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摘 要:“植树问题”的教学重点是让学生经历找规律的过程,并运用规律解决具体问题。在此过程中,要让学生感悟数学思想,提高运用规律解决类似问题的能力。
关键词:植树问题;模型思想;对应思想;转化思想
中图分类号:G623.5 文献标识码:A 文章编号:1009-010X(2010)11-0050-03
“植树问题”的教学重点是让学生经历“找”规律的过程,发展学生的数学思维。很多老师的做法都是让学生观察主题图,引导学生发现这样的规律:当两种物体一个隔一个排列,并且两端都是同一种物体时,两端的物体比中间的物体个数多1。发现规律之后,再去运用规律解决具体问题。这样安排的好处是利于绝大多数学生迅速、牢固地掌握一种规律,能够提高他们运用规律解决类似问题的能力。
不过,这样处理的弊端也很明显:一是利用这个规律不能解决变式程度较大的新问题(如在封闭的环行路上种树的问题),如果这时再逐一讲解相关规律,课堂教学时间肯定不够,这样教学效率就比较低,而且这样的处理方法比较分散,不利于学生形成完整的认知结构;二是预设只有一种规律的情境(如例题的主题图),留给学生思考的空间太小,师生之间一问一答比较多,教学形式单一,容易引起学生疲劳感,不利于学生发散思维和创新能力的培养。
能不能充分挖掘“植树问题”背后所隐含的数学思想,并结合学生的知识储备,找到一条行之有效的教学方法?通过查找资料和教学实践,笔者认为,通过模型思想、转化思想、对应思想等数学思想的挖掘、提炼和运用,有助于学生构建起较完整的知识体系。下面列举几种不同的数学思想方法。
一、模型思想
教学片段:
师:现在我们来做一个给绳子打结的游戏,好吗?
生:好。
师:先来看一下合作要求:请同学们在绳子上每隔一段任意打1个结,一共打3个结,观察结数和段数有什么关系。如果你还有其他的想法,可以在另外的绳子上试一试。
生1:我是这样打的,两头分别打一个结,中间打一个结。这样有3个结2个段。(根据学生的回答,教师出示示意图1)
生2:我在绳子的中间打了三个结,这样有3个结4个段。 (教师根据学生的回答,出示示意图2)
生3:我在一头打结,另一头不打结,这样有3个结和3个段。(教师根据学生的回答,出示示意图3)
师:很好,还有和他们都不一样的方法吗?
生4:老师,我先在绳子的中间打两个结,再把绳子的两头合起来打一个结,这样也是3个结和3个段。(教师根据学生的回答,出示示意图4)
师:还有其他的方法吗?
生:没有了。
师:下面我们来好好看一下这几幅图。图3和图4有什么相同的地方?
生5:它们的结数都等于段数。
师:为什么它们的结数都等于段数呢?
生6:有一个结就对应一个段,所以它们的个数就相等了。
师:图l和图2有什么不相同的地方?
生7:图1两头是结,结数比段数多1;图2两头是段,段数比结数多1。
师:图1和图2有什么相同的地方?
生8:两头是相同的物体的时候,两头的物体比中间的物体个数多1个。
师:为什么?
生9:开头的物体后面都对应着一个中间的物体,结尾的物体没有对应的物体了,所以就多1个。
师:这四幅图,可以分成几类呢?
生10:两类,图4是封闭的图形,图1、2、3不是封闭的图形。
师:为什么都是打3个结,可是形成的段数却不同呢?
生11:因为打结的位置不同,所以段数就不同了。
最后,形成了这样的板书:
不同的打结方式就是不同的“植树”情况,学生利用一根小小的绳子,亲历了一个又一个的“植树模型”的建立过程,构成一个相互联系的模型群。一根小小的绳子,神奇地把“植树问题”的所有情形都概括了进去,突破了教材的束缚。
学生通过给绳子打结这个具体、可感的活动,丰富了自己的表象储备,形成了生动、形象的感性认识,为最后在“做”中感悟、提炼出“植树问题”背后隐含的规律打下了坚实的基础。由于构建模型、得出结论的过程是策略开放、结论开放的,学生的自主探究就有了广阔的空间。教学中,学生们积极参与,热烈讨论,智慧的火花不断闪现,他们的思维能力也在交流中互补,在碰撞中提升。
二、对应思想
“对应”的思想由来已久,比如我们将一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“1”,将两只眼睛、一对耳环、双胞胎对应一个抽象的数“2”。
教学片段。教师首先出示尝试题:有9棵树排成一行,每相邻的两棵树之间放一盆花,头和尾都不放花,一共可以放多少盆花?教师放手让学生自主探索。许多学生通过画图和数数得出“8盆”。他们的图大都如下(图中“|”代表树,“0”代表花):
|0|0|0|0|0|0|0|0|
师:假如不让你数,你还有别的方法吗?假如有500棵树排成一行,还这样摆花,一共可以放多少盆?你还这样画和数行吗?
