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[关键词]高中数学 函数 对称性
函数是高中数学的核心内容，也是整个高中数学的基础，是高考考查的重点与热点。函数的对称性是函数的一个常见性质，图像的对称关系充分体现了数学之美，利用对称性往往能简捷地解决一些数学问题。
一、函数对称性常用性质
函数的对称性一般体现在中心对称和轴对称。函数的奇偶性和周期性就是对称性的直接体现，常见的有以下结论。
【性质1】函数y=f(x)的图像关于原点O(0 ,0)对称f(x)=-f(-x)。（这是奇函数的数与形的体现）。
推论1：函数y=f(x)的图像关于点M（a，b）对称f(x)+f(2a-x)=2b
证明：因为函数y=f(x)的图像关于点M（a，b）对称，所以函数y=f(x)的图像按向量a=（-a,-b）平移后对应图像的解析式为：y=f(x+a)-b，关于原点0(0，0)中心对称，由性质1知f(-x+a)-b=-［f(x+a)-b］，即f(a-x)+f(a-x)=2b，即f(x)+f(2a-x)=2b。反之也成立。
推论2：函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点M(a ,b)成中心对称。
【性质2】函数y = y=f(x)的图像关于y轴对称f(x)=f(-x)。（这是偶函数的数与形的体现）。
推论3：函数y=f(x)的图像关于直线x = a轴对称f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)。
证明：因为y=f(x)的图像关于直线x = a对称，所以函数y=f(x)的图像按向量a=(-a,0)平移后图像的解析式为：y=f(x+a)，关于y轴对称，由性质2知f(x+a)=f(-x+a)，即f(a+x)=f(a-x)，即f(a+x)=f(a-x)。反之也成立。
推论4：函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。
【性质3】函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线y=x成轴对称。
推论5：函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。
证明：x-y=a可以看作y=x-a，x=y+a，代入到y=f(x)中即得。反之也成立。
推论6：函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。
【性质4】
①若函数y=f(x)的图像关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
②若函数y=f(x)图像关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
简单地说，就是一个函数有两个对称中心，或者两个对称轴，或者一个对称中心一个对称轴，则函数具有周期性。
以下证明②，其余结论可由读者自己证明。
证明：由已知和推论3，可得f(x)=f(2a-x)（*）和f(b+x)=f(b-x)（**），∵f(x)=f(2a-x)=f{b-［b-(2a-x)］}=f［（2b-2a）+x］∴y=f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
二、函数对称性应用举例
【例1】定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)=(x-1)2，求f(x)解析式。
解：本题实质就是求函数f(x)=(x-1)2（x＞0）的图像关于原点对称的函数图像的解析式。由推论2可知当x＜0时，f（x）=(-x-1)2，又因为是奇函数，所以f(0)=0。所以函数的解析式为f(x)=
【例2】设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x-)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=2006，那么f(4)=( )。
(A)2006（B）2008 （C）2010 （D）2012
解：∵f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称
∴y=g-1(x-2)的反函数是y=f(x-1)
∵y=g-1(x-2)的反函数是y=2+g(x)
∴f(x-1)=2+g(x)
∴有f(5-1)=2+g(5)=2008f
∴f(4)=2008，应选（B）
【例3】设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1-x),当－1≤x≤0时，f(x)=-12x，则f(8.6)=
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数
∴x = 0是y=f(x)的对称轴
∵f(1+x)=f(1-x)
∴x = 1也是y=f(x)对称轴
∴y=f(x)是以2为周期的周期函数，
∴ f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3
【例4】已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点(-34,0)对称，且满足f(0)=-2，f(1)=1，f(x)=-f(x+32)，则f(1)+f(2)+f(3)+Λ+f(2008)的值为（ ）。
(A)-2 （B）-1 （C）0 （D）1
解：∵函数f(x)的图像关于点(-34,0)对称
∴由推论1得f(x)+f［2×（-34）-x］=0，即f(x)=-f(-32-x)
∵f(x)=-f(x+32)
∴f(x+32)=f(-32-x)
令x=x+32，则f(x)=f(-x)，即函数f(x)为偶函数
∴由性质4结论③，函数f(x)的一个周期为4｜-34-0｜＝3
∵f(3)=f(0)=-2，f(1)=1，f(2)=f(-2)=f(1)=1
∴f(1)+f(2)+f(3)+Λ+f(2008)=1，故选D。
【例5】 (06山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x+2)，则f(6)的值为（）。
(A)-1(B) 0(C)1(D)2
解：∵f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(0)=0
∵f(x+4)=f［（x+2）+2］=-f(x2)=f(x)
∴f(6)=f(2)=-f(0)=0
三、函数对称性练习
（07天津）在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)
(A)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
(B)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
(C)在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
(D)在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
参考答案：（B）
（作者单位：河北河间华油四中）
