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[摘 要：本文基于财富管理的视角，以客户为中心，应用NSGA-II建立以桥墩截面半径和纵筋配筋率为决策变量的桥墩截面优化设计模型，将桥墩截面优化设计优化问题模拟为生物进化问题，为客户提供一套桥墩造价最小的设计方案。计算结果表明：NSGA-II方法得到的非劣解在目标空间中分布均匀、计算速度快、收敛性和鲁棒性好，该设计方法在满足客户对桥梁结构性能的安全需求同时，降低了客户投资风险、实现效益最大化。
关键词：桥墩;截面;NSGA-II;优化设计
Abstract：In this paper，based on the perspective of wealth management，taking the customer as the center，the NSGA-II is applied to establish the optimal design model of pier section with the pier section radius and longitudinal reinforcement ratio as the decision variables.The optimal design problem of pier section is simulated as the biological evolution problem，and a set of design scheme with the lowest pier cost is provided for the customer.The calculation results show that the non inferior solution obtained by NSGA-II method is evenly distributed in the target space，with fast calculation speed，good convergence and robustness. The design method can meet the safety requirements of customers for the bridge structure performance，reduce the investment risk of customers and maximize the benefits.
Key words：bridge pier; section;NSGA-II;optimal design]
1引言
橋梁设计是一个复杂的过程，首先需要假设初始的截面尺寸和纵筋配筋率，然后对假设的截面配置进行分析验算。在设计过程中需要执行很多次迭代计算，直到假定的截面配置满足设计规范，另外，还需要从截面配置方案中选择满足安全性、可靠性、设计规范及规范要求的造价、重量、美学等的最优截面。设计师在满足所有前面的标准的可选择的截面配置方案中选择最优的截面配置是非常困难的。
本文基于财富管理的视角，以客户为中心，首次提出将精英保留非劣排序遗传算法（Elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm，简称NSGA-II）应用到桥墩截面优化设计中来，以公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范中圆形截面偏心受压柱式墩计算模型为基础，建立了以桥墩截面半径和纵筋配筋率为决策变量，以抗弯强度需求能力比和桥墩的初始造价为目标的多目标优化模型，并研究了该模型的具体求解方法。该方法既能够给设计师提供更灵活的选择空间，也可以降低了客户投资风险、实现效益最大化。
2建立圆柱桥墩截面优化设计的数学模型
2.1设计变量
取圆柱桥墩截面的纵向钢筋配筋率[ρ]和圆形截面半径[r]作为设计变量。
2.2目标函数
目标函数为桥墩的造价，以材料费用表示为
2.3约束函数
圆形截面钢筋混凝土偏心受压构件正截面抗压承载力约束
1）对于长细比[l0/i>17.5]的构件，应考虑构件在弯矩作用平面内的挠曲对轴向力偏心距的影响。此时，应将轴向力对截面重心轴的偏心距[e0]乘以偏心距增大系数[η]。
2）计算系数A、B、C、D应按下列公式计算
2.4圆形截面偏心受压构件承载力计算步骤和流程图
（1）判断墩柱长细比[l0/i]是否大于17.5，以此确定是否考虑偏心距增大系数。
（2）假定受压区高度与圆形截面直径的比值[ξ]。
（3）根据假定的[ξ]值带入公式（7～10）得到计算参数A、B、C和D。
（4）将计算参数带入公式2的右边项，求得计算截面的设计承载力。
（5）根据求得的截面设计承载力反算偏心距[e00]，将其与设计要求的[e0]比较，若两者相差不超过2%，则求得的截面设计承载力即为真实的承载力;否则重新假定[ξ]值，重复以上3～4，直到满足精度要求为止。编程流程图如下：
3精英保留非劣排序遗传算法
