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在各个学段的数学学习中，只有学会解题，才能学好数学这一学科.下面，笔者将结合多年教学经验对初中数学中的分类讨论的思想和分类探讨问题进行探讨.分类探讨思想的逻辑性较强，其知识点的涵盖也比较广，因此解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度.
一、考查数学概念及定义的分类
在考查数学概念及定义的分类中，教师要引导学生注重相应的规律，要能引导学生熟练掌握数学中的概念及定义，其中绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，这样才能确定其存在的条件和标准.
例1求函数y=（k-1）x2+kx+1与x轴的交点坐标.
本题的条件是不唯一的，该函数是什么函数？问题中没有说明.有几种可能情况呢？两种：一次函数或二次函数.所以要分为二类：（1） 当此函数为一次函数时，k=1，求得与x轴交点为（-1，0），（2） 当此函数为二次函数时，k≠1，Δ=（k-2）2 ，①Δ>0，即k≠2时，有两个交点（-1，0），（1/（1-k） ，0） ；②△=0，即k=2时，有一个交点（-1，0） ；③Δ<0，即（k-2）2<0，不存在k的取值.综合以上分类解题过程，得出本题的正确答案为：k=1时，与x轴交点为（-1，0） ；k≠1且k≠2时，与x轴交点为（-1，0），（1/（1-k） ，0） ；k=2时，与x轴交点为（-1，0） .
图1
例2如图1，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有个.（上海市中考填空题第19题）
本题的题设和结论也是不唯一确定的，显然，符合条件的旋转中心必在边CD上，可以这样分类：（1） 绕点C旋转，有一解；（2） 绕点D旋转，有一解；（3） 绕CD上异于C、D的点旋转，只能是CD的中点.这样就得出了本题的正确答案：有3个.
在这两例题中，审清题意是解答准确的关键，对于数学解题来说也是极为重要的.教师在日常授课过程中要引导学生重视审题，培养学生认真审题.相应的，如果学生细心审题，弄清已知条件或未知结论中的不定因素，在此基础上去逐步解题，则马到成功.
二、考查字母的取值情况或范围的分类
考查字母的取值情况或范围的分类通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.
例3如图2边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）一次函数y=x+t的图像l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）
.
（1）当t取何值时，S=3？
（2）在平面直角坐标系下，画出S与t的函数图像.
图2
解答过程中，我们可以先设l与正方形ABCD的交点为M，N，易知ΔDMN是等腰RtΔ，只有当MD=
2时，
S△MDN=1，那么
S=S□ABCD-S△MDN=3，此时求得t=4-2，第（2）问中，随着t的变化，S的表达式发生变化，因而须分类讨论t在不同取值时S的表达式，进而作出图像.
解：（1）设l与正方形ABCD的交点为M，N（如图3），
因为l的解析式y=x+t，在x轴，y轴上所截线段相等.
所以△DMN为等腰Rt△DMN.
因为S=3，所以S△DMN=SABCD-S=2×2-3=1.
又因为S△DMN=12MD·ND=12ND2.
所以MD=ND=2，所以ON=OD-DM=4-2，
即D点的坐标为（0，4-2）
所以t=4-2，即当4-2时，S=3.
图3图4
（2）因为直线l与y轴的交点M的坐标为（0，t）
所以当0≤t<2时， S=12MB·BN=12t2
当2≤t<4时， S=SABCD-S△DMN=-12
（t-4）2+4.
当t≥4时，S=4.
根据以上解析式，作出图象（如图4）.
图5
例4（2011年永州）正方形ABCD的边长为10 cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动.如图5，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D两点间的距离.
解：点P从A点出发，分别走到B，C，D，A所用时间是
102秒， 202秒，
302秒， 402秒，即5秒，10秒，15秒，20秒.
所以（1）当0≤t<5时，点P在线段AB上，|PD|=|P1D|=
（2t）2+102=2t2+25 （cm）
（2）当5≤t<10时，点P在线段BC上，|PD|=|P2D|=
（20-2t）2+102=2t2-20t+125.
（3）当10≤t<15时，点P在线段CD上，|PD|=|P3D|=30-2t.
（4）当15≤t≤20时，点P在线段DA上，|PD|=|P4D|=2t-30
综上得：|PD|=
2t2+25（cm） （0≤t<5）
2t2-20t+125 （cm） （5≤t<10）
（30-2t） （cm）（10≤t<15）
（2t-30） （cm）（15≤t≤20）
.
在这道题中，考查了动点P与定点D之间的距离，应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解.
此外，还有考查图形的位置关系或形状的分类，在这里，我们要熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决；还有就是考查图形的对应关系可能情况的分类，要注重图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.
总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响.
一、考查数学概念及定义的分类
在考查数学概念及定义的分类中，教师要引导学生注重相应的规律，要能引导学生熟练掌握数学中的概念及定义，其中绝对值、方程及根的定义，函数的定义尤为重要，必须明确讨论对象及原因，这样才能确定其存在的条件和标准.
