案中选取最优者。通用轴承的设计计算流程[2]（以角接触球轴承为例）。由于对通用轴承来说，第1层设计参数已经标准化，而第3、4层设计参数的确定又依赖于第2层设计参数，因此本文所进行的优化设计重点是第2层设计参数，即滚动轴承主参数的设计。
滚动轴承优化设计中，滚动体直径、数量、公称接触角、滚动体中心圆直径等均可作为设计变量。滚动轴承的优化设计属于约束优化问题的范畴。同样，根据具体的工作要求，可以对滚动轴承提出不同的目标函数。若轴承工作条件正常，主要的破坏方式是接触疲劳，则对于给定轮廓尺寸的轴承，应在最大的动负荷情况下进行优化设计；其他类型和工作场合的轴承还要求磨损寿命最长、摩擦力矩最低、旋滚比最小等因素。滚动轴承的优化设计可以是单目标的，也可以是多目标的。以角接触球轴承为例，说明网格法和惩罚函数法在通用轴承设计中的应用，为保证轴承地寿命最长，应把目标函数取为角接触球轴承的最大动负荷。
对于球轴承来说，其最大动载荷计Cr的计算式[3]如下所示：
其中bm为修正系数，i为球之列数，α为公称接触角。对双列角接触球轴承来说， ，因此，角接触球轴承的优化设计问题的数学模型为：
KW和βmax的取值与角接触球轴承的直径系列有关，fc的取值与Dw和 Dwp有关，均可查表取得，因此，优化设计变量为3个：Dw、Dwp和Z。以角接触球轴承702/06，外形尺寸D=64mm，d=30mm，B=16mm，公称接触角a=25°为例进行优化计算，此时查表得Kwmin=0.34、Kwmax=0.41、βmax=194°。
2 网格法
网格法是解非线性规划的一种方法，事实上它是一种穷举法。其基本原理[4]是：首先把设计区间划分为网格，逐一计算各网格结点的目标函数值，并作可行性验证，通过比较目标函数值的大小找出可行的最好点，然后再以该点周围结点为界构成新的设计区间，将网格加密寻找可行的最优点。
对于702/06角接触球轴承，可以计算出约束条件（1）和（2）的约束范围，分别为：8.68mm≤Dw≤10.92mm，48mm≤Dwp≤57.42mm。将约束条件（1）和（2）作为边界条件，对其所构成的区域进行网格划分，以设计变量Dw和Dwp组成坐标系，在其标准值相交处形成結点，共形成20组结点。分别验证这20组结点是否满足约束条件（3），如果满足，则进行目标函数值的计算，并比较各目标函数值的大小，记录最大值；如不满足，则放弃该组结点。计算结果最优结点为Dw=9.58mm、Dwp=48mm、Z=8个，此时Cr=19768N。
3 惩罚函数法
惩罚函数法是一种间接求解约束问题的方法，将约束问题转化为无约束问题，然后调用无约束优化方法求解。采用惩罚函数法对角接触球轴承进行优化计算时，钢球数量Z、钢球直径Dw及轴承中心距Dwp等均作为连续变量求解，再采用凑整法来求得符合轴承设计标准的最优解。
本例选用惩罚函数内点法，此时角接触球轴承的数学模型需要略作改变如下：
角接触球轴承优化计算原函数中的fc取值与Dw和Dwp有关，可查表取得；bm取值为常数，可暂时忽略。
利用凑整法求得最优解为x1=Z=8个、x2=Dw=9.58mm、x3=Dwp=48mm，计算出最大额定动负荷Cr=19768N。计算结果与网格法计算结果相同。
4 结论
本文以角接触球轴承的优化设计为例，运用两种优化算法进行计算，计算结果相同，但网格法简便易行、结果精确；而惩罚函数法需要构造新的函数，计算复杂，因此对于角接触球轴承优化设计这种变量较少的优化问题，网格法较惩罚函数便捷。
参考文献：
[1]万长森.滚动轴承的分析方法[M].北京：机械工业出版社，1987.
[2]吴飞.寻求合理的轴承设计参数——浅析滚动轴承的优化设计[J].现代零部件，2007（2）：76-79.
[3]冈本纯三（日）著，黄志强译，罗继伟校.球轴承的设计计算[M].北京：机械工业出版社，2003.
[4]任中全，寇子明，赵灿.现代机械设计理论与方法[M].北京：煤炭工业出版社，2003.