NSGA-II的主要方法为：
（1）虚拟适应度的计算
在NSGA-II算法中，个体的适应度包括非劣解的等级和个体的虚拟适应度.为了保持个体的多样性、防止个体在局部堆积，NSGA-II算法首次提出了虚拟适应度（dummy fitness）的概念，它指目标空间上的每一点与同等级相邻2点之间的局部拥挤距离。例如，图1中目标空间第[i]点的拥挤距离等于它在同一等级相邻的点[i-1]和[i+1]在[f1]轴和[f2]轴距离的和，即由点[i-1]和[i+1]组成的矩形2个边长之和。使用这一方法可自动调整小生境（niche），使计算结果在目标空间比较均匀地散布，具有较好的鲁棒性。 具体实现时，首先解码染色体，然后按计算模型计算每个个体相应的目标函数，再根据目标函数值进行非劣分层，计算每层个体的虚拟适应度.虚拟适应度的计算步骤如下：
5）对不同的目标函数，重复步骤2）～4）操作。
（2）选择运算
（3）精英策略
精英策略即保留父代中的优良个体直接进入子代，它是遗传算法以概率1收敛的必要条件。采用的方法是：①将父代[Pt]和子代[Qt]全部个体合成为一个统一的种群[Rt=Pt∪Qt]并放入进化池中，种群[Rt]的个体数成为[2N];②将种群[Rt]按非劣解等级分类并计算每一个体局部拥挤距离，依据等级的高低逐一选取个体，直至个体总数达到[N];③以此形成新一轮进化的父代种群[Pt+1]，其个体数为[N]。在此基础上开始新一轮的选择、交叉和变异，形成新的子代种群[Qt+1]。
精英保留非劣排序遗传算法流程如图3：
4NSGA-II用于圆柱桥墩截面优化设计的具体实现
4.1实例与NSGA-II参数选择
算例为某市立交桥，该桥为连续曲梁桥，钢筋混凝土独柱桥，计算模型取圆柱形桥墩高度[H=20m]，上部结构集中质量[W=1450t]，偏心距[e0=0.32m]墩柱混凝土采用[C30]，轴心抗压强度设计值[fcd]取13.8MPa;主筋采用HRB335级，抗压强度设计值[f'sd]取280MPa，沿截面周边均匀布置。混凝土、纵筋的单价分别取为700元/m3、3400元/t。钢的密度78.5kN/m3。
在本算例中，以抗弯强度需求能力比和桥墩的初始造价分别作为多目标优化问题的目标函数，建立多目标优化模型如下：
考虑到圆柱桥墩截面优化设计的具体要求，目前情况下，以圆柱桥墩截面优化设计必须满足正截面抗压承载力为约束要求，为此可以采用罚函数法，构造圆柱桥墩截面优化设计目标函数，即：
以桥墩截面半径[r]和纵筋配筋率[ρ]为优化参数，则待优化的决策变量有[x1，x2]2个，即[X=x1，x2T]，采用实数编码形式。优化参数的边界约束条件如下
其他参数选择：种群规[pop=200]，最大进化代数[gen=300]，随机联赛规模[N=2]，交叉概率[Pc=0.9]，变异概率[Pm=0.1]。
4.2结果与分析
（1）NSGA-II算法经过300次遗传迭代后的结果如图4，从图4中的非劣解中设计师能够在广泛的范围内更灵活地选择截面设计方案。
（2）由图4可知，抗弯强度需求能力比越小，桥墩的初始造价越大，即抗弯强度越大，桥墩的初始造价越大。
（3）本文所用的方法可以满足在不同的抗弯强度需求和初始造价提供更加灵活的选择空间。
5结论与展望
通过将NSGA-II算法對规则钢筋混凝土桥梁圆形单柱桥墩进行截面优化设计，可以得到以下结论：
（1）经过NSGA-II算法优化之后可以获得大量在设计空间中广泛分布的Pareto最优设计变量和最优目标函数序列，从而使得设计师能够在广泛的范围内更灵活地进行截面设计，而不仅仅局限于传统意义上造价最小的设计方案。
（2）本文所用的算法只是对圆柱形桥墩截面的优化，对于具体的桥墩抗震截面设计优化还未涉及，还有待于作进一步研究。
（3）本文基于财富管理的视角下，以客户为中心，为客户提供一系列桥墩造价最小的设计方案，降低了客户投资风险、实现效益最大化。
参考文献
[1]中交公路规划设计院.JYDD62-2004公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范[S].北京：人民交通出版社，2004.
[2]彭波.圆柱形桥墩截面设计[J].中国水运，2010，10（02）：151-152.
[3]石志源.桥梁结构电算[M].北京：人民交通出版社，2010.
[4]雷英杰，张善文，李继武，等.MATLAB遗传算法工具箱及应用[M].西安：电子科技大学出版社.2006.
[5]张士博，郄志红，吴鑫淼，等.基于精英保留非劣排序遗传算法的玉米非充分灌溉制度优化[C].Chinese Control and Decision Conference，（CCDC08）2008，Vol.6.
[6]柳春光，张士博，柳英洲.基于全寿命抗震性能的近海桥梁结构多目标优化设计方法[J].大连理工大学学报，2015，55（01）：39-46.
[7]柳春光，张士博，柳英洲.基于NSGA-Ⅱ的规则桥梁圆形单柱RC桥墩全寿命造价优化设计[J].水利与建筑工程学报，2015，13（02）：1-6.