例1求函数y=（k-1）x2+kx+1与x轴的交点坐标.
本题的条件是不唯一的，该函数是什么函数？问题中没有说明.有几种可能情况呢？两种：一次函数或二次函数.所以要分为二类：（1） 当此函数为一次函数时，k=1，求得与x轴交点为（-1，0），（2） 当此函数为二次函数时，k≠1，Δ=（k-2）2 ，①Δ>0，即k≠2时，有两个交点（-1，0），（1/（1-k） ，0） ；②△=0，即k=2时，有一个交点（-1，0） ；③Δ<0，即（k-2）2<0，不存在k的取值.综合以上分类解题过程，得出本题的正确答案为：k=1时，与x轴交点为（-1，0） ；k≠1且k≠2时，与x轴交点为（-1，0），（1/（1-k） ，0） ；k=2时，与x轴交点为（-1，0） .
图1
例2如图1，如果四边形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有个.（上海市中考填空题第19题）
本题的题设和结论也是不唯一确定的，显然，符合条件的旋转中心必在边CD上，可以这样分类：（1） 绕点C旋转，有一解；（2） 绕点D旋转，有一解；（3） 绕CD上异于C、D的点旋转，只能是CD的中点.这样就得出了本题的正确答案：有3个.
在这两例题中，审清题意是解答准确的关键，对于数学解题来说也是极为重要的.教师在日常授课过程中要引导学生重视审题，培养学生认真审题.相应的，如果学生细心审题，弄清已知条件或未知结论中的不定因素，在此基础上去逐步解题，则马到成功.
二、考查字母的取值情况或范围的分类
考查字母的取值情况或范围的分类通常在函数中体现颇多，考查自变量的取值范围的分类，解题中应十分注意性质、定理的使用条件及范围.
例3如图2边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是（0，2）一次函数y=x+t的图像l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图形面积为S（阴影部分）
.
（1）当t取何值时，S=3？
（2）在平面直角坐标系下，画出S与t的函数图像.
图2
解答过程中，我们可以先设l与正方形ABCD的交点为M，N，易知ΔDMN是等腰RtΔ，只有当MD=
2时，
S△MDN=1，那么
S=S□ABCD-S△MDN=3，此时求得t=4-2，第（2）问中，随着t的变化，S的表达式发生变化，因而须分类讨论t在不同取值时S的表达式，进而作出图像.
解：（1）设l与正方形ABCD的交点为M，N（如图3），
因为l的解析式y=x+t，在x轴，y轴上所截线段相等.
所以△DMN为等腰Rt△DMN.
因为S=3，所以S△DMN=SABCD-S=2×2-3=1.
又因为S△DMN=12MD·ND=12ND2.
所以MD=ND=2，所以ON=OD-DM=4-2，
即D点的坐标为（0，4-2）
所以t=4-2，即当4-2时，S=3.
图3图4
（2）因为直线l与y轴的交点M的坐标为（0，t）
所以当0≤t<2时， S=12MB·BN=12t2
当2≤t<4时， S=SABCD-S△DMN=-12
（t-4）2+4.
当t≥4时，S=4.
根据以上解析式，作出图象（如图4）.
图5
例4（2011年永州）正方形ABCD的边长为10 cm，一动点P从点A出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动.如图5，回到A点停止，求点P运动t秒时， P，D两点间的距离.
解：点P从A点出发，分别走到B，C，D，A所用时间是
102秒， 202秒，
302秒， 402秒，即5秒，10秒，15秒，20秒.
所以（1）当0≤t<5时，点P在线段AB上，|PD|=|P1D|=
（2t）2+102=2t2+25 （cm）
（2）当5≤t<10时，点P在线段BC上，|PD|=|P2D|=
（20-2t）2+102=2t2-20t+125.
（3）当10≤t<15时，点P在线段CD上，|PD|=|P3D|=30-2t.
（4）当15≤t≤20时，点P在线段DA上，|PD|=|P4D|=2t-30
综上得：|PD|=
2t2+25（cm） （0≤t<5）
2t2-20t+125 （cm） （5≤t<10）
（30-2t） （cm）（10≤t<15）
（2t-30） （cm）（15≤t≤20）
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在这道题中，考查了动点P与定点D之间的距离，应根据P点的不同位置构造出不同的几何图形，将线段PD放在直角三角形中求解或直接观察图形求解.
此外，还有考查图形的位置关系或形状的分类，在这里，我们要熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰与角以及圆的对称性，根据图形的特殊性质，找准讨论对象，逐一解决；还有就是考查图形的对应关系可能情况的分类，要注重图形的对应关系多涉及到三角形的全等或相似问题，对其中可能出现的有关角、边的可能对应情况加以分类讨论.
总之，数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想，通过加强数学分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性，这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响.