教师有意设置认知冲突,促使学生另辟蹊径,进行数学思考,寻找花与树之间的数量关系。
生:我发现有规律。
师:什么规律?
生:从头开始,一棵树对着一盆花,一棵树对着一盆花……最后一棵树很孤单,没有花和它对,所以花的盆数比树的棵数少1,列式为9-1=8(盆)。
学生还用图说明思路:
|0|0|0|0|0|0|0|0|
师:那500棵树,还这样放花,一共可以放多少盆?
生:还是从头开始,一棵树对着一盆花,一棵数对着一盆花……最后一棵树没有花与它对,所以列式为500-1=499(盆)。
学生已开始借助形象进行抽象思考,发现了树的棵数与花的盆数之间的关系。
师:假如有500棵树排成一行,每相邻的两棵树之间放一盆花,头和尾都放花,一共可以放多少盆?
生:还是从头开始,一盆花对着一棵树,一盆花对着一棵树……最后一盆花没有树与它对,所以花比树多1,列式为500 1=501(盆)。学生很轻松地发现了花与树之间的数量关系。
学生还是用图说明思路:
0|0|0|0|……0|0
教师又进行了变式。
师:假如有500棵树排成一行,还是每相邻的两棵树之间放一盆花,最前面有花,最后面不放花,一共要放多少盆花?
生:还是从头开始,一盆花对着一棵树,一盆花对着一棵树……树与花刚好全部对完,所以花与树同样多,都是500。
学生依旧用图说明思路:
0|0|0|0|……0|
新授至此,学生已基本掌握了对应的数学思想方法,感受到它的作用,体会到运用它的乐趣。在后面的综合练习中,学生能主动地运用这一思想方法解题,几乎没有一个学生搞错。
教师并不满足于此,又深化一步,出示一道思考题:有51棵树排成一行,每相邻的两棵树之间放4盆花,一棵树对着4盆花……最后一棵树没有花与它对应,所以中间有50个4盆花,共有50×4=200(盆)。
大多数学生能借助表象直接地进行抽象思考,轻松地解答了难题。
由于采用了画图法大大降低了难度,大多数学生学得轻松,哪怕经过一段时间再让学生做,他们也能熟练解答。
三、转化思想
所谓转化就是将难以理解的或是无法解决的问题,用等价的方式描述,从而将原问题转化成可以解决的问题或更容易解决的问题
在植树问题教学中,区分什么是树、什么是间隔,是教学中的难点,如何使学生分清什么是树还是间隔成为教学的关键。笔者在教学这一内容时,也进行了一些探索,最后觉得以下步骤较为理想:开始教师用大量的事例使学生认清树和间隔之间的关系(基于“两端都栽”的基本型),即树比间隔多1,接着引导学生感悟到树和间隔没有严格和界限,只不过是一种人为的界定,树和间隔是可相互转化的,然后帮助学生用转化的方法转化题中的树和间隔(两端是树,树与树之间是间隔),认准题中哪一个可以看作树,哪一个可以看作间隔,是求树还是求间隔,最后使学生形成一条清晰的解题思路:求树的棵数用间隔加1,求间隔数用树的棵数减1。这样教学,将植树问题的三个关系式统一到一个关系式上来,即:棵数=间隔 1。这样既减轻了学生的记忆,又方便了学生的解题。
下面一题更能体现它的优势:学校一条大路上一边插了20面彩旗。①如果两面彩旗中间放一盆花,一共要放多少盆花?②如果要使两盆花之间有一面彩旗,一共要放多少盆花?把第①题中的彩旗看成是树,花盆的个体树看成是间隔,列式为:20-1=19(盆):第②题彩旗就不是树了,因为花盆要放到了两端了,花盆是树,彩旗是间隔,求花盆的个数就是求树的棵数,解法就是:20 1=21(盆)。这样就将树的间隔进行巧妙的转化,学生在解答时也就不困难了。
由此想到,教学有三重境界:一是教知识;二是教方法;三是教思想。新课程下的小学数学比以往更加重视了数学思想方法的教学,教师在平时的教学中也应该及时地对数学思想方法进行提炼、归纳和概括,应该引导学生灵活地运用数学思想方法解决数学问题,让数学思想方法逐步深入人心,最终内化为学生的数学素养。
参考文献:
[1]刘治平.我教植树问题[J].小学数学教师,2009,(12).
[2]徐宏臻.寻找知识背后的数学思想[J].小学数学教师,2007,(12).
[3]张文虎,胡建春.用转化的方法解决数学问题好 [J].小学数学教师,2009,(6).