作者简介：张丹丹（1986-）女，汉族，山东交通技师学院
关键词：角接触球轴承；优化设计；网格法；惩罚函数法
引言
我国采用优化设计方法设计滚动轴承已有近百年的历史，且随着计算机的普及应用，利用其高速计算能力对轴承的优化设计算法进行编程计算也早已成为可能。本文将重点介绍一下优化算法在滚动轴承优化设计中的应用。滚动轴承的优化设计是一个约束优化设计问题，对此问题有两种解法，直接法或转化为无约束问题求解。网格法是一种直接解法，在文献[1]中介绍了一种间接解法，惩罚函数法。一般认为，惩罚函数法较网格法容易理解，且易于编程实现，很多书籍对其都有大量说明，但很少有文献资料涉及网格法，但是通过计算发现，在滚动轴承优化设计问题上，网格法较惩罚函数法更加合适，现将两种情况对比介绍如下。
1 滚动轴承优化设计过程
滚动轴承产品设计的正确与否对其性能、寿命和可靠性有着根本的影响，进而也影响到主机的工作质量。设计人员的职责是从所有可能的候选方案中选取最优者。通用轴承的设计计算流程[2]（以角接触球轴承为例）。由于对通用轴承来说，第1层设计参数已经标准化，而第3、4层设计参数的确定又依赖于第2层设计参数，因此本文所进行的优化设计重点是第2层设计参数，即滚动轴承主参数的设计。
滚动轴承优化设计中，滚动体直径、数量、公称接触角、滚动体中心圆直径等均可作为设计变量。滚动轴承的优化设计属于约束优化问题的范畴。同样，根据具体的工作要求，可以对滚动轴承提出不同的目标函数。若轴承工作条件正常，主要的破坏方式是接触疲劳，则对于给定轮廓尺寸的轴承，应在最大的动负荷情况下进行优化设计；其他类型和工作场合的轴承还要求磨损寿命最长、摩擦力矩最低、旋滚比最小等因素。滚动轴承的优化设计可以是单目标的，也可以是多目标的。以角接触球轴承为例，说明网格法和惩罚函数法在通用轴承设计中的应用，为保证轴承地寿命最长，应把目标函数取为角接触球轴承的最大动负荷。
对于球轴承来说，其最大动载荷计Cr的计算式[3]如下所示：
其中bm为修正系数，i为球之列数，α为公称接触角。对双列角接触球轴承来说， ，因此，角接触球轴承的优化设计问题的数学模型为：
KW和βmax的取值与角接触球轴承的直径系列有关，fc的取值与Dw和 Dwp有关，均可查表取得，因此，优化设计变量为3个：Dw、Dwp和Z。以角接触球轴承702/06，外形尺寸D=64mm，d=30mm，B=16mm，公称接触角a=25°为例进行优化计算，此时查表得Kwmin=0.34、Kwmax=0.41、βmax=194°。
2 网格法
网格法是解非线性规划的一种方法，事实上它是一种穷举法。其基本原理[4]是：首先把设计区间划分为网格，逐一计算各网格结点的目标函数值，并作可行性验证，通过比较目标函数值的大小找出可行的最好点，然后再以该点周围结点为界构成新的设计区间，将网格加密寻找可行的最优点。
对于702/06角接触球轴承，可以计算出约束条件（1）和（2）的约束范围，分别为：8.68mm≤Dw≤10.92mm，48mm≤Dwp≤57.42mm。将约束条件（1）和（2）作为边界条件，对其所构成的区域进行网格划分，以设计变量Dw和Dwp组成坐标系，在其标准值相交处形成結点，共形成20组结点。分别验证这20组结点是否满足约束条件（3），如果满足，则进行目标函数值的计算，并比较各目标函数值的大小，记录最大值；如不满足，则放弃该组结点。计算结果最优结点为Dw=9.58mm、Dwp=48mm、Z=8个，此时Cr=19768N。
3 惩罚函数法
惩罚函数法是一种间接求解约束问题的方法，将约束问题转化为无约束问题，然后调用无约束优化方法求解。采用惩罚函数法对角接触球轴承进行优化计算时，钢球数量Z、钢球直径Dw及轴承中心距Dwp等均作为连续变量求解，再采用凑整法来求得符合轴承设计标准的最优解。
本例选用惩罚函数内点法，此时角接触球轴承的数学模型需要略作改变如下：
角接触球轴承优化计算原函数中的fc取值与Dw和Dwp有关，可查表取得；bm取值为常数，可暂时忽略。
利用凑整法求得最优解为x1=Z=8个、x2=Dw=9.58mm、x3=Dwp=48mm，计算出最大额定动负荷Cr=19768N。计算结果与网格法计算结果相同。
4 结论
本文以角接触球轴承的优化设计为例，运用两种优化算法进行计算，计算结果相同，但网格法简便易行、结果精确；而惩罚函数法需要构造新的函数，计算复杂，因此对于角接触球轴承优化设计这种变量较少的优化问题，网格法较惩罚函数便捷。
参考文献：
[1]万长森.滚动轴承的分析方法[M].北京：机械工业出版社，1987.
[2]吴飞.寻求合理的轴承设计参数——浅析滚动轴承的优化设计[J].现代零部件，2007（2）：76-79.
[3]冈本纯三（日）著，黄志强译，罗继伟校.球轴承的设计计算[M].北京：机械工业出版社，2003.
[4]任中全，寇子明，赵灿.现代机械设计理论与方法[M].北京：煤炭工业出版社，2003.
作者简介：张丹丹（1986-）女，汉族，山东交通技师学院