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南京师范大学第二附属高级中学 【摘要】：从数学学科上讲，规范教学应具体包含言行规范、板书规范、推理论证规范、运算求解规范、解题格式规范以及创新教学规范等。
【关键词】：数学高考 规范教学
【正文】：
教学规范是人为制定的、要求所属社会成员遵守的一种思想规则及行为规则，通常表现为纪律及仪式。教学规范与自然形成的习俗不同，而由某个权威机构先行制定，在学校生活中，教学规范主要表现为6种形态，即制度形态、组织形态、学科形态、意识形态、事务形态和物质形态。下面我从一次阅卷谈一谈数学学科规范教学的重要性。
案例（江苏南通2014届期末 第17题）
如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上。一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O。一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补物资后以相同的航速送往科考船。已知两船同时出发，补给装船时间为1小时。
（1）求给养快艇从港口A 到小岛B的航行时间；
（2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？
评卷说明：
一、第1问（5分）
细则：（1）在△ABO中解到AB=60海里得3分；
（2）由物理学知识，时间=路程÷速度得到给养快艇航行时间为1小时得5分；
二、第2问（9分）
细则：（1）未交代“为使航行时间最少，快艇从小岛B 驶离后须按直线方向航行”扣2分；
（2）设给养快艇从小岛B驶离后t（t>0）小时后恰与科考船在C处相遇。在△OCB中，准确写出OB= ， BC=60t，OC=20（2+t）， ∠BOC=30°得2分；正确写出余弦定理得1分；准确解出时间t得2分，未取舍扣1分；
（3）对于应用题最后未出现“答：……。”或者总结的语句扣2分.
阅卷情况：
㈠数据：本题满分14分 县均分8.69 难度0.62 中档题
㈡常见问题：
第1问 （1）部分学生对地理学上的方位角概念不清；
（2）AB长度计算错误；
（3）读题不仔细导致速度运用错误.
第2问
（1）学生对应用题有畏惧心理，共性问题：不清楚为什么按直线方向使航行时间最少；
（2）大部分学生列式正确，解不出t或解出t但不知道取舍；以下两种解法时间t的不同设法均须取舍.
正确解法一：设给养快艇从小岛B驶离后t（t>0）小时后恰与科考船在C处相遇。在△OAB中，可计算得OB= ，而在△OCB中，BC=60t，OC=20（2+t）， ∠BOC=30°，由余弦定理，得BC2=OB2+OC2-2OB·OC·cos∠BOC，即解得 或 （舍去）. 故t 2 3。即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇。
正确解法二：设给养快艇驶离港口A后t（t>2）小时后恰与科考船在C处相遇。△OCB中，BC=60（t-2），OC=20t， ∠BOC=30°， 由余弦定理，得BC2=OB2+OC2-2OB·OC·cos∠BOC，即解得 或 （舍去）。
（3）列式不正确，OC长度错误表示，如：OC=20t或OC=20（1+t）.导致解不出正确结果。
（4）物理学上的概念不清楚，相遇问题是等式关系并不能由不等式关系或者函数关系表示.
问题解法一：设给养快艇从小岛B驶离后t（t>0）小时后恰与科考船在C处相遇。在△OAB中，可计算得OB= ，而在△OCB中，BC=60t，OC=20（2+t）， ∠BOC=30°，由余弦定理，得BC2≤OB2+OC2-2OB·OC·cos∠BOC，即解得 或 （舍去）.
[问题原因]：本题的相遇应由等式表示.
问题解法二：设∠OBC= ，在△OBC中，由正弦定理有 ，
即 ，得 。然后用导数求函数最值的方法求解。
[问题原因]：本题的相遇并不是时间t随变量 的变化而变化的函数问题，时间最短的是由于是否按直线方向航行而决定的.
㈢其他正确解法
解法三：建立直角坐标系如图所示， 设给养快艇驶离港口A后t（t>2）小时后恰与科考船在C处相遇。
，所以可设 ， ，
由BC=60（t-2），即 ，可解得 或 （舍去）。
解法四：建立直角坐标系如图所示， 利用给养快艇从小岛B驶离后时间相等 ，即 ，可解得 或 （舍去）。
解法五：设∠OBC= ，则∠EBC= ，利用 ①， ②
由①②两式消去 ，解得 或 （舍去）。
㈣典型错误解法
第一种：认为时间最短就是路程最短，即给养快艇从小岛B到直线OD垂直距离最短.
[错误原因]：其实此时两船不会相遇.
第二种：认为科学考察船停在直线AB与直线OD的交点处等侯，给养快艇仍按AB方向航行.