[8]中华人民共和国交通运输部.JTG/TB02-01-2008公路桥梁抗震设计细则[S].北京：人民交通出版社，2008.
关键词：桥墩;截面;NSGA-II;优化设计
Abstract：In this paper，based on the perspective of wealth management，taking the customer as the center，the NSGA-II is applied to establish the optimal design model of pier section with the pier section radius and longitudinal reinforcement ratio as the decision variables.The optimal design problem of pier section is simulated as the biological evolution problem，and a set of design scheme with the lowest pier cost is provided for the customer.The calculation results show that the non inferior solution obtained by NSGA-II method is evenly distributed in the target space，with fast calculation speed，good convergence and robustness. The design method can meet the safety requirements of customers for the bridge structure performance，reduce the investment risk of customers and maximize the benefits.
Key words：bridge pier; section;NSGA-II;optimal design]
1引言
橋梁设计是一个复杂的过程，首先需要假设初始的截面尺寸和纵筋配筋率，然后对假设的截面配置进行分析验算。在设计过程中需要执行很多次迭代计算，直到假定的截面配置满足设计规范，另外，还需要从截面配置方案中选择满足安全性、可靠性、设计规范及规范要求的造价、重量、美学等的最优截面。设计师在满足所有前面的标准的可选择的截面配置方案中选择最优的截面配置是非常困难的。
本文基于财富管理的视角，以客户为中心，首次提出将精英保留非劣排序遗传算法（Elitist Non-dominated Sorting Genetic Algorithm，简称NSGA-II）应用到桥墩截面优化设计中来，以公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范中圆形截面偏心受压柱式墩计算模型为基础，建立了以桥墩截面半径和纵筋配筋率为决策变量，以抗弯强度需求能力比和桥墩的初始造价为目标的多目标优化模型，并研究了该模型的具体求解方法。该方法既能够给设计师提供更灵活的选择空间，也可以降低了客户投资风险、实现效益最大化。
2建立圆柱桥墩截面优化设计的数学模型
2.1设计变量
取圆柱桥墩截面的纵向钢筋配筋率[ρ]和圆形截面半径[r]作为设计变量。
2.2目标函数
目标函数为桥墩的造价，以材料费用表示为
2.3约束函数
圆形截面钢筋混凝土偏心受压构件正截面抗压承载力约束
1）对于长细比[l0/i>17.5]的构件，应考虑构件在弯矩作用平面内的挠曲对轴向力偏心距的影响。此时，应将轴向力对截面重心轴的偏心距[e0]乘以偏心距增大系数[η]。
2）计算系数A、B、C、D应按下列公式计算
2.4圆形截面偏心受压构件承载力计算步骤和流程图
（1）判断墩柱长细比[l0/i]是否大于17.5，以此确定是否考虑偏心距增大系数。
（2）假定受压区高度与圆形截面直径的比值[ξ]。
（3）根据假定的[ξ]值带入公式（7～10）得到计算参数A、B、C和D。
（4）将计算参数带入公式2的右边项，求得计算截面的设计承载力。
（5）根据求得的截面设计承载力反算偏心距[e00]，将其与设计要求的[e0]比较，若两者相差不超过2%，则求得的截面设计承载力即为真实的承载力;否则重新假定[ξ]值，重复以上3～4，直到满足精度要求为止。编程流程图如下：
3精英保留非劣排序遗传算法
NSGA-II的主要方法为：
（1）虚拟适应度的计算
