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[摘 要]课堂活跃度调节是课堂管理的重要环节，对教学效果具有关键性影响。本文将实际控制工程中最经典的PID控制理念应用于大学数学教学情境改善，讨论如何利用PID控制来实现大学数学课堂活跃度的主动调节。该调节方法基于教师的主动观察，综合评估当前、过去和未来的活跃度跟踪误差信息，通过保守型、增长型和衰弱型三类具体调节手段，实现课堂活跃度的实时调控。
[关键词]课堂活跃度;大学数学;PID控制;控制理论
[中图分类号] G642.421 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2021）08-0068-05
一、研究背景
课堂活跃度调节是课堂管理中的重要环节[1-3]。适宜的课堂活跃度是轻松愉快课堂气氛的前提，是提高学生学习热情的环境基础。超过适宜度的课堂活跃度会影响课堂教学效率，甚至破坏课堂教学的基本流程。同时，低迷的課堂活跃度极大地影响学生自主思考与自主学习的动力，形成教师单向输出的情景，甚至导致长时间课堂沉默[4-5]。
大学课堂教学的受众是已初步具备独立思考能力、自主意识较强的大学生[6]。同时，大学课堂讲授的知识具有专业性，知识体系庞大，知识内容具有诸多细致且严谨的分析推理过程。大学课程具有比中小学课程更大的学习难度。因此，大学课堂活跃度往往表现出两极分化的情景：在讲授学科专业知识时，学生情绪低迷，注意力分散，呈现集体沉默情景;在讨论非教学内容话题或引导性内容时，学生兴趣高涨，注意力集中，课堂活跃度极高，甚至会出现课堂纪律失控、影响教学课程安排的情况。
在众多的学科门类中，数学学科的知识体系性强并且体系结构分支繁多。数学学科的知识点具有强抽象性特点，在讲授过程中无法避免冗长的逻辑推演与缜密的符号计算[7]。由于数学学科的抽象性特点，数学课堂活跃度的两极分化现象显著。如何提供一套理论方法，系统科学地调节课堂活跃度，是数学教学中的一个重要问题。
控制理论与反馈思想在教学系统中的研究已有初步的方法论结果[8]。然而，针对具体的教学系统调控问题，例如课堂活跃度调节，没有细致具体的反馈设计方法与控制执行手段。本文将立足于实际控制工程中最经典的PID控制理念，设计课堂活跃度的主动调节方法。
二、PID控制简介
自Watt发明蒸汽机以来，人类改造世界的技术手段不断革新，并将这一类技术方法抽象化为控制理论。在诸多高深的控制理论中，基于跟踪误差的比例-积分-微分（Proportionalintegralderivative， PID）控制具有原理清晰、结构简单、便于实现的特点。由于PID控制的设计便捷性与实际有效性，现今的诸多实际控制领域均采用PID控制结构，2017年调研结果表示目前过程控制中95%的控制器为PID类型[9]。
经过蒸汽机控制等一系列实际问题驱动与新技术变革，Elmer Sperry于1911年提出PID控制结构，并应用于船舶的航迹与航向控制[10-11]。PID控制的基本思想是利用系统输出与参考信号的误差值信号，由其比例值、积分值与微分值的线性组合，形成负反馈的控制输入信号，进而实现输出信号跟踪参考信号的目的。PID控制的基本结构参见图1。
PID控制具有设计思路直观、控制器结构简单、待调节参数少、易于工程实现等优势。同时，近年来PID控制理论基础进一步完善，证明了PID控制对于未知非线性动态的强鲁棒性[12]，从理论角度解释了PID控制广泛的适用性。
三、大学数学课堂活跃度的两个缩影
大学数学课堂活跃度呈现两极分化现象，具体表现在对专业理论知识的兴趣低迷以及对非教学内容话题或引导式内容的异常活跃。
（一）对专业理论知识的欠活跃现象
