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确定实系数二次方程实根分布问题中参数的取值范围是高中数学的重点和难点，也是历年高考考查的热点，它涉及的数学思想方法较多，综合性较强。解决此类问题的主要思路是：从对应函数的开口方向、特殊点的函数值的正负、对称轴的位置、判别式与0的关系等几个角度综合考虑后构建充要条件，从而求出参数的取值范围。现结合实例介绍几种题型及其求解策略，供大家参考。
为叙述方便，现约定：当实系数二次方程ax? bx c=0（a≠O）有两个实根时，这两个实根分别为x1、x2。
类型一：方程的两个实根均小于常数k
此种类型的求解策略是：令f（X）=ax? bx
例1 已知关于x的方程（1 a）X?-3ax 4a=O的所有根均小于1，求实数a的取值范围。
解：若l a=O，即a=-l，则方程（l a）x?-3ar 4a=0即为3x-4 =0，其根为，不满足题意，所以a≠-1。
令
由题意可知：
解得。
因此实数a的取值范围为。
变式：已知|a|=1，且方程ax?-2x-b 5=0有两个负实数根，求实数b的取值范围。
解：令
由题意可知：
解得5 评析：上述变式相当于方程的两个实根均小于0，因此构建充要条件的方式不变。
类型二：方程的两个实根均大于常数k
此种类型的求解策略是：令c，则
例2 已知一元二次方程mx?-（m 1）x 3=O的两个实根都大于-1，求实数m的取值范围。
解：令
由题意可知：
解得m<-2或，因此实数m的取值范围为。
变式：已知一元二次方程（m-l）X? 2（m l）x-m=0有两个正根，求实数m的取值范围。
解：令
由题意可知：
解得O 评析：若从，的角度解决例2，运算量明显较大。
类型三：方程的一个实根大于常数k，另一个实根小于k
此种类型的求解策略是：令
侧了若关于x的方程O有两个不等的实根x1、x2，且X1<1 解：令
由题意可知：
解得
因此实数a的取值范围是。
变式：已知一元二次方程（m-l）=O有一个正根和一个负根，求实数m的取值范围。
解：令厂
由题意可知：
解得
因此实数m的取值范围为
评析：变式中一元二次方程有一个正根和一个负根，在本质上仍然是一個实根大于常数k，另一个小于k，只不过常数k=0。
类型四：方程在区间（k1，k2）内有且仅有一个根
此种类型的求解策略是：令
例4 已知关于z的方程在区间（-2，0）内有且仅有一个实根，求实数a的取值范围。
解：当a一0时，原方程化为x-3=O，其根为x=3，不满足题意，则a≠O，原方程为一元二次方程。
①若x1=-2，代人原方程可求得a=1，易知方程的另一个根为x2=1，显然不满足题意。
②若x1=O，代入原方程可求得a=3，易知方程的另一个根为，显然满足题意。
③若-2与0均不是方程的根，令，根据题意，一定有f（-2）f（0）<0，解得l 综上所述，实数a的取值范围为（1，3]。
变式：已知在区间（-3，o）内有且仅有一个数值满足方程，求实数m的取值范围。
解：令
（l）由f（-3）f（0）<0，得（14m 15）（m 3） （2）由f（-3）=0，解得，所以满足题意。
（3）由f（0）=0，解得m=-3。又，所以m=-3不满足题意。
（4）由△=0，解得m=-1或
①若m=-l，解得x=-2∈（-3，0）.所以m=-1满足题意。
②若，解得x=3在（-3，0），所以，不满足题意。
综上所述，满足题意的实数m的取值范罔为
评析：从上面两个题目的解析过程可以看出：“方程在某区间内有且仅有一个实根”与“在某区间内有且仅有一个数值满足方程”两种说法存在着本质区别，那就是是否需要把△=0考虑进去（一元二次方程根的情况有三种：有两个相等实根，有两个不等实根，没有实根，所以前一种说法中不包括△=O这一情况）。另外，例4在检验a=l或a=3时采用的方法与其变式在检验时采用的方法均可供对方使用。
类型五：方程在区间（k1，k2）内有两个根
此种类型的求解策略是：令
例5 已知方程1=0的两个实根都在区间（-l，1）内，求实数，m的取值范围。
解：令
由题意可知
解得 因此实数m的取值范围为
变式1：设关于x的方程-5）=O在区间[0，2]内有解，求实数k的取值范围。
解：令，则原问题等价于关于t的方程在区间[1，9]内有解。令。显然k≠0。
函数f（t）的图像的对称轴为直线t=
