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【摘要】文献给出了正项级数收敛与发散的几种判别方法,在此基础上,作为补充利用p级数给出判断正项级数敛散性的其它几种方法。
【关键词】级数 正项级数 敛散性 方法
【中图分类号】O122.7 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)10(a)-0219-01
文献对正项级数给出了比较判别法、比式判别法、柯西根式判别法、积分判别法等一些判别收敛与发散的方法。这些方法,对正项级数敛散性的判别十分重要,且对同一个正项级数,可以用上述方法中的好几种进行判断,大大加强了正项级数敛散性的判断,在此基础上,作为这些方法的补充给出其它一些与文[1]中方法不同的一些判断定理。
定理１ 设为一正项级数,为p级数(p>0)
(1)N0,当n>N0时,
则当p>1时正项级数收敛。
(2)N0,当n>N0时,
则当时正项级数发散
证明(1)N0,当n>N0时,,而p级数当p>1时收敛。
∴由文[1]中的比较判别法知正项级数收敛。
(２)N0,当n>N0时,,而p级数当时发散。
∴由文献中的比较判别法知正项级数发散。
这一定理可看成文献比较判别法的推论,但在实际应用中常用此定理。
定理２ 设为一正项级数,为p级数(p>0),且,则
(1)当且p>1时正项级数收敛。
(2)当且0证明,,n> N,当n> N时有,
即,也即
(1)
当且p>1时由不等式(１)的右端得,用定理１知正项级数收敛。由不等式(１)的左端得(为任意小的正数,),用定理１,当且0定理３ 设为一正项级数,为p级数(p>0),且,若当时,则当p>1时正项级数收敛。
证明时,
由于,p=1,故由定理２知正项级数收敛。
定理４ 设为一正项级数,为p级数(p>0),且,若当时,则正项级数与p级数同时收敛同时发散。
证明 ∵当时,∴由同阶无穷小量的定义知正数K及L有,即,故由定理１知正项级数与p级数同时收敛同时发散。
推论 设为正项级数,为p级数(p>0),且,
若当时,则正项级数与p级数同时收敛同时发散。
证明 ∵当时,∴由同阶无穷小量的定义知=1
故1-
∴令
∴由定理4知, 正项级数与p级数同时收敛同时发散。
例 讨论下列级数的敛散性
(1)
(2)
(3)
解(1),
而
∴由定理知级数收敛。
(2)由于,所以由定理4推论知级数发散。
(3)解一 由于
所以由定理2知级数收敛。
解二 由于,而收敛。由定理1知级数收敛。
上述四个定理及推论在判别正项级数收敛与发散时经常用到且相当简单。在做题时可起到事半功倍的效果,也为丰富正项级数敛散性的判断增添了新的方法,注入了新的活力。
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,1991:6-116.
[2] 刘玉莲,傅沛仁等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2003
[3] 刘玉莲,杨奎元等.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2003 .
[4] 谢惠民等.数学分析习题课讲义[M].北京:高等教育出版社,2003.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
应用范例
例5:设A=,求正交矩阵P使得AP为对角矩阵.
解 特征多项式()=|E－Ａ|=,得A的特征值为2,2,8.
对特征值=2,解线性方程组(2E－Ａ)Ｘ=0, 得基础解系=,=
对特征值=8, 解线性方程组(8E－Ａ)Ｘ=0, 得基础解系=.
将,正交化:令=,则=－=－=,再将,单位化:=/||=,=/||=.
将单位化:=/||=.
令P=(,,)=,则AP =.
7 综合应用
例6:设A为三阶实对称矩阵,且满足条件+2A=O,已知A的秩r(A)=2,求A的全部特征值.
解由+2A=O,可得A的特征值为=－２或=0.又因为实对称矩阵A必可对角化,且由r(A)=2,知方程=O只有3－r(A)＝１个线性无关的特征向量，即＝０只能是Ａ的单特征值，所以=－２必是A的二重特征值,于是A相似于
因此,矩阵A的全部特征值为==－２,=0
例7:设三阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3.与特征值6对应的特征向量为=,
求A
解：设对应于3的特征向量为=,因实对称矩阵的不同特征值下的特征向量正交,即有=0, 即的分量满足++=0.又因特征值3的重数为2,所以对应于3恰有两个线性无关的特征向量,显然++=0的基础解系就是对应于3的两个线性无关的特征向量.
由++=0得它的一个基础解系为=,=.
令P=()=,由性质有=B=.
故A==.
8 总结
矩阵的特征值和特征向量有许多具体应用,依据上面所讨论的,可以方便的求出矩阵的特征值和特征向量及A的多项式的特征值和特征向量,并巧妙的处理了反求矩阵等矩阵特征值反问题.本文仅做了初步探讨,相信矩阵的特征值和特征向量在数学物理领域内还会有更大更多的应用.
参考文献
[1] 樊军.线性代数学习指导[M].科学出版社,2003.
[2] 郭华,刘小明.特征值与特征向量在矩阵运算中的作用[J].渝州大学学报(自然科学版),2000,(02).
[3] 施劲松,刘剑平.矩阵特征值、特征向量的确定[J].大学数学,2003,(06).