[4]张奠宙.数学教育学[M]高等教育出版社,2003.
关键词:植树问题;模型思想;对应思想;转化思想
中图分类号:G623.5 文献标识码:A 文章编号:1009-010X(2010)11-0050-03
“植树问题”的教学重点是让学生经历“找”规律的过程,发展学生的数学思维。很多老师的做法都是让学生观察主题图,引导学生发现这样的规律:当两种物体一个隔一个排列,并且两端都是同一种物体时,两端的物体比中间的物体个数多1。发现规律之后,再去运用规律解决具体问题。这样安排的好处是利于绝大多数学生迅速、牢固地掌握一种规律,能够提高他们运用规律解决类似问题的能力。
不过,这样处理的弊端也很明显:一是利用这个规律不能解决变式程度较大的新问题(如在封闭的环行路上种树的问题),如果这时再逐一讲解相关规律,课堂教学时间肯定不够,这样教学效率就比较低,而且这样的处理方法比较分散,不利于学生形成完整的认知结构;二是预设只有一种规律的情境(如例题的主题图),留给学生思考的空间太小,师生之间一问一答比较多,教学形式单一,容易引起学生疲劳感,不利于学生发散思维和创新能力的培养。
能不能充分挖掘“植树问题”背后所隐含的数学思想,并结合学生的知识储备,找到一条行之有效的教学方法?通过查找资料和教学实践,笔者认为,通过模型思想、转化思想、对应思想等数学思想的挖掘、提炼和运用,有助于学生构建起较完整的知识体系。下面列举几种不同的数学思想方法。
一、模型思想
教学片段:
师:现在我们来做一个给绳子打结的游戏,好吗?
生:好。
师:先来看一下合作要求:请同学们在绳子上每隔一段任意打1个结,一共打3个结,观察结数和段数有什么关系。如果你还有其他的想法,可以在另外的绳子上试一试。
生1:我是这样打的,两头分别打一个结,中间打一个结。这样有3个结2个段。(根据学生的回答,教师出示示意图1)
生2:我在绳子的中间打了三个结,这样有3个结4个段。 (教师根据学生的回答,出示示意图2)
生3:我在一头打结,另一头不打结,这样有3个结和3个段。(教师根据学生的回答,出示示意图3)
师:很好,还有和他们都不一样的方法吗?
生4:老师,我先在绳子的中间打两个结,再把绳子的两头合起来打一个结,这样也是3个结和3个段。(教师根据学生的回答,出示示意图4)
师:还有其他的方法吗?
生:没有了。
师:下面我们来好好看一下这几幅图。图3和图4有什么相同的地方?
生5:它们的结数都等于段数。
师:为什么它们的结数都等于段数呢?
生6:有一个结就对应一个段,所以它们的个数就相等了。
师:图l和图2有什么不相同的地方?
生7:图1两头是结,结数比段数多1;图2两头是段,段数比结数多1。
师:图1和图2有什么相同的地方?
生8:两头是相同的物体的时候,两头的物体比中间的物体个数多1个。
师:为什么?
生9:开头的物体后面都对应着一个中间的物体,结尾的物体没有对应的物体了,所以就多1个。
师:这四幅图,可以分成几类呢?
生10:两类,图4是封闭的图形,图1、2、3不是封闭的图形。
师:为什么都是打3个结,可是形成的段数却不同呢?
生11:因为打结的位置不同,所以段数就不同了。
最后,形成了这样的板书:
不同的打结方式就是不同的“植树”情况,学生利用一根小小的绳子,亲历了一个又一个的“植树模型”的建立过程,构成一个相互联系的模型群。一根小小的绳子,神奇地把“植树问题”的所有情形都概括了进去,突破了教材的束缚。
学生通过给绳子打结这个具体、可感的活动,丰富了自己的表象储备,形成了生动、形象的感性认识,为最后在“做”中感悟、提炼出“植树问题”背后隐含的规律打下了坚实的基础。由于构建模型、得出结论的过程是策略开放、结论开放的,学生的自主探究就有了广阔的空间。教学中,学生们积极参与,热烈讨论,智慧的火花不断闪现,他们的思维能力也在交流中互补,在碰撞中提升。
二、对应思想
“对应”的思想由来已久,比如我们将一支铅笔、一本书、一栋房子对应一个抽象的数“1”,将两只眼睛、一对耳环、双胞胎对应一个抽象的数“2”。
教学片段。教师首先出示尝试题:有9棵树排成一行,每相邻的两棵树之间放一盆花,头和尾都不放花,一共可以放多少盆花?教师放手让学生自主探索。许多学生通过画图和数数得出“8盆”。他们的图大都如下(图中“|”代表树,“0”代表花):
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师:假如不让你数,你还有别的方法吗?假如有500棵树排成一行,还这样摆花,一共可以放多少盆?你还这样画和数行吗?