大学数学课程内容专业性强，抽象化程度高。同时，教学内容中具有较多的逻辑推演与细致的符号计算。由于大学数学课程的这类内在特点，学生对专业理论知识的理解速度慢、知识点消化时间长，学生集体容易对专业理论知识进入沉默状态。
下面，以连续函数定义与样例分析为例，说明数学课堂教学的抽象化程度以及学生欠活跃现象。
老师：下面介绍连续函数的基本定义。考虑函数[f（x）]与[x0∈R]，若对任意给定的[a>0]，都存在[b>0]，使得对任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）<a]，则称[f（x）]在[x0]处连续。
学生：（缓慢消化连续函数定义知识点）。
老师：我们用一个连续函数的例子来说明该定义。下面证明二次函数[fx=x2]是逐点连续的。考虑任意给定的[a>0]，我们设[b=mina6|x0|，3a3]，进而计算[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2≤2a3<a]，因此可知二次函数[fx=x2]在任意[x0∈R]处连续。
学生：（消化符号计算过程，理解[b]的选取，缓慢理解连续函数定义与该例证说明过程）。
上述大学数学的教学片段反映了数学专业知识的抽象性以及学生以持续思考与吸收讲授内容为主的课堂状态。这导致课堂活跃度低，学生的主动学习积极性下降，注意力极易分散到与教学无关的内容上，例如电子游戏。
（二）对非教学内容话题或引导式内容的过活跃现象
由于数学课程本身的专业性与抽象性，导致数学课堂教学呈现欠活跃现象。同时，在持续欠活跃状态下，若授课讲师以实例迁移类比、课程思政升华、跨学科知识点联动等方式，进行对教学内容的进行非正式教学解释或引导式教学，此时，学生往往表现出较高的活跃性，内在兴趣被极大激发，开启自主独立思考，进入团体讨论模式。然而，数学课堂活跃度的突发式增长，往往造成课堂可控性下降，课堂纪律紊乱，甚至破坏正常教学流程。 下面仍以上一小節中的连续函数定义与样例分析为例，来说明学生对非教学内容话题或引导式内容的过活跃现象。
老师：下面介绍连续函数的基本定义。首先，同学们看老师手上的这条细绳，整条细绳是连接着的，如果把它平铺到二维平面上，形成的图形是连续变化的。连续函数具有一个重要特征，每一段都可以用这条连续绳子代替。
学生：（被道具辅助式教学行为所吸引，注意力集中）。
老师：我们具体给出连续函数的定义。考虑函数[f（x）]与[x0∈R]，若对任意给定的[a>0]，都存在[b>0]，使得对任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）<a]，则称[f（x）]在[x0]处连续。
学生：（缓慢消化连续函数定义知识点，进入沉默状态）。
老师：我们用一个连续函数的例子来说明该定义。下面证明二次函数[fx=x2]是逐点连续的。考虑任意给定的[a>0]，我们设[b=mina6|x0|，3a3]，进而计算[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2≤2a3<a]，因此可知二次函数[fx=x2]在任意[x0∈R]处连续。
学生：（单向接受的逻辑推演与符号计算过程，缓慢理解连续函数定义与该例子）。
老师：同学们再来看我手中的连续绳子，请两位同学上台，将其摆成二次函数[fx=x2]的图像。
学生：（再次被道具辅助式教学方式吸引，跃跃欲试，两位同学上台）。
老师：请两位同学将这条连续绳子摆成二次函数的形状，下面的同学请注意看该连续绳子的变化。
学生：（非常兴奋活跃，课堂活跃度增长;两位同学顺利完成连续绳子的道具演示环节）。
老师：好的，谢谢两位同学的帮助，请两位同学归座。下面，我们继续介绍连续函数的几个重要例子以及连续函数的基本性质。