在NSGA-II算法中，个体的适应度包括非劣解的等级和个体的虚拟适应度.为了保持个体的多样性、防止个体在局部堆积，NSGA-II算法首次提出了虚拟适应度（dummy fitness）的概念，它指目标空间上的每一点与同等级相邻2点之间的局部拥挤距离。例如，图1中目标空间第[i]点的拥挤距离等于它在同一等级相邻的点[i-1]和[i+1]在[f1]轴和[f2]轴距离的和，即由点[i-1]和[i+1]组成的矩形2个边长之和。使用这一方法可自动调整小生境（niche），使计算结果在目标空间比较均匀地散布，具有较好的鲁棒性。 具体实现时，首先解码染色体，然后按计算模型计算每个个体相应的目标函数，再根据目标函数值进行非劣分层，计算每层个体的虚拟适应度.虚拟适应度的计算步骤如下：
5）对不同的目标函数，重复步骤2）～4）操作。
（2）选择运算
（3）精英策略
精英策略即保留父代中的优良个体直接进入子代，它是遗传算法以概率1收敛的必要条件。采用的方法是：①将父代[Pt]和子代[Qt]全部个体合成为一个统一的种群[Rt=Pt∪Qt]并放入进化池中，种群[Rt]的个体数成为[2N];②将种群[Rt]按非劣解等级分类并计算每一个体局部拥挤距离，依据等级的高低逐一选取个体，直至个体总数达到[N];③以此形成新一轮进化的父代种群[Pt+1]，其个体数为[N]。在此基础上开始新一轮的选择、交叉和变异，形成新的子代种群[Qt+1]。
精英保留非劣排序遗传算法流程如图3：
4NSGA-II用于圆柱桥墩截面优化设计的具体实现
4.1实例与NSGA-II参数选择
算例为某市立交桥，该桥为连续曲梁桥，钢筋混凝土独柱桥，计算模型取圆柱形桥墩高度[H=20m]，上部结构集中质量[W=1450t]，偏心距[e0=0.32m]墩柱混凝土采用[C30]，轴心抗压强度设计值[fcd]取13.8MPa;主筋采用HRB335级，抗压强度设计值[f'sd]取280MPa，沿截面周边均匀布置。混凝土、纵筋的单价分别取为700元/m3、3400元/t。钢的密度78.5kN/m3。
在本算例中，以抗弯强度需求能力比和桥墩的初始造价分别作为多目标优化问题的目标函数，建立多目标优化模型如下：
考虑到圆柱桥墩截面优化设计的具体要求，目前情况下，以圆柱桥墩截面优化设计必须满足正截面抗压承载力为约束要求，为此可以采用罚函数法，构造圆柱桥墩截面优化设计目标函数，即：
以桥墩截面半径[r]和纵筋配筋率[ρ]为优化参数，则待优化的决策变量有[x1，x2]2个，即[X=x1，x2T]，采用实数编码形式。优化参数的边界约束条件如下
其他参数选择：种群规[pop=200]，最大进化代数[gen=300]，随机联赛规模[N=2]，交叉概率[Pc=0.9]，变异概率[Pm=0.1]。
4.2结果与分析
（1）NSGA-II算法经过300次遗传迭代后的结果如图4，从图4中的非劣解中设计师能够在广泛的范围内更灵活地选择截面设计方案。
（2）由图4可知，抗弯强度需求能力比越小，桥墩的初始造价越大，即抗弯强度越大，桥墩的初始造价越大。
（3）本文所用的方法可以满足在不同的抗弯强度需求和初始造价提供更加灵活的选择空间。
5结论与展望
通过将NSGA-II算法對规则钢筋混凝土桥梁圆形单柱桥墩进行截面优化设计，可以得到以下结论：
（1）经过NSGA-II算法优化之后可以获得大量在设计空间中广泛分布的Pareto最优设计变量和最优目标函数序列，从而使得设计师能够在广泛的范围内更灵活地进行截面设计，而不仅仅局限于传统意义上造价最小的设计方案。
（2）本文所用的算法只是对圆柱形桥墩截面的优化，对于具体的桥墩抗震截面设计优化还未涉及，还有待于作进一步研究。
（3）本文基于财富管理的视角下，以客户为中心，为客户提供一系列桥墩造价最小的设计方案，降低了客户投资风险、实现效益最大化。
参考文献
[1]中交公路规划设计院.JYDD62-2004公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范[S].北京：人民交通出版社，2004.
[2]彭波.圆柱形桥墩截面设计[J].中国水运，2010，10（02）：151-152.
[3]石志源.桥梁结构电算[M].北京：人民交通出版社，2010.
[4]雷英杰，张善文，李继武，等.MATLAB遗传算法工具箱及应用[M].西安：电子科技大学出版社.2006.
[5]张士博，郄志红，吴鑫淼，等.基于精英保留非劣排序遗传算法的玉米非充分灌溉制度优化[C].Chinese Control and Decision Conference，（CCDC08）2008，Vol.6.
[6]柳春光，张士博，柳英洲.基于全寿命抗震性能的近海桥梁结构多目标优化设计方法[J].大连理工大学学报，2015，55（01）：39-46.
[7]柳春光，张士博，柳英洲.基于NSGA-Ⅱ的规则桥梁圆形单柱RC桥墩全寿命造价优化设计[J].水利与建筑工程学报，2015，13（02）：1-6.
[8]中华人民共和国交通运输部.JTG/TB02-01-2008公路桥梁抗震设计细则[S].北京：人民交通出版社，2008.