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根据题目条件判断三角形的形状问题，是三角函数在三角形中应用的一种重要题型.笔者通过平时的积累，将方法总结如下，仅供参考.
一、三角化策略
1.符号法则法：通过三角函数的符号规律来判断角的范围，从而判断三角形的形状.
例1在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC的形状为（）.
A.直角三角形B.钝角三角形
C.锐角三角形D.不确定
解析：在△ABC中，由tanAtanB>1，得tanA>0，tanB>0，
所以A∈0，π2，B∈0，π2.
所以tanC=tanπ-（A+B）=-tan（A+B）=-tanA+tanB1-tanAtanB>0.
所以C∈0，π2，所以△ABC为锐角三角形.故选C.
2.正余弦定理法：利用正、余弦定理可实现边与角的互相转化，进而通过边或角的关系可判断三角形的形状.
例2已知△ABC中，若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状.
解析：由正弦定理得asinA=bsinB=2R，其中R为△ABC的外接圆半径，
所以a=2RsinA，b=2RsinB，代入acosA=bcosB，得sin2A=sin2B.
因为A∈（0，π），B∈（0，π），所以2A∈（0，2π），2B∈（0，2π），所以2A=2B或2A+2B=π，
所以A=B或A+B=π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
二、解析化策略
1.线圆化策略：利用直线与圆的关系，可求角的大小，从而判断三角形的形状.关键问题是：如何从抽象的式子中提炼出线圆关系.
例3若△ABC中，已知cos（A-B）-sin（A+B）=2，试判断△ABC的形状.
分析：由线圆化策略或向量化策略即可解决.
解：由cos（A-B）-sin（A+B）=2，得
sinA（sinB+cosB）+cosA（cosB+sinB）-2=0.
所以点（sinA，cosA）既在直线x（sinB+cosB）+y（cosB+sinB）-2=0上，又在圆x2+y2=1上，所以-2（sinB+cosB）2+（cosB+sinB）2≤1，整理得sin2B≥1.
因为-1≤sin2B≤1，所以sin2B=1.因为B∈（0，π），所以2B∈（0，2π），所以2B=π2，所以B=π4.同理：A=π4，所以C=π2，所以△ABC为等腰直角三角形.
2.曲线化策略：有些问题，抓住式子的结构特征，可巧妙构建圆锥曲线模型，使问题在曲线性质的帮助下简捷求解.
例4若△ABC中，A与B为锐角，且cos4Asin2B+sin4Acos2B=1，试判断△ABC的形状.
解析：构造E（cos2A，sin2A），F（sin2B，cos2B）两点，则它们都在椭圆x2sin2B+y2cos2B=1上.易求过点F（sin2B，cos2B）的切线方程为x+y=1，显然E（cos2A，sin2A）在切线x+y=1上，故E与F重合.
所以cos2A=sin2B，sin2A=cos2B，所以cosA=sinB=cosπ2-B.
因为A∈0，π2，B∈0，π2，所以π2-B∈0，π2.
因为y=cosx在0，π2上为减函数，所以A=π2-B，即A+B=π2.
所以△ABC为直角三角形.
三、向量化策略
灵活运用向量知识求解，可以突破难点，化难为易.
例5若△ABC中，A与B为锐角，且cosA+cosB-cos（A+B）=32，试判断△ABC的形状.
解析：由cosA+cosB-cos（A+B）=32，得sinBsinA+cosB（1-cosA）=32-cosA.
设a=（sinB，cosB），ba=（sinA，1-cosA），由a·ba≤|a|×|ba|，得
32-cosA=sinBsinA+cosB（1-cosA）≤sin2A+（1-cosA）2，
所以cosB-122≤0，所以cosB=12.因为B∈0，π2，所以B=π3.
因为A与B的地位相同，所以B=π3，所以C=π3，所以△ABC为等边三角形.
四、函数化策略
有些问题，可巧妙构建函数模型，使问题在函数性质的帮助下简捷求解.如以下例题可借助函数的单调性求解.
例6若△ABC中，A为锐角，2sin2A+sinA-sin2A=3cosA，且sinA=2sinBcosC，试判断△ABC的形状.
解析：因为A为锐角，所以cosA>0，
所以在2sin2A+sinA-sin2A=3cosA的两边同时除以cosA，得
2sinAtanA+tanA-2sinA=3，即（2sinA+1）（tanA-1）=2.
令f（x）=（2sinx+1）（tanx-1），则f（A）=2.因为函数f（x）在0，π4上f（x）<0，
fπ4=0，在π4，π2上是增函数，且fπ3=2，所以A=π3.
因为sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，即sin（B-C）=0，
又因为B∈（0，π），C∈（0，π），所以B-C∈（-π，π），所以B-C=0，所以B=C=π3，所以△ABC为等边三角形.