学生：（仍然沉浸在刚才的道具演示环节，互相窃窃私语，注意力难以集中到课堂专业理论知识）。
上述的教学情境表现出：在讲授专业理论知识时，非正式教学解释环节（道具辅助教学）具有增加课堂活跃度、吸引学生课堂注意力的正面作用。同时，过度的引导式教学（学生亲身上台实践）可能引起学生们的注意力分散，导致学生陷入非正式教学解释或引导式教学环节的过度吸引状态，私下相互讨论与教学内容无关的话题。这极大影响课堂教学纪律，导致学生对待讲授专业理论知识的兴趣下降，甚至出现无视教师的课程安排，致使课堂教学无法照常进行。
四、课堂活跃度的PID调节
应用于工程系统的PID控制有如下几个特点：被控系统为连续系统并且可建模、控制器输入值具有物理意义、控制参数可数值化、系统输出可实时量测。然而，在课堂活跃度系统中，课堂活跃度变化动态无法建模、无法采用设备仪器实时测量活跃度、活跃度调节手段无法连续化与数值化等特点均导致了活跃度调节的困难性。本节将从上述的困难点切入，讨论基于PID控制的大学数学课堂活跃度调节方法。
（一）课堂活跃度实时量测
课堂活跃度的实时测量是反馈控制设计的前提条件。尽管目前已有采用视频分析技术研究问答互动等课堂行为的方法[13]，但仍停留在离线处理阶段，无法做到实时监测与分析。目前市场上还缺少成熟的课堂活跃度检测设备，无法实时获得课堂活跃度的数值化评估值。实时量测量的缺失对设计活跃度调节方法带来了挑战。
目前，在授课过程中，课堂活跃度的量测工作由授课教师发挥主观能动性，基于眼、耳等人体基本传感器，利用对话、提问、观察等方式，最后借助个人经验来判断目前的课堂活跃程度。
从控制理论角度，这种测量方式是带有量测噪声、量测时延的。本文不再进一步探讨量测的有效性以及量测滤波等问题。下文将在教师自主量测的基础上，进一步讨论活跃度的PID控制设计。
（二）课堂活跃度误差以及微分项、积分项分析
跟踪误差信号是PID控制的核心概念。同时，针对误差信号的微分运算与积分运算是PID实现中的两个重要计算过程。下面就针对课堂活跃度动态系统，具体讨论上述概念。
在课堂活跃度动态系统中，定义活跃度误差信号为[E（t）?Y（t）-R（t）]，其中[t]为当前时刻，[Y（t）]为教师自主量测的课堂活跃度，[R（t）]为课堂活跃度的最佳值。由于不同教学主题的课堂最佳活跃度不同，甚至同一节课的不同环节也会有不同的最佳活跃度，因此[R（t）]为一个随课程主题、课程内容和课程进度变化的时变值。与课堂活跃度的测量值类似，目前仅能依靠教师自主判断当前课堂的最佳活跃度，无法采用设备仪器自动测算其具体数值。
基于活跃度误差信号的定义，可得其微分值[E（t）]与积分值[0tE（s）ds]。由于目前无法采用设备量化课堂活跃度动态系统中的活跃度误差，因此其微分值与积分值也无法具体量化。但是从微分与积分的数学内涵出发，可定性地分析活跃度误差微分信号与积分信号的意义：
1）活跃度误差微分信号表示当前活跃度误差的变化情况，这个值与活跃度误差的具体取值无关。微分值可预测下一步的课堂活跃度变化走势。例如：学生群体由于非正式教学话题处于活跃状态，但是其活跃度随时间下降，活跃度误差的微分值为负数，并且课堂活跃度曲线的走势为逐渐降低。
2）活跃度误差积分信号表示活跃度误差随时间的累积值，表现了已过去时间中的课堂活跃度。例如：在前几次课堂教学中或本次教学的前几部分中，某班级学生群体体现出活跃度低下，注意力涣散的情况，那么活跃度误差积分信号为多次负值误差信号的累积。
根据活跃度误差微分值与积分值的基本意义讨论，教师可自主结合课程内容、课堂环境等因素，推断目前的微分值与积分值信号大小。