函数是高中数学的核心内容，也是整个高中数学的基础，是高考考查的重点与热点。函数的对称性是函数的一个常见性质，图像的对称关系充分体现了数学之美，利用对称性往往能简捷地解决一些数学问题。
一、函数对称性常用性质
函数的对称性一般体现在中心对称和轴对称。函数的奇偶性和周期性就是对称性的直接体现，常见的有以下结论。
【性质1】函数y=f(x)的图像关于原点O(0 ,0)对称f(x)=-f(-x)。（这是奇函数的数与形的体现）。
推论1：函数y=f(x)的图像关于点M（a，b）对称f(x)+f(2a-x)=2b
证明：因为函数y=f(x)的图像关于点M（a，b）对称，所以函数y=f(x)的图像按向量a=（-a,-b）平移后对应图像的解析式为：y=f(x+a)-b，关于原点0(0，0)中心对称，由性质1知f(-x+a)-b=-［f(x+a)-b］，即f(a-x)+f(a-x)=2b，即f(x)+f(2a-x)=2b。反之也成立。
推论2：函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图像关于点M(a ,b)成中心对称。
【性质2】函数y = y=f(x)的图像关于y轴对称f(x)=f(-x)。（这是偶函数的数与形的体现）。
推论3：函数y=f(x)的图像关于直线x = a轴对称f(a+x)=f(a-x)，即f(x)=f(2a-x)。
证明：因为y=f(x)的图像关于直线x = a对称，所以函数y=f(x)的图像按向量a=(-a,0)平移后图像的解析式为：y=f(x+a)，关于y轴对称，由性质2知f(x+a)=f(-x+a)，即f(a+x)=f(a-x)，即f(a+x)=f(a-x)。反之也成立。
推论4：函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。
【性质3】函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线y=x成轴对称。
推论5：函数y=f(x)与x-a=f(y+a)的图像关于直线x-y=a成轴对称。
证明：x-y=a可以看作y=x-a，x=y+a，代入到y=f(x)中即得。反之也成立。
推论6：函数y=f(x)与a-x=f(a-y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。
【性质4】
①若函数y=f(x)的图像关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
②若函数y=f(x)图像关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。
③若函数y=f(x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x=b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。
简单地说，就是一个函数有两个对称中心，或者两个对称轴，或者一个对称中心一个对称轴，则函数具有周期性。
以下证明②，其余结论可由读者自己证明。
证明：由已知和推论3，可得f(x)=f(2a-x)（*）和f(b+x)=f(b-x)（**），∵f(x)=f(2a-x)=f{b-［b-(2a-x)］}=f［（2b-2a）+x］∴y=f(x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。
二、函数对称性应用举例
【例1】定义在R上的奇函数f(x)，当x＞0时，f(x)=(x-1)2，求f(x)解析式。
解：本题实质就是求函数f(x)=(x-1)2（x＞0）的图像关于原点对称的函数图像的解析式。由推论2可知当x＜0时，f（x）=(-x-1)2，又因为是奇函数，所以f(0)=0。所以函数的解析式为f(x)=
【例2】设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x-)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称，若g(5)=2006，那么f(4)=( )。
(A)2006（B）2008 （C）2010 （D）2012
解：∵f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y=x对称
∴y=g-1(x-2)的反函数是y=f(x-1)
∵y=g-1(x-2)的反函数是y=2+g(x)
∴f(x-1)=2+g(x)
∴有f(5-1)=2+g(5)=2008f
∴f(4)=2008，应选（B）
【例3】设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1-x),当－1≤x≤0时，f(x)=-12x，则f(8.6)=
解：∵f(x)是定义在R上的偶函数
∴x = 0是y=f(x)的对称轴
∵f(1+x)=f(1-x)
∴x = 1也是y=f(x)对称轴
∴y=f(x)是以2为周期的周期函数，
∴ f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3
【例4】已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点(-34,0)对称，且满足f(0)=-2，f(1)=1，f(x)=-f(x+32)，则f(1)+f(2)+f(3)+Λ+f(2008)的值为（ ）。
(A)-2 （B）-1 （C）0 （D）1
解：∵函数f(x)的图像关于点(-34,0)对称
∴由推论1得f(x)+f［2×（-34）-x］=0，即f(x)=-f(-32-x)
∵f(x)=-f(x+32)
∴f(x+32)=f(-32-x)
令x=x+32，则f(x)=f(-x)，即函数f(x)为偶函数
∴由性质4结论③，函数f(x)的一个周期为4｜-34-0｜＝3
∵f(3)=f(0)=-2，f(1)=1，f(2)=f(-2)=f(1)=1
∴f(1)+f(2)+f(3)+Λ+f(2008)=1，故选D。
【例5】 (06山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x+2)，则f(6)的值为（）。
(A)-1(B) 0(C)1(D)2
解：∵f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(0)=0
∵f(x+4)=f［（x+2）+2］=-f(x2)=f(x)
∴f(6)=f(2)=-f(0)=0
三、函数对称性练习
（07天津）在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2-x)，若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)
(A)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
(B)在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
(C)在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
(D)在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
参考答案：（B）
（作者单位：河北河间华油四中）