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[摘 要]研究性教学是以培养学生的创新精神和实践能力为核心的素质教育。在综述研究性教学的基础上，以基于课堂的和基于数学实验的研究性教学为例探讨数学类专业研究性教学模式，指出研究性教学模式是多元的，应根据课程内容而定。这将为数学类专业教育教学改革提供参考。
[关键词]数学模型 数学实验 研究性教学
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2014）17-0123-03
一、引言
为了促进教育事业科学发展，全面提高国民素质，2010年7月29日，中共中央、国务院联合发布了《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020）》，提出了“全面提高高等教育质量”的战略目标，指出“高等教育承担着培养高级专门人才、发展科学技术文化、促进社会主义现代化建设的重大任务”。特别是明确了“提高质量是高等教育发展的核心任务，是建设高等教育强国的基本要求”，要求高等院校要“着力培养信念执著、品德优良、知识丰富、本领过硬的高素质专门人才和拔尖创新人才”。[1]
温州大学地处浙江省东南部、瓯江下游南岸，根据国家及浙江省中长期改革和发展规划精神，温州大学制定了校“十二五”发展规划，确定了“学校由教学型大学向教学研究型大学转型”的发展目标，并提出了“特色本科战略是学校教育发展的重要战略”，特别指出“围绕特色专业建设与个性化人才培养，以培养学生社会责任感、学习能力、实践能力、创新能力、创业能力等为目标，根据不同的专业定位与学科背景，构建分类、分层次的人才培养模式，形成行之有效的特色人才培养环境与培养机制”。[2]
温州大学数学与信息科学学院承担着为浙南地区乃至浙江省培养数学师资及应用数学人才的使命，学院的“数学与应用数学”专业是浙江省重点专业，“应用数学”是浙江省十二五重点学科，“数学”学科是校十二五重点建设专业。面临新机遇、新挑战，数学类专业如何培养“本领过硬的高素质专门人才和拔尖创新人才”？
本文将以温州大学精品资源共享课《数学模型与实验》为例，探讨数学类专业研究性教学（Research-oriented Teaching / Learning）模式，以期为数学类专业教育教学改革提供参考。
二、研究性教学
人才培养是高等教育的重要功能，质量保证是高等教育的永恒主题。数学教育本质上是一种素质教育，大学数学教育的质量直接关系到一个国家大学人才培养的素质和能力。[3]实践证明，研究性教学是一种培养高素质、厚基础、强能力和创新型的高质量人才的有效教学模式。[4]
教学过程可以简单地分为“系统学习”与“问题解决学习”两种方式。研究性学习是一种“问题解决学习”。所谓“研究性学习”就是通过问题解决的方法发展问题解决能力的一种学习形态。[5] [6] [7] [8] [9] [10]“研究性学习”也称“探究性学习”。对学生而言，这种学习方式称为“研究性学习”，而对于教师而言，这种支持学生开展“研究性学习”的教学方式即为“研究性教学”。[8]
事实上，“教学”是通过教与学，向学生传授知识，提高能力，培养素质；“研究”是运用已有知识，发展新思想、提出新理论。把这两者结合起来，用研究的观点、方法和过程，改造传统的教学，从而形成“研究性教学”。[6]
研究性教学的实质与灵魂是知识的自主建构，教学的目标不再是教师知识独白地传递信息过程，而是创造情境让学生以自己的理解方式去解释信息，师生共同参与知识创造性的过程。[5]
研究性教学强调知识的创造，从学生角度要求“知其所以然”，从教师角度要求“授之以渔”。[9]研究性教学的重点在于培养学生的问题意识、科学探索精神和创造性，重视学生的知识建构过程，强调学生在教学活动中的参与性、互动性，注重学生创新能力的提高。[8]这种教学方式表现为学生课后自学大量与课题相关的材料，课堂上则侧重师生间的讨论。这不仅有助于培养学生的学习兴趣，而且可以让学生更好地理解知识的发现过程，培养学生的创新能力。[10]