（三）课堂活跃度的PID控制量 基于上述的课堂活跃度误差信号及其微分值与积分值，根据PID控制的基本原理可设计课堂活跃度调控输入[Ut=-kpEt-kdEt-ki0tE（s）ds]，其中[Ut]表示当前时刻教师需要主动制造的课堂活跃度要素大小，正数[kp]，[kd]和[ki]分别为比例、微分、积分反馈增益系数。注意到，当[Ut<0]时，表示教师应当减少目前课堂中的活跃度要素，从而降低当前课堂的活跃度;当[Ut>0]时，表示教师应当增加目前课堂中的活跃度要素，增加当前课堂的活跃度。课堂活跃度的PID调节利用了当前课堂活跃度信息（[Et]）、未来课堂活跃度预测信息（[Et]）和过去课堂活跃度信息（[0tE（s）ds]）。比例、微分、积分反馈增益系数表示教师对三种信号的组合加权与综合评估过程。
所设计的PID调节控制量是连续取值的，然而目前难以量化控制值与实际教学方式的关联，并且在课堂教学中实现连续地控制是十分困难的。因此，该理论方法在当下的实践中，仅能靠切换教学手段与方式，在离散意义下实现PID控制调节。下一小节将讨论三类能够改变课堂活跃度的具体方法。
（四）课堂活跃度PID调节的具体方法
针对不同学科的教学内容与不同专业背景的学生群体，增加或减少课堂活跃度的教学手段与方法会有差异。在不同学科的教学过程中，同一个教学方式甚至会引发截然相反的课堂活跃度变化。下面，针对大学数学课堂教学，讨论调节课堂活跃度的三类方法：保持型、增长型和衰弱型。
1）保持型：保持当前课堂活跃度的方法类型，包括但不限于举例说明、辅助画图说明、推论说明。
2）增长型：增加当前课堂活跃度的方法类型，包括但不限于道具辅助教学、实事联动教学、跨学科联动教学、主动问答。
3）衰弱型：减少当前课堂活跃度的方法类型，包括但不限于长篇的逻辑推演、艰深专业知识点讲解、纪律整肃、叙事式说理。
结合上一小节所述的课堂活跃度PID调节控制量，教师在授课过程中可根据本节中讨论的具体方法来调节课堂活跃度。
综上，课堂活跃度的PID调节方法结构如图2所示。利用教师自主观测的当前活跃度信息以及目前的最佳活躍度参考值，计算活跃度误差信号;进一步，然后根据以往的误差信息，获得其微分值与积分值，从而综合分析当前、过去与未来的误差信号信息，得到PID控制量;最终利用三类主动调节手段，实现活跃度系统的PID控制输入。
五、案例分析
下面，以第3节中讨论的连续函数定义与样例分析的教学过程为例，说明课堂活跃度PID调节的具体实施过程。
初始课堂活跃度在最佳值附近，老师开始授课。
老师：连续函数，顾名思义，表示函数值随着自变量变化不会产生跳跃性或者间断性的改变。（概念性简介——保持型）
学生：（吸收连续函数的概念性介绍）。
老师主动观察课堂活跃度：活跃度保持在参考最佳值附近;经过综合评估，可顺利进行下一步教学内容。
老师：我们给出连续函数的具体定义：考虑函数[f（x）]与[x0∈R]，若对任意给定的[a>0]，都存在[b>0]，使得对任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）<a]，则称[f（x）]在[x0]处连续。（专业知识点介绍——衰弱型）
学生：（缓慢消化连续函数定义知识点，部分学生兴趣度下降）。
老师主动观察课堂活跃度：活跃度开始下降;经过综合评估，采用增强型方法提升课堂活跃度。
老师：我们用一个连续函数的例子来说明该定义。最简单的二次函数[fx=x2]是连续函数，这是符合直观感受的。那么如何从定义出发来证明这个二次函数是连续的？（主动问答——增强型）
学生：（开始把注意力转向思考该问题;课堂活跃度开始回升）。
老师主动观察课堂活跃度：活跃度开始回升。虽然活跃度误差为负值，但其微分值为正值，经过综合评估，可进行下一步教学内容，采用思路介绍的方法，逐步引入。
老师：从连续函数的定义中可以看出[b]的存在性是一个关键问题。由于函数形式已知，我们尝试用计算的办法来给出[b]的具体取值。（思路介绍——保持型;将衰弱型的逻辑推演过程转化为多个保持型过程，利于课堂活跃度的调节）