第三种：认为两船相遇就是OC=BC.
[错误原因]：对于物理学的相遇问题概念不清甚至混乱，有关数学建模问题的文字语言-图形语言-符号语言相互间转化能力欠缺.
从评分细则的要求和我们学生的解题方法中处处都彰显出了数学学科规范解题的必要性和重要性；阅卷中，我们发现绝大部分考生第（2）问中细则（1）、（3）均被扣分。
㈤教学建议：
1.注重数学中常见其他学科相关术语的概念教学，如“方位角”、“仰角”、“俯角”、“坡角”、“坡比”等；
2.注重学生读题、审题能力的培养，即首先要仔细审题分清已知、未知，画出示意图，再将已知条件与求解目标尽量集中到数学建模问题的相应模型中去；
3.重视学生在数据处理能力和运算求解能力方面的提高培养，应扎实落实在平时的训练解题中；
4.教师在平时的教学中应注重对常见应用题类型以及相应解题策略的归纳与总结，帮助学生建立数学应用题解题模型；
5.教师应加强创新教学的探索与研究，努力形成学生“发现问题—分析问题—解决问题—提出问题”的课堂学习模式；
通过案例我们可以看出，学生规范解题对于他们高考成绩的提高是多么重要，然而学生的规范解题来自于数学教师的规范教学，所以教学规范并非臆想的产物，而是伴随教学活动的开展而逐渐总结并定形的。从数学学科上讲，规范教学应具体包含言行规范、板书规范、推理论证规范、运算求解规范、解题格式规范以及创新教学规范等。
高考中，数学解答题结果的正确并不意味着得分就是满分，更重要的是看解题是否规范。对于教师而言，我们只有做到了上述六个方面的规范教学，学生的作业、高考试卷才清晰易改，我们的学生在高考中才能取得高分，减少失分，甚至不失分；同时也有利于训练人的逻辑思维能力，为国家培养具有严谨作风的人才。
【参考文献】：
《数学新课程与数学学习》孔企平 张维忠 黄荣金编著2004.2
《数学思维与数学方法论》郑毓信 肖柏荣 熊萍编著2005.6
《论教学规范的习俗化》 郭华 北京师范大学教育学院 现代教育管理·2009年第7期
普通高中数学课程标准（实验） 人民教育出版社 2003.4
《2014年高考考试说明》 江苏教育考试院 2014.1
【关键词】：数学高考 规范教学
【正文】：
教学规范是人为制定的、要求所属社会成员遵守的一种思想规则及行为规则，通常表现为纪律及仪式。教学规范与自然形成的习俗不同，而由某个权威机构先行制定，在学校生活中，教学规范主要表现为6种形态，即制度形态、组织形态、学科形态、意识形态、事务形态和物质形态。下面我从一次阅卷谈一谈数学学科规范教学的重要性。
案例（江苏南通2014届期末 第17题）
如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东60°的方向，且在港口A北偏西30°的方向上。一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O。一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补物资后以相同的航速送往科考船。已知两船同时出发，补给装船时间为1小时。
（1）求给养快艇从港口A 到小岛B的航行时间；
（2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？
评卷说明：
一、第1问（5分）
细则：（1）在△ABO中解到AB=60海里得3分；
（2）由物理学知识，时间=路程÷速度得到给养快艇航行时间为1小时得5分；
二、第2问（9分）
细则：（1）未交代“为使航行时间最少，快艇从小岛B 驶离后须按直线方向航行”扣2分；
（2）设给养快艇从小岛B驶离后t（t>0）小时后恰与科考船在C处相遇。在△OCB中，准确写出OB= ， BC=60t，OC=20（2+t）， ∠BOC=30°得2分；正确写出余弦定理得1分；准确解出时间t得2分，未取舍扣1分；
（3）对于应用题最后未出现“答：……。”或者总结的语句扣2分.
阅卷情况：
㈠数据：本题满分14分 县均分8.69 难度0.62 中档题
㈡常见问题：
第1问 （1）部分学生对地理学上的方位角概念不清；
（2）AB长度计算错误；
（3）读题不仔细导致速度运用错误.
第2问
（1）学生对应用题有畏惧心理，共性问题：不清楚为什么按直线方向使航行时间最少；
（2）大部分学生列式正确，解不出t或解出t但不知道取舍；以下两种解法时间t的不同设法均须取舍.