《数学模型与实验》课程的教学目的是让学生掌握运用数学的思想、方法和技巧分析、解决实际问题的能力。数学建模课程的教学以及大学生数学建模竞赛，是数学教学改革的切入点和生长点。实践表明，在大学开设数学建模课程，对于培养学生的洞察力、想象力、逻辑思维和分析问题、解决问题的能力，是一条行之有效的途径，对培养学生的团队意识和协作精神大有裨益。同时，也对创新型人才培养模式和思路起到了积累和探索作用。[3] [11] [12] [13] [14] [15]从这个意义说，数学建模是研究性学习在数学教学中的体现，它是研究性学习与数学学科一种十分典型的整合模式。[16] [17] [18]
三、研究性教学案例
《数学模型与实验》课程内容丰富，覆盖面广。这里，我们主要举例说明我们在《数学模型与实验》课程中开展的基于课堂和基于数学实验的研究性教学过程。
（一）基于课堂的研究性教学—传染病动力学建模
1.提出问题
第一步：由最近流行的禽流感H7N9引入传染病问题，并简要介绍传染病的传播过程，指出对传染病传播规律的定量研究是防控工作的重要依据；第二步：回顾 “人口模型”的案例，从而引出能否用常微分方程刻画传染病传播规律的问题，并引导同学给出肯定的回答；第三步：给出中心问题“如何应用常微分方程建立传染病动力学模型并研究疾病的传播规律？”
2.相关概念及预备知识
第一步：介绍传染病动力学模型中的基本概念，包括易感者（Susceptible）和感染者（Infectious）、Kermack-McKendrick仓室模型、发生率、基本再生数等，并给出经典SIS仓室模型；第二步：简单介绍常微分方程稳定性理论，并详细介绍SIS模型的基本再生数的计算方法以及无病平衡点和地方病平衡点的稳定性分析。 3.渐进式解决问题
第一步：考虑病人经过治疗恢复健康（Recover）但无免疫力，建立SIRS模型，计算基本再生数，并给出无病平衡点和地方病平衡点稳定性分析，据此刻画疾病的传播规律；第二步：在第一步研究结果的基础上，让学生进一步讨论疾病有潜伏期（Exposed）的传染病动力学模型的建立及分析；第三步：在第一、二步的基础上，考虑有垂直传染，即母亲的疾病能传染给新生儿时传染病模型的建立，并分析其流行趋势。
4.归纳总结
对于传染病模型建立而言，考虑的仓室不同（即模型假设不同），可以得到不同的动力学模型。运用常微分方程稳定性理论，能够给出传染病模型的长时间动力学行为的刻画，以此预测传染病的传播规律，这是本节课的重点。课后思考题：对于某一传染病（例如手足口病、肺结核、AIDS病等），如何利用已有的统计数据建立动力学模型，并研究其传播规律（下节课再和学生讨论并讲解）。
（二）基于数学实验的研究性教学——定积分计算
1.研究背景及问题的提出
蒙特卡洛（Monte-Carlo）法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的、以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。这种方法的基本思想是：当求解问题是某种随机事件的概率，或某随机变量的期望时，通过“实验”手段，用该事件的频率估计这一随机事件的概率，或者是该随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。蒙特卡洛法在金融工程学、宏观经济学、计算物理学等领域具有广泛的应用。
问题：基于数学软件Maple，如何利用蒙特卡洛法计算定积分 f（x）dx？
2.实验目的
运用概率论相关理论和方法，并借助计算机数学软件，进一步理解定积分的定义及计算。
3.实验过程
（1）输入被积函数、积分区间[a，b]、抽样数N；
（2）计算能覆盖曲边梯形S的矩形区间[a，b]×[0，d]；
（3）构造矩形区间内随机点；
（4）计算随机点落在S内的数量n；
（5）利用公式计算定积分： f（x）dx=n（b-a）d / N·
4.归纳总结
