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一、函数图像的定义与作用
(一)函数图像的定义
对于一个函数y=f(x),如果把其中的自变量x视为平面直角坐标系上的某一点的横坐标,把对应的唯一的函数值y视为此点的纵坐标,那么,这个函数y=f(x),无论x取何值,都同时确定了一个点,由于x的取值变化,y的值也不同,表示的点也就就不一样。由这些点在平面上组成的图形就是此函数的图像,简称图像。
(二)函数图像的作用
函数图像的作用即能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性。
二、函数图像与高考
新高考中考查函数的图像一般以几类基本初等函数的图像为基础。近年来与函数图像有关的试题,一般考查:(1)能够从图中(或列表中)读懂各种信息,解决有关的实际问题;(2)会进行平移变换、伸缩变换和对称变换,进而研究函数的有关性质;(3)会利用函数图像研究函数的周期性和函数值的变化趋势。由此看到,函数图像是研究函数性质、解决函数相关问题的重要工具。一方面,通过解决函数图像问题既能够考查函数性质的掌握情况,又可以培养运用数形结合思想来解题的能力,可以说是一箭双雕,说函数图像是高考命题的热点不过分。
三、函数图像的教学剖析
函数图像是学习函数的一个重要环节,对于函数图像这个知识点我们应该怎么样处理呢?下面从作图、识图与用图这3个方面进行剖析。
(一)作图
从作图方面来看,以解析式表示的函数作图像的方法有两种,即列表描点法和图象变换法。利用描点作图法作函数图像的步骤有:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式(化简过程必须是等价的);③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);④描点连线,画出函数的图像。运用描点法作图应避免描点前的盲目性,还要避免盲目地连点成线,应该把表列在关键处,把线连在恰当处,这就要求对所要画的函数图像的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究,而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是教学的一个难点。用图像变换法作函数图像则要确定以哪一种函数的图像为基础进行变换,以及确定怎样的变换,这是作图的关键。在教学中,主要掌握以下几种变换:
①平移变换
Ⅰ.水平平移:函数y=f(x+h)的图像可以把函数y=f(x)的图像沿x轴方向向左(h>0)或向右(h<0)平移h个单位即可得到;
Ⅱ.竖直平移:函数y=f(x)+h的图像可以把函数y=f(x)的图像沿x轴方向向上(h>0)或向下(h<0)平移h个单位即可得到;
②对称变换
Ⅰ.函数y=f(-x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于y轴对称即可得到;
Ⅱ.函数y=-f(x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于x轴对称即可得到;
Ⅲ.函数y=-f(-x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于原点对称即可得到;
③翻折变换
Ⅰ.函数y=f(x)的图像可以将函数y=f(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留y=f(x)的x轴上方部分即可得到:
Ⅱ.函数y=f(x)的图像可以将函数y=f(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y=f(x)在y轴右边部分即可得到:
④伸缩变换
Ⅰ.函数y=af(x)(a>0)的图像可以将函数y=f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a>1)或压缩(0 另外常见的函数数字特征对我们画图也有一定的帮助,主要有:函数奇偶性、函数周期性、对称性。
(二)识图
主要考查函数图像的分布范围、变化趋势、对称性、周期性等,一般难度不大,如2009年广东卷理科第8题选择题。在平时练习中应有所体现。
(三)用图
考查用图即主要考查数形结合思想方法,难度大,综合性强,一般体现在解答题。如2008年广东卷第18题。教学上应重点训练。
四、对函数图像教学的体会
2009年《广东考试说明》对函数图像的要求是这样的:(1)会运用函数图像理解和研究函数的性质;(2)理解数形结合的思想。从这两点来看,数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,其“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合。应用数形结合思想,就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思路,使问题得到解决。运用这一数学思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。因此,在平时的教学中,一定要重视这类题型的训练,切勿掉以轻心。
一句话,把握好《考试说明》,有的放矢地进行教学,是我们高考取胜的关键所在。