[4] 邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的应用研究[J].菏泽学院学报,2006,(05).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】级数 正项级数 敛散性 方法
【中图分类号】O122.7 【文献标识码】A 【文章编号】1009-9646(2008)10(a)-0219-01
文献对正项级数给出了比较判别法、比式判别法、柯西根式判别法、积分判别法等一些判别收敛与发散的方法。这些方法,对正项级数敛散性的判别十分重要,且对同一个正项级数,可以用上述方法中的好几种进行判断,大大加强了正项级数敛散性的判断,在此基础上,作为这些方法的补充给出其它一些与文[1]中方法不同的一些判断定理。
定理１ 设为一正项级数,为p级数(p>0)
(1)N0,当n>N0时,
则当p>1时正项级数收敛。
(2)N0,当n>N0时,
则当时正项级数发散
证明(1)N0,当n>N0时,,而p级数当p>1时收敛。
∴由文[1]中的比较判别法知正项级数收敛。
(２)N0,当n>N0时,,而p级数当时发散。
∴由文献中的比较判别法知正项级数发散。
这一定理可看成文献比较判别法的推论,但在实际应用中常用此定理。
定理２ 设为一正项级数,为p级数(p>0),且,则
(1)当且p>1时正项级数收敛。
(2)当且0证明,,n> N,当n> N时有,
即,也即
(1)
当且p>1时由不等式(１)的右端得,用定理１知正项级数收敛。由不等式(１)的左端得(为任意小的正数,),用定理１,当且0定理３ 设为一正项级数,为p级数(p>0),且,若当时,则当p>1时正项级数收敛。
证明时,
由于,p=1,故由定理２知正项级数收敛。
定理４ 设为一正项级数,为p级数(p>0),且,若当时,则正项级数与p级数同时收敛同时发散。
证明 ∵当时,∴由同阶无穷小量的定义知正数K及L有,即,故由定理１知正项级数与p级数同时收敛同时发散。
推论 设为正项级数,为p级数(p>0),且,
若当时,则正项级数与p级数同时收敛同时发散。
证明 ∵当时,∴由同阶无穷小量的定义知=1
故1-
∴令
∴由定理4知, 正项级数与p级数同时收敛同时发散。
例 讨论下列级数的敛散性
(1)
(2)
(3)
解(1),
而
∴由定理知级数收敛。
(2)由于,所以由定理4推论知级数发散。
(3)解一 由于
所以由定理2知级数收敛。
解二 由于,而收敛。由定理1知级数收敛。
上述四个定理及推论在判别正项级数收敛与发散时经常用到且相当简单。在做题时可起到事半功倍的效果,也为丰富正项级数敛散性的判断增添了新的方法,注入了新的活力。
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京:高等教育出版社,1991:6-116.
[2] 刘玉莲,傅沛仁等.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2003
[3] 刘玉莲,杨奎元等.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2003 .
[4] 谢惠民等.数学分析习题课讲义[M].北京:高等教育出版社,2003.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
应用范例
例5:设A=,求正交矩阵P使得AP为对角矩阵.
解 特征多项式()=|E－Ａ|=,得A的特征值为2,2,8.
对特征值=2,解线性方程组(2E－Ａ)Ｘ=0, 得基础解系=,=
对特征值=8, 解线性方程组(8E－Ａ)Ｘ=0, 得基础解系=.
将,正交化:令=,则=－=－=,再将,单位化:=/||=,=/||=.
将单位化:=/||=.
令P=(,,)=,则AP =.
7 综合应用
例6:设A为三阶实对称矩阵,且满足条件+2A=O,已知A的秩r(A)=2,求A的全部特征值.
解由+2A=O,可得A的特征值为=－２或=0.又因为实对称矩阵A必可对角化,且由r(A)=2,知方程=O只有3－r(A)＝１个线性无关的特征向量，即＝０只能是Ａ的单特征值，所以=－２必是A的二重特征值,于是A相似于
因此,矩阵A的全部特征值为==－２,=0
例7:设三阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3.与特征值6对应的特征向量为=,
求A
解：设对应于3的特征向量为=,因实对称矩阵的不同特征值下的特征向量正交,即有=0, 即的分量满足++=0.又因特征值3的重数为2,所以对应于3恰有两个线性无关的特征向量,显然++=0的基础解系就是对应于3的两个线性无关的特征向量.
由++=0得它的一个基础解系为=,=.
令P=()=,由性质有=B=.
故A==.
8 总结
矩阵的特征值和特征向量有许多具体应用,依据上面所讨论的,可以方便的求出矩阵的特征值和特征向量及A的多项式的特征值和特征向量,并巧妙的处理了反求矩阵等矩阵特征值反问题.本文仅做了初步探讨,相信矩阵的特征值和特征向量在数学物理领域内还会有更大更多的应用.
参考文献
[1] 樊军.线性代数学习指导[M].科学出版社,2003.
[2] 郭华,刘小明.特征值与特征向量在矩阵运算中的作用[J].渝州大学学报(自然科学版),2000,(02).
[3] 施劲松,刘剑平.矩阵特征值、特征向量的确定[J].大学数学,2003,(06).
[4] 邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的应用研究[J].菏泽学院学报,2006,(05).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”