教师有意设置认知冲突,促使学生另辟蹊径,进行数学思考,寻找花与树之间的数量关系。
生:我发现有规律。
师:什么规律?
生:从头开始,一棵树对着一盆花,一棵树对着一盆花……最后一棵树很孤单,没有花和它对,所以花的盆数比树的棵数少1,列式为9-1=8(盆)。
学生还用图说明思路:
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师:那500棵树,还这样放花,一共可以放多少盆?
生:还是从头开始,一棵树对着一盆花,一棵数对着一盆花……最后一棵树没有花与它对,所以列式为500-1=499(盆)。
学生已开始借助形象进行抽象思考,发现了树的棵数与花的盆数之间的关系。
师:假如有500棵树排成一行,每相邻的两棵树之间放一盆花,头和尾都放花,一共可以放多少盆?
生:还是从头开始,一盆花对着一棵树,一盆花对着一棵树……最后一盆花没有树与它对,所以花比树多1,列式为500 1=501(盆)。学生很轻松地发现了花与树之间的数量关系。
学生还是用图说明思路:
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教师又进行了变式。
师:假如有500棵树排成一行,还是每相邻的两棵树之间放一盆花,最前面有花,最后面不放花,一共要放多少盆花?
生:还是从头开始,一盆花对着一棵树,一盆花对着一棵树……树与花刚好全部对完,所以花与树同样多,都是500。
学生依旧用图说明思路:
0|0|0|0|……0|
新授至此,学生已基本掌握了对应的数学思想方法,感受到它的作用,体会到运用它的乐趣。在后面的综合练习中,学生能主动地运用这一思想方法解题,几乎没有一个学生搞错。
教师并不满足于此,又深化一步,出示一道思考题:有51棵树排成一行,每相邻的两棵树之间放4盆花,一棵树对着4盆花……最后一棵树没有花与它对应,所以中间有50个4盆花,共有50×4=200(盆)。
大多数学生能借助表象直接地进行抽象思考,轻松地解答了难题。
由于采用了画图法大大降低了难度,大多数学生学得轻松,哪怕经过一段时间再让学生做,他们也能熟练解答。
三、转化思想
所谓转化就是将难以理解的或是无法解决的问题,用等价的方式描述,从而将原问题转化成可以解决的问题或更容易解决的问题
在植树问题教学中,区分什么是树、什么是间隔,是教学中的难点,如何使学生分清什么是树还是间隔成为教学的关键。笔者在教学这一内容时,也进行了一些探索,最后觉得以下步骤较为理想:开始教师用大量的事例使学生认清树和间隔之间的关系(基于“两端都栽”的基本型),即树比间隔多1,接着引导学生感悟到树和间隔没有严格和界限,只不过是一种人为的界定,树和间隔是可相互转化的,然后帮助学生用转化的方法转化题中的树和间隔(两端是树,树与树之间是间隔),认准题中哪一个可以看作树,哪一个可以看作间隔,是求树还是求间隔,最后使学生形成一条清晰的解题思路:求树的棵数用间隔加1,求间隔数用树的棵数减1。这样教学,将植树问题的三个关系式统一到一个关系式上来,即:棵数=间隔 1。这样既减轻了学生的记忆,又方便了学生的解题。
下面一题更能体现它的优势:学校一条大路上一边插了20面彩旗。①如果两面彩旗中间放一盆花,一共要放多少盆花?②如果要使两盆花之间有一面彩旗,一共要放多少盆花?把第①题中的彩旗看成是树,花盆的个体树看成是间隔,列式为:20-1=19(盆):第②题彩旗就不是树了,因为花盆要放到了两端了,花盆是树,彩旗是间隔,求花盆的个数就是求树的棵数,解法就是:20 1=21(盆)。这样就将树的间隔进行巧妙的转化,学生在解答时也就不困难了。
由此想到,教学有三重境界:一是教知识;二是教方法;三是教思想。新课程下的小学数学比以往更加重视了数学思想方法的教学,教师在平时的教学中也应该及时地对数学思想方法进行提炼、归纳和概括,应该引导学生灵活地运用数学思想方法解决数学问题,让数学思想方法逐步深入人心,最终内化为学生的数学素养。
参考文献:
[1]刘治平.我教植树问题[J].小学数学教师,2009,(12).
[2]徐宏臻.寻找知识背后的数学思想[J].小学数学教师,2007,(12).
[3]张文虎,胡建春.用转化的方法解决数学问题好 [J].小学数学教师,2009,(6).
[4]张奠宙.数学教育学[M]高等教育出版社,2003.