将利用蒙特卡洛法计算定积分的结果与Maple中原有的定积分计算结果int（f（x），x=a..b）比对分析，可以发现，蒙特卡洛法是一种快速有效的计算方法。虽然Maple中的int函数是功能十分强大的积分计算方法，但此命令只能适用于原函数是初等函数的积分计算。当被积函数的原函数不是初函数时，int函数便无能为力。但蒙特卡洛法是一种基于随机数的近似计算方法，与被积函数的原函数的类型无关，因而适用范围更大。
四、结束语
培养高素质创新人才是高等教育的重要任务，研究性教学是实现这一目标的有效途径。[18]研究性教学的根本出发点，在于从改变学生的学习方式和教师的教学方式入手，其实质是以培养学生的创新精神和实践能力为核心的素质教育。[16] [17]
研究性教学模式是多元的。在“传染病动力学建模”教学案例中，就采用了传统的讲授法以及问题启发式、研讨式等教学方法。除此之外，还有项目教学法[10]、案例教学法[8]等等。具体采用何种教学方法，应根据课程内容具体情况具体分析。好课可以是千姿百态的[6]，不可拘泥于某一种单一教学法。这就是所谓的“教无定法，贵在得法”。
在研究性教学中，教师是设计者、组织者、启发者、引导者、鼓励者和促进者[6]。在选择研究性教学的问题时，教师应根据课程内容并结合学生兴趣点确定，或者鼓励学生结合课程内容与自身兴趣提出问题。在教学过程中，对于教师而言，要以问题为中心，积极引导学生主动提出问题，互相讨论，去分析和解决问题。此外，研究性教学过程中会衍生出一些新的、教师自身也未曾关注过的问题，这就需要教师不断地学习，努力提高自身素质，练就更加过硬的本领，以期更好地开展研究性教学。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 中共中央，国务院.国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）.http：//www.gov.cn / jrzg /
[2] 温州大学，温州大学发展“十二五”规划及2025年远景目标，http：//fzghc.wzu.edu.cn / Art / Art_10 / rt_10_432.aspx
[3] 谢金星.科学组织大学生数学建模竞赛促进创新人才培养和数学教育改革[J].中国大学教学，2009 （2）：8-11.
[4] 张富生.解读卢德馨研究性教学[J].中国大学教学，2007（3）：41-45.
[5] 钟启泉.研究性学习：“课程文化”的革命[J].教育研究，2003（5）.
[6] 顾沛.试论研究性教学中教师的作用[J].数学教育学报，2006（3）：4-7.
[7] 钱宏达.谈研究性学习教学模式的构建[J].教育发展研究，2001（2）：48-49.
[8] 路慧.理工类研究型大学开展研究性教学的实践探索与模式建构[D].大连理工大学，2013.
[9] 王朝坤.编译原理课程研究型教学方法探讨与实践[J].计算机教育，2013（17）：10.
[10] 姜伟.大学代数教学中开展探究性教学的实践与思考[J].常熟理工学院学报，2009（12）：107-109.
[11] 姜启源.数学实验与数学建模[J].数学的实践与认识，2001（5）：613-617.
[12] 高成修，羿旭明，刘国，等.数学建模的教学，竞赛与创新教育[J].数学的实践与认识，2001（5）：623-624.
[13] 姬春秋，赵宝江.高师数学建模课程的教学途径与方法[J].黑龙江高教研究，2009（12）：73-74.
[14] 但琦，赵静，付诗禄.数学建模课内容和教学方法的探讨[J].工科数学，2002（6）：21-24.
[15] 乐励华，戴立辉，刘龙章.数学建模教学模式的研究与实践[J].工科数学，2002（6）：9-12.
[16] 吕林海，王智明.数学研究性学习的三种实施模式初探[J].数学教育学报，2004（2）：85-88.
[17] 刘冬梅.数学建模教学与研究性学习相关理论分析[J].山东师范大学学报：自然科学版，2008（2）：127-128.
