[摘要] 本文研究导数对利润、收入、成本、批量、税收等经济问题进行了优化分析。
　　[关键词] 利润 收入 成本 批量 税收 应用
　　
　　导数是研究由自变量变化引起的函数变化的快慢程度问题的。然而在经济工作中，都可归结为求某一函数的导数问题。本文对此进行分析和研究。
　　一、最大利润问题
　　例1已知总收入和总成本分别为R=41.5Q-1.1Q2，C=150+
　　10Q-0.5Q2+0.02Q3，求使总利润达到最大值的产量。
　　解 依题意企业总利润函数为
　　L=R－C=41.5Q－1.1Q2－150－10Q+0.5Q2－0.02Q3
　　 =-150+31.5Q－0.6Q2－0.02Q3
　　令L＇=31.5-1.2Q－0.06Q=0解得Q1=15,Q2=-35(舍去）
　　又L＂=-1.2-0.12Q所以 L＂(15)＜0
　　从而在以上相关条件下，当产量为15个单位时，总利润达到最大值。
　　二、最大收入问题
　　例2．某企业每月生产甲、乙两种不同产品为X和Y吨,X和Y之间满足关系式
　　
　　如果甲种产品的价格是乙种产品价格的一半，问每月生产多少吨甲种产品和乙种产品，能使企业获得最大收入。
　　解 设甲产品的价格为a，则乙产品的价格为2a，总收入为R
　　则
　　令
　　即有x2-20x+80=0
　　解得
　　不难验证x1，x2都是函数的极值点，因此
　　当时，有
　　则
　　当时，有
　　则
　　比较两个R的值可知，取因此当甲乙产品各生产14.472或7.236吨时,企业能获得最大收入。
　　三、最低成本问题
　　例3．某产品计划在一个生产周期内的总产量为a吨,分若干批生产，设每批产品需要投入固定成本2000元,而每批生产直接消耗的变动成本与产品数量的立方成正比。如果每批生产20吨时,直接消耗成本4000元,问每批生产多少吨时，才能使总成本最省?
　　解 设每批生产X吨，则共有批，又设总成本为C，直接生产成本为C1，对固定成本有依题意有C1=KX3 当X=20,C1 =4000时，于是4000=K(20)3，解得所以故总成本为固定成本与直接消耗成本之和，即
　　
　　令 解得（吨）
　　又由C＂＞0知，当x=12.6时，函数有最小值，故每批生产12.6吨时，可使总成本最省。
　　四、最优批量问题
　　例4．商店经销某商品，年销量为D件，每件商品的库存费用为I,每批进货量为Q,每次进货所需要的费用为S,现假设商店在卖完该货物时当即进货，使库存量为平均件，问每批进货Q为多大时，整个费用最省？
　　解 由题设知，仓库存储费用为每年采购次数为所以总费用
　　
　　令 解得由T＂＞0知，时，总费用T最少。
　　五、最大税收问题
　　例5．设某企业在生产一种商品X件时的总收益为R（x）=100X－X2总成本函数为C(x)=200+50X+X2,问税务部门对每件商品征收货物税为多少时,在企业获得最大利润的情况下,总税额最大？
　　解 因为,总成本为C(x)=200+50x+x2 总收益为R(x)=100x-x2 总税额T(x)=tx 总利润为
　　L(x)=R(x)－C(x)－T(x)
　　=100x-x2－200－50x－x2-tx=50x-200-2x2-tx
　　令
　　解得又所以当时，为最大利润。取得最大利润时的税额为
　　
　　令得t=25，又
　　所以當t＝25总税收取得最大值。故每件商品征收货物税为25(货币单位)时，总税额最大。
　　参考文献:
　　[1]顾静相:《 经济应用数学》.北京:高等教育出版社,2004.7
　　[2]游士兵:《统计学》.武汉:武汉大学出版社,2004.7
　　[3]钟彼得:《 管理统计分析案例》.北京:机械工业出版社,1999