作者单位：山东省东营市第一中学
一、三角化策略
1.符号法则法：通过三角函数的符号规律来判断角的范围，从而判断三角形的形状.
例1在△ABC中，若tanAtanB>1，则△ABC的形状为（）.
A.直角三角形B.钝角三角形
C.锐角三角形D.不确定
解析：在△ABC中，由tanAtanB>1，得tanA>0，tanB>0，
所以A∈0，π2，B∈0，π2.
所以tanC=tanπ-（A+B）=-tan（A+B）=-tanA+tanB1-tanAtanB>0.
所以C∈0，π2，所以△ABC为锐角三角形.故选C.
2.正余弦定理法：利用正、余弦定理可实现边与角的互相转化，进而通过边或角的关系可判断三角形的形状.
例2已知△ABC中，若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状.
解析：由正弦定理得asinA=bsinB=2R，其中R为△ABC的外接圆半径，
所以a=2RsinA，b=2RsinB，代入acosA=bcosB，得sin2A=sin2B.
因为A∈（0，π），B∈（0，π），所以2A∈（0，2π），2B∈（0，2π），所以2A=2B或2A+2B=π，
所以A=B或A+B=π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
二、解析化策略
1.线圆化策略：利用直线与圆的关系，可求角的大小，从而判断三角形的形状.关键问题是：如何从抽象的式子中提炼出线圆关系.
例3若△ABC中，已知cos（A-B）-sin（A+B）=2，试判断△ABC的形状.
分析：由线圆化策略或向量化策略即可解决.
解：由cos（A-B）-sin（A+B）=2，得
sinA（sinB+cosB）+cosA（cosB+sinB）-2=0.
所以点（sinA，cosA）既在直线x（sinB+cosB）+y（cosB+sinB）-2=0上，又在圆x2+y2=1上，所以-2（sinB+cosB）2+（cosB+sinB）2≤1，整理得sin2B≥1.
因为-1≤sin2B≤1，所以sin2B=1.因为B∈（0，π），所以2B∈（0，2π），所以2B=π2，所以B=π4.同理：A=π4，所以C=π2，所以△ABC为等腰直角三角形.
2.曲线化策略：有些问题，抓住式子的结构特征，可巧妙构建圆锥曲线模型，使问题在曲线性质的帮助下简捷求解.
例4若△ABC中，A与B为锐角，且cos4Asin2B+sin4Acos2B=1，试判断△ABC的形状.
解析：构造E（cos2A，sin2A），F（sin2B，cos2B）两点，则它们都在椭圆x2sin2B+y2cos2B=1上.易求过点F（sin2B，cos2B）的切线方程为x+y=1，显然E（cos2A，sin2A）在切线x+y=1上，故E与F重合.
所以cos2A=sin2B，sin2A=cos2B，所以cosA=sinB=cosπ2-B.
因为A∈0，π2，B∈0，π2，所以π2-B∈0，π2.
因为y=cosx在0，π2上为减函数，所以A=π2-B，即A+B=π2.
所以△ABC为直角三角形.
三、向量化策略
灵活运用向量知识求解，可以突破难点，化难为易.
例5若△ABC中，A与B为锐角，且cosA+cosB-cos（A+B）=32，试判断△ABC的形状.
解析：由cosA+cosB-cos（A+B）=32，得sinBsinA+cosB（1-cosA）=32-cosA.
设a=（sinB，cosB），ba=（sinA，1-cosA），由a·ba≤|a|×|ba|，得
32-cosA=sinBsinA+cosB（1-cosA）≤sin2A+（1-cosA）2，
所以cosB-122≤0，所以cosB=12.因为B∈0，π2，所以B=π3.
因为A与B的地位相同，所以B=π3，所以C=π3，所以△ABC为等边三角形.
四、函数化策略
有些问题，可巧妙构建函数模型，使问题在函数性质的帮助下简捷求解.如以下例题可借助函数的单调性求解.
例6若△ABC中，A为锐角，2sin2A+sinA-sin2A=3cosA，且sinA=2sinBcosC，试判断△ABC的形状.
解析：因为A为锐角，所以cosA>0，
所以在2sin2A+sinA-sin2A=3cosA的两边同时除以cosA，得
2sinAtanA+tanA-2sinA=3，即（2sinA+1）（tanA-1）=2.
令f（x）=（2sinx+1）（tanx-1），则f（A）=2.因为函数f（x）在0，π4上f（x）<0，
fπ4=0，在π4，π2上是增函数，且fπ3=2，所以A=π3.
因为sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，即sin（B-C）=0，
又因为B∈（0，π），C∈（0，π），所以B-C∈（-π，π），所以B-C=0，所以B=C=π3，所以△ABC为等边三角形.
作者单位：山东省东营市第一中学