[18] 王平祥，陈晓琳.开展研究性教学的探索与实践[J].中国大学教学，2008（4）：67-68.
[责任编辑：林志恒]
[关键词]数学模型 数学实验 研究性教学
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2014）17-0123-03
一、引言
为了促进教育事业科学发展，全面提高国民素质，2010年7月29日，中共中央、国务院联合发布了《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020）》，提出了“全面提高高等教育质量”的战略目标，指出“高等教育承担着培养高级专门人才、发展科学技术文化、促进社会主义现代化建设的重大任务”。特别是明确了“提高质量是高等教育发展的核心任务，是建设高等教育强国的基本要求”，要求高等院校要“着力培养信念执著、品德优良、知识丰富、本领过硬的高素质专门人才和拔尖创新人才”。[1]
温州大学地处浙江省东南部、瓯江下游南岸，根据国家及浙江省中长期改革和发展规划精神，温州大学制定了校“十二五”发展规划，确定了“学校由教学型大学向教学研究型大学转型”的发展目标，并提出了“特色本科战略是学校教育发展的重要战略”，特别指出“围绕特色专业建设与个性化人才培养，以培养学生社会责任感、学习能力、实践能力、创新能力、创业能力等为目标，根据不同的专业定位与学科背景，构建分类、分层次的人才培养模式，形成行之有效的特色人才培养环境与培养机制”。[2]
温州大学数学与信息科学学院承担着为浙南地区乃至浙江省培养数学师资及应用数学人才的使命，学院的“数学与应用数学”专业是浙江省重点专业，“应用数学”是浙江省十二五重点学科，“数学”学科是校十二五重点建设专业。面临新机遇、新挑战，数学类专业如何培养“本领过硬的高素质专门人才和拔尖创新人才”？
本文将以温州大学精品资源共享课《数学模型与实验》为例，探讨数学类专业研究性教学（Research-oriented Teaching / Learning）模式，以期为数学类专业教育教学改革提供参考。
二、研究性教学
人才培养是高等教育的重要功能，质量保证是高等教育的永恒主题。数学教育本质上是一种素质教育，大学数学教育的质量直接关系到一个国家大学人才培养的素质和能力。[3]实践证明，研究性教学是一种培养高素质、厚基础、强能力和创新型的高质量人才的有效教学模式。[4]
教学过程可以简单地分为“系统学习”与“问题解决学习”两种方式。研究性学习是一种“问题解决学习”。所谓“研究性学习”就是通过问题解决的方法发展问题解决能力的一种学习形态。[5] [6] [7] [8] [9] [10]“研究性学习”也称“探究性学习”。对学生而言，这种学习方式称为“研究性学习”，而对于教师而言，这种支持学生开展“研究性学习”的教学方式即为“研究性教学”。[8]
事实上，“教学”是通过教与学，向学生传授知识，提高能力，培养素质；“研究”是运用已有知识，发展新思想、提出新理论。把这两者结合起来，用研究的观点、方法和过程，改造传统的教学，从而形成“研究性教学”。[6]
研究性教学的实质与灵魂是知识的自主建构，教学的目标不再是教师知识独白地传递信息过程，而是创造情境让学生以自己的理解方式去解释信息，师生共同参与知识创造性的过程。[5]
研究性教学强调知识的创造，从学生角度要求“知其所以然”，从教师角度要求“授之以渔”。[9]研究性教学的重点在于培养学生的问题意识、科学探索精神和创造性，重视学生的知识建构过程，强调学生在教学活动中的参与性、互动性，注重学生创新能力的提高。[8]这种教学方式表现为学生课后自学大量与课题相关的材料，课堂上则侧重师生间的讨论。这不仅有助于培养学生的学习兴趣，而且可以让学生更好地理解知识的发现过程，培养学生的创新能力。[10]