因为，所以方程在区间[1，9]内有解
解得
所以实数k的取值范围是。
变式2：设关于x的方程0在区间（0，l）内有解，求实数k的取值范围。
解：令，则原问题等价于关于￡的方程在区间（1，2）内有解。。结合“双勾函数的图像，可知：当t∈（1，2）时，函数的值域为（4，5），所以4
为叙述方便，现约定：当实系数二次方程ax? bx c=0（a≠O）有两个实根时，这两个实根分别为x1、x2。
类型一：方程的两个实根均小于常数k
此种类型的求解策略是：令f（X）=ax? bx
例1 已知关于x的方程（1 a）X?-3ax 4a=O的所有根均小于1，求实数a的取值范围。
解：若l a=O，即a=-l，则方程（l a）x?-3ar 4a=0即为3x-4 =0，其根为，不满足题意，所以a≠-1。
令
由题意可知：
解得。
因此实数a的取值范围为。
变式：已知|a|=1，且方程ax?-2x-b 5=0有两个负实数根，求实数b的取值范围。
解：令
由题意可知：
解得5
类型二：方程的两个实根均大于常数k
此种类型的求解策略是：令c，则
例2 已知一元二次方程mx?-（m 1）x 3=O的两个实根都大于-1，求实数m的取值范围。
解：令
由题意可知：
解得m<-2或，因此实数m的取值范围为。
变式：已知一元二次方程（m-l）X? 2（m l）x-m=0有两个正根，求实数m的取值范围。
解：令
由题意可知：
解得O
类型三：方程的一个实根大于常数k，另一个实根小于k
此种类型的求解策略是：令
侧了若关于x的方程O有两个不等的实根x1、x2，且X1<1
由题意可知：
解得
因此实数a的取值范围是。
变式：已知一元二次方程（m-l）=O有一个正根和一个负根，求实数m的取值范围。
解：令厂
由题意可知：
解得
因此实数m的取值范围为
评析：变式中一元二次方程有一个正根和一个负根，在本质上仍然是一個实根大于常数k，另一个小于k，只不过常数k=0。
类型四：方程在区间（k1，k2）内有且仅有一个根
此种类型的求解策略是：令
例4 已知关于z的方程在区间（-2，0）内有且仅有一个实根，求实数a的取值范围。
解：当a一0时，原方程化为x-3=O，其根为x=3，不满足题意，则a≠O，原方程为一元二次方程。
①若x1=-2，代人原方程可求得a=1，易知方程的另一个根为x2=1，显然不满足题意。
②若x1=O，代入原方程可求得a=3，易知方程的另一个根为，显然满足题意。
③若-2与0均不是方程的根，令，根据题意，一定有f（-2）f（0）<0，解得l
变式：已知在区间（-3，o）内有且仅有一个数值满足方程，求实数m的取值范围。
解：令
（l）由f（-3）f（0）<0，得（14m 15）（m 3）
（3）由f（0）=0，解得m=-3。又，所以m=-3不满足题意。
（4）由△=0，解得m=-1或
①若m=-l，解得x=-2∈（-3，0）.所以m=-1满足题意。
②若，解得x=3在（-3，0），所以，不满足题意。
综上所述，满足题意的实数m的取值范罔为
评析：从上面两个题目的解析过程可以看出：“方程在某区间内有且仅有一个实根”与“在某区间内有且仅有一个数值满足方程”两种说法存在着本质区别，那就是是否需要把△=0考虑进去（一元二次方程根的情况有三种：有两个相等实根，有两个不等实根，没有实根，所以前一种说法中不包括△=O这一情况）。另外，例4在检验a=l或a=3时采用的方法与其变式在检验时采用的方法均可供对方使用。
类型五：方程在区间（k1，k2）内有两个根
此种类型的求解策略是：令
例5 已知方程1=0的两个实根都在区间（-l，1）内，求实数，m的取值范围。
解：令
由题意可知
解得 因此实数m的取值范围为
变式1：设关于x的方程-5）=O在区间[0，2]内有解，求实数k的取值范围。
解：令，则原问题等价于关于t的方程在区间[1，9]内有解。令。显然k≠0。
函数f（t）的图像的对称轴为直线t=
因为，所以方程在区间[1，9]内有解
解得
所以实数k的取值范围是。
变式2：设关于x的方程0在区间（0，l）内有解，求实数k的取值范围。
解：令，则原问题等价于关于￡的方程在区间（1，2）内有解。。结合“双勾函数的图像，可知：当t∈（1，2）时，函数的值域为（4，5），所以4
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