正确解法一：设给养快艇从小岛B驶离后t（t>0）小时后恰与科考船在C处相遇。在△OAB中，可计算得OB= ，而在△OCB中，BC=60t，OC=20（2+t）， ∠BOC=30°，由余弦定理，得BC2=OB2+OC2-2OB·OC·cos∠BOC，即解得 或 （舍去）. 故t 2 3。即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇。
正确解法二：设给养快艇驶离港口A后t（t>2）小时后恰与科考船在C处相遇。△OCB中，BC=60（t-2），OC=20t， ∠BOC=30°， 由余弦定理，得BC2=OB2+OC2-2OB·OC·cos∠BOC，即解得 或 （舍去）。
（3）列式不正确，OC长度错误表示，如：OC=20t或OC=20（1+t）.导致解不出正确结果。
（4）物理学上的概念不清楚，相遇问题是等式关系并不能由不等式关系或者函数关系表示.
问题解法一：设给养快艇从小岛B驶离后t（t>0）小时后恰与科考船在C处相遇。在△OAB中，可计算得OB= ，而在△OCB中，BC=60t，OC=20（2+t）， ∠BOC=30°，由余弦定理，得BC2≤OB2+OC2-2OB·OC·cos∠BOC，即解得 或 （舍去）.
[问题原因]：本题的相遇应由等式表示.
问题解法二：设∠OBC= ，在△OBC中，由正弦定理有 ，
即 ，得 。然后用导数求函数最值的方法求解。
[问题原因]：本题的相遇并不是时间t随变量 的变化而变化的函数问题，时间最短的是由于是否按直线方向航行而决定的.
㈢其他正确解法
解法三：建立直角坐标系如图所示， 设给养快艇驶离港口A后t（t>2）小时后恰与科考船在C处相遇。
，所以可设 ， ，
由BC=60（t-2），即 ，可解得 或 （舍去）。
解法四：建立直角坐标系如图所示， 利用给养快艇从小岛B驶离后时间相等 ，即 ，可解得 或 （舍去）。
解法五：设∠OBC= ，则∠EBC= ，利用 ①， ②
由①②两式消去 ，解得 或 （舍去）。
㈣典型错误解法
第一种：认为时间最短就是路程最短，即给养快艇从小岛B到直线OD垂直距离最短.
[错误原因]：其实此时两船不会相遇.
第二种：认为科学考察船停在直线AB与直线OD的交点处等侯，给养快艇仍按AB方向航行.
第三种：认为两船相遇就是OC=BC.
[错误原因]：对于物理学的相遇问题概念不清甚至混乱，有关数学建模问题的文字语言-图形语言-符号语言相互间转化能力欠缺.
从评分细则的要求和我们学生的解题方法中处处都彰显出了数学学科规范解题的必要性和重要性；阅卷中，我们发现绝大部分考生第（2）问中细则（1）、（3）均被扣分。
㈤教学建议：
1.注重数学中常见其他学科相关术语的概念教学，如“方位角”、“仰角”、“俯角”、“坡角”、“坡比”等；
2.注重学生读题、审题能力的培养，即首先要仔细审题分清已知、未知，画出示意图，再将已知条件与求解目标尽量集中到数学建模问题的相应模型中去；
3.重视学生在数据处理能力和运算求解能力方面的提高培养，应扎实落实在平时的训练解题中；
4.教师在平时的教学中应注重对常见应用题类型以及相应解题策略的归纳与总结，帮助学生建立数学应用题解题模型；
5.教师应加强创新教学的探索与研究，努力形成学生“发现问题—分析问题—解决问题—提出问题”的课堂学习模式；
通过案例我们可以看出，学生规范解题对于他们高考成绩的提高是多么重要，然而学生的规范解题来自于数学教师的规范教学，所以教学规范并非臆想的产物，而是伴随教学活动的开展而逐渐总结并定形的。从数学学科上讲，规范教学应具体包含言行规范、板书规范、推理论证规范、运算求解规范、解题格式规范以及创新教学规范等。
高考中，数学解答题结果的正确并不意味着得分就是满分，更重要的是看解题是否规范。对于教师而言，我们只有做到了上述六个方面的规范教学，学生的作业、高考试卷才清晰易改，我们的学生在高考中才能取得高分，减少失分，甚至不失分；同时也有利于训练人的逻辑思维能力，为国家培养具有严谨作风的人才。
【参考文献】：
《数学新课程与数学学习》孔企平 张维忠 黄荣金编著2004.2
《数学思维与数学方法论》郑毓信 肖柏荣 熊萍编著2005.6
《论教学规范的习俗化》 郭华 北京师范大学教育学院 现代教育管理·2009年第7期
普通高中数学课程标准（实验） 人民教育出版社 2003.4
《2014年高考考试说明》 江苏教育考试院 2014.1