《数学模型与实验》课程的教学目的是让学生掌握运用数学的思想、方法和技巧分析、解决实际问题的能力。数学建模课程的教学以及大学生数学建模竞赛，是数学教学改革的切入点和生长点。实践表明，在大学开设数学建模课程，对于培养学生的洞察力、想象力、逻辑思维和分析问题、解决问题的能力，是一条行之有效的途径，对培养学生的团队意识和协作精神大有裨益。同时，也对创新型人才培养模式和思路起到了积累和探索作用。[3] [11] [12] [13] [14] [15]从这个意义说，数学建模是研究性学习在数学教学中的体现，它是研究性学习与数学学科一种十分典型的整合模式。[16] [17] [18]
三、研究性教学案例
《数学模型与实验》课程内容丰富，覆盖面广。这里，我们主要举例说明我们在《数学模型与实验》课程中开展的基于课堂和基于数学实验的研究性教学过程。
（一）基于课堂的研究性教学—传染病动力学建模
1.提出问题
第一步：由最近流行的禽流感H7N9引入传染病问题，并简要介绍传染病的传播过程，指出对传染病传播规律的定量研究是防控工作的重要依据；第二步：回顾 “人口模型”的案例，从而引出能否用常微分方程刻画传染病传播规律的问题，并引导同学给出肯定的回答；第三步：给出中心问题“如何应用常微分方程建立传染病动力学模型并研究疾病的传播规律？”
2.相关概念及预备知识
第一步：介绍传染病动力学模型中的基本概念，包括易感者（Susceptible）和感染者（Infectious）、Kermack-McKendrick仓室模型、发生率、基本再生数等，并给出经典SIS仓室模型；第二步：简单介绍常微分方程稳定性理论，并详细介绍SIS模型的基本再生数的计算方法以及无病平衡点和地方病平衡点的稳定性分析。 3.渐进式解决问题
第一步：考虑病人经过治疗恢复健康（Recover）但无免疫力，建立SIRS模型，计算基本再生数，并给出无病平衡点和地方病平衡点稳定性分析，据此刻画疾病的传播规律；第二步：在第一步研究结果的基础上，让学生进一步讨论疾病有潜伏期（Exposed）的传染病动力学模型的建立及分析；第三步：在第一、二步的基础上，考虑有垂直传染，即母亲的疾病能传染给新生儿时传染病模型的建立，并分析其流行趋势。
4.归纳总结
对于传染病模型建立而言，考虑的仓室不同（即模型假设不同），可以得到不同的动力学模型。运用常微分方程稳定性理论，能够给出传染病模型的长时间动力学行为的刻画，以此预测传染病的传播规律，这是本节课的重点。课后思考题：对于某一传染病（例如手足口病、肺结核、AIDS病等），如何利用已有的统计数据建立动力学模型，并研究其传播规律（下节课再和学生讨论并讲解）。
（二）基于数学实验的研究性教学——定积分计算
1.研究背景及问题的提出
蒙特卡洛（Monte-Carlo）法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的、以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。这种方法的基本思想是：当求解问题是某种随机事件的概率，或某随机变量的期望时，通过“实验”手段，用该事件的频率估计这一随机事件的概率，或者是该随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。蒙特卡洛法在金融工程学、宏观经济学、计算物理学等领域具有广泛的应用。
问题：基于数学软件Maple，如何利用蒙特卡洛法计算定积分 f（x）dx？
2.实验目的
运用概率论相关理论和方法，并借助计算机数学软件，进一步理解定积分的定义及计算。
3.实验过程
（1）输入被积函数、积分区间[a，b]、抽样数N；
（2）计算能覆盖曲边梯形S的矩形区间[a，b]×[0，d]；
（3）构造矩形区间内随机点；
（4）计算随机点落在S内的数量n；
（5）利用公式计算定积分： f（x）dx=n（b-a）d / N·
4.归纳总结