参考文献:
唐加俊.活用数形结合解题[J].中学数学教学参考.2005(9)
作者单位:广东省封开县江口中学
(一)函数图像的定义
对于一个函数y=f(x),如果把其中的自变量x视为平面直角坐标系上的某一点的横坐标,把对应的唯一的函数值y视为此点的纵坐标,那么,这个函数y=f(x),无论x取何值,都同时确定了一个点,由于x的取值变化,y的值也不同,表示的点也就就不一样。由这些点在平面上组成的图形就是此函数的图像,简称图像。
(二)函数图像的作用
函数图像的作用即能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、周期性。
二、函数图像与高考
新高考中考查函数的图像一般以几类基本初等函数的图像为基础。近年来与函数图像有关的试题,一般考查:(1)能够从图中(或列表中)读懂各种信息,解决有关的实际问题;(2)会进行平移变换、伸缩变换和对称变换,进而研究函数的有关性质;(3)会利用函数图像研究函数的周期性和函数值的变化趋势。由此看到,函数图像是研究函数性质、解决函数相关问题的重要工具。一方面,通过解决函数图像问题既能够考查函数性质的掌握情况,又可以培养运用数形结合思想来解题的能力,可以说是一箭双雕,说函数图像是高考命题的热点不过分。
三、函数图像的教学剖析
函数图像是学习函数的一个重要环节,对于函数图像这个知识点我们应该怎么样处理呢?下面从作图、识图与用图这3个方面进行剖析。
(一)作图
从作图方面来看,以解析式表示的函数作图像的方法有两种,即列表描点法和图象变换法。利用描点作图法作函数图像的步骤有:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式(化简过程必须是等价的);③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);④描点连线,画出函数的图像。运用描点法作图应避免描点前的盲目性,还要避免盲目地连点成线,应该把表列在关键处,把线连在恰当处,这就要求对所要画的函数图像的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究,而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是教学的一个难点。用图像变换法作函数图像则要确定以哪一种函数的图像为基础进行变换,以及确定怎样的变换,这是作图的关键。在教学中,主要掌握以下几种变换:
①平移变换
Ⅰ.水平平移:函数y=f(x+h)的图像可以把函数y=f(x)的图像沿x轴方向向左(h>0)或向右(h<0)平移h个单位即可得到;
Ⅱ.竖直平移:函数y=f(x)+h的图像可以把函数y=f(x)的图像沿x轴方向向上(h>0)或向下(h<0)平移h个单位即可得到;
②对称变换
Ⅰ.函数y=f(-x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于y轴对称即可得到;
Ⅱ.函数y=-f(x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于x轴对称即可得到;
Ⅲ.函数y=-f(-x)的图像可以将函数y=f(x)的图像关于原点对称即可得到;
③翻折变换
Ⅰ.函数y=f(x)的图像可以将函数y=f(x)的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留y=f(x)的x轴上方部分即可得到:
Ⅱ.函数y=f(x)的图像可以将函数y=f(x)的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留y=f(x)在y轴右边部分即可得到:
④伸缩变换
Ⅰ.函数y=af(x)(a>0)的图像可以将函数y=f(x)的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(a>1)或压缩(0
(二)识图
主要考查函数图像的分布范围、变化趋势、对称性、周期性等,一般难度不大,如2009年广东卷理科第8题选择题。在平时练习中应有所体现。
(三)用图
考查用图即主要考查数形结合思想方法,难度大,综合性强,一般体现在解答题。如2008年广东卷第18题。教学上应重点训练。
四、对函数图像教学的体会
2009年《广东考试说明》对函数图像的要求是这样的:(1)会运用函数图像理解和研究函数的性质;(2)理解数形结合的思想。从这两点来看,数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,其“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合。应用数形结合思想,就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思路,使问题得到解决。运用这一数学思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。因此,在平时的教学中,一定要重视这类题型的训练,切勿掉以轻心。
一句话,把握好《考试说明》,有的放矢地进行教学,是我们高考取胜的关键所在。
参考文献:
唐加俊.活用数形结合解题[J].中学数学教学参考.2005(9)
作者单位:广东省封开县江口中学