将利用蒙特卡洛法计算定积分的结果与Maple中原有的定积分计算结果int（f（x），x=a..b）比对分析，可以发现，蒙特卡洛法是一种快速有效的计算方法。虽然Maple中的int函数是功能十分强大的积分计算方法，但此命令只能适用于原函数是初等函数的积分计算。当被积函数的原函数不是初函数时，int函数便无能为力。但蒙特卡洛法是一种基于随机数的近似计算方法，与被积函数的原函数的类型无关，因而适用范围更大。
四、结束语
培养高素质创新人才是高等教育的重要任务，研究性教学是实现这一目标的有效途径。[18]研究性教学的根本出发点，在于从改变学生的学习方式和教师的教学方式入手，其实质是以培养学生的创新精神和实践能力为核心的素质教育。[16] [17]
研究性教学模式是多元的。在“传染病动力学建模”教学案例中，就采用了传统的讲授法以及问题启发式、研讨式等教学方法。除此之外，还有项目教学法[10]、案例教学法[8]等等。具体采用何种教学方法，应根据课程内容具体情况具体分析。好课可以是千姿百态的[6]，不可拘泥于某一种单一教学法。这就是所谓的“教无定法，贵在得法”。
在研究性教学中，教师是设计者、组织者、启发者、引导者、鼓励者和促进者[6]。在选择研究性教学的问题时，教师应根据课程内容并结合学生兴趣点确定，或者鼓励学生结合课程内容与自身兴趣提出问题。在教学过程中，对于教师而言，要以问题为中心，积极引导学生主动提出问题，互相讨论，去分析和解决问题。此外，研究性教学过程中会衍生出一些新的、教师自身也未曾关注过的问题，这就需要教师不断地学习，努力提高自身素质，练就更加过硬的本领，以期更好地开展研究性教学。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 中共中央，国务院.国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）.http：//www.gov.cn / jrzg /
[2] 温州大学，温州大学发展“十二五”规划及2025年远景目标，http：//fzghc.wzu.edu.cn / Art / Art_10 / rt_10_432.aspx
[3] 谢金星.科学组织大学生数学建模竞赛促进创新人才培养和数学教育改革[J].中国大学教学，2009 （2）：8-11.
[4] 张富生.解读卢德馨研究性教学[J].中国大学教学，2007（3）：41-45.
[5] 钟启泉.研究性学习：“课程文化”的革命[J].教育研究，2003（5）.
[6] 顾沛.试论研究性教学中教师的作用[J].数学教育学报，2006（3）：4-7.
[7] 钱宏达.谈研究性学习教学模式的构建[J].教育发展研究，2001（2）：48-49.
[8] 路慧.理工类研究型大学开展研究性教学的实践探索与模式建构[D].大连理工大学，2013.
[9] 王朝坤.编译原理课程研究型教学方法探讨与实践[J].计算机教育，2013（17）：10.
[10] 姜伟.大学代数教学中开展探究性教学的实践与思考[J].常熟理工学院学报，2009（12）：107-109.
[11] 姜启源.数学实验与数学建模[J].数学的实践与认识，2001（5）：613-617.
[12] 高成修，羿旭明，刘国，等.数学建模的教学，竞赛与创新教育[J].数学的实践与认识，2001（5）：623-624.
[13] 姬春秋，赵宝江.高师数学建模课程的教学途径与方法[J].黑龙江高教研究，2009（12）：73-74.
[14] 但琦，赵静，付诗禄.数学建模课内容和教学方法的探讨[J].工科数学，2002（6）：21-24.
[15] 乐励华，戴立辉，刘龙章.数学建模教学模式的研究与实践[J].工科数学，2002（6）：9-12.
[16] 吕林海，王智明.数学研究性学习的三种实施模式初探[J].数学教育学报，2004（2）：85-88.
[17] 刘冬梅.数学建模教学与研究性学习相关理论分析[J].山东师范大学学报：自然科学版，2008（2）：127-128.
[18] 王平祥，陈晓琳.开展研究性教学的探索与实践[J].中国大学教学，2008（4）：67-68.
[责任编辑：林志恒]