学生：（理解选取[b]的意义，开始思考如何计算[b]）。
老师主动观察课堂活跃度：活跃度保持在最佳参考值附近;经过综合评估，采用拆分法分解冗长的逻辑推演过程，利于学生逐步理解知识内容。
老师：首先我们计算当[x∈[x0-b， x0+b]]时，[fx-f（x0）]的上界。结合三角不等式，可得[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2。]（逻辑推演——衰弱型;由于将冗长的推演过程拆分，减少了课堂活跃度的衰减程度）
学生：（理解该不等式的推理过程）。
老师主动观察课堂活跃度：活跃度开始下降。此时，活跃度误差及其微分、积分值均为负值，经过综合评估，需要进一步具体分解逻辑推演过程，防止课堂活跃度过低。
老师：我们想要不等式的右端小于[a]，一个简单的想法就是不等式右端的每一项都小于等于[a3]。因此，我们得到一种的[b]选取方法[b=mina6|x0|，3a3]。（逻辑推演——衰退型）
学生：（理解接受[b]值的由来，并且明白[b]值选取的基本要求）。
老师主动观察课堂活跃度：活跃度进一步下降。此时，课堂活跃度有过低的风险，经过综合评估，采用主动问答方法，进一步确认课堂活跃度，并激发课堂互动。
老师：基于上面的讨论，考虑任意给定的[a>0]，我们设[b=mina6|x0|，3a3]，此时是不是有[fx-f（x0）≤2a3<a]？（主动问答——增强型;主动问答的另一个重要作用是量测当前课堂活跃度） 学生：对（消化了整体推演与计算逻辑，主动回答教师提问;课堂活跃度回升）。
在上述课堂教学过程，要求教师实时自主评估当前课堂活跃度与最佳参考值之间的差距，通过保持型、增长型和衰弱型三类调节方法，实现课堂活跃度的实时调节，同时完成既定的教学任务与目标。
六、结语
本文从工程控制中的经典方法PID控制出发，讨论了大学数学课堂活跃度PID调节。通过具体地分析课堂活跃度误差信号及其微分值与积分值，建立活跃度PID调节控制规律。进一步，简述了三类调节课堂活跃度的方法，并且以连续函数教学为例，分析活跃度的PID调节方法。
由于目前科学测量与标定课堂活跃度的手段欠缺，本文仅从基本概念、方法论的角度给出了课堂活跃度PID调节的设计与实施过程。下一步的研究工作将聚焦到课堂活跃度动态系统的量化分析以及控制器的数值性处理。
[ 参 考 文 献 ]
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[7] 罗苏梅，徐文明.大学生数学刻板印象威胁实验研究[J].数学教育学报，2012（5）：34-36+40.
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[13] 胡启宙，孙庆括.初中数学教师课堂提问的方式和反馈水平实证研究：基于三位教师课堂录像的编码分析[J].数学教育学报，2015（4）：72-75.
[责任编辑：林志恒]
[关键词]课堂活跃度;大学数学;PID控制;控制理论
[中图分类号] G642.421 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2021）08-0068-05
一、研究背景
课堂活跃度调节是课堂管理中的重要环节[1-3]。适宜的课堂活跃度是轻松愉快课堂气氛的前提，是提高学生学习热情的环境基础。超过适宜度的课堂活跃度会影响课堂教学效率，甚至破坏课堂教学的基本流程。同时，低迷的課堂活跃度极大地影响学生自主思考与自主学习的动力，形成教师单向输出的情景，甚至导致长时间课堂沉默[4-5]。
大学课堂教学的受众是已初步具备独立思考能力、自主意识较强的大学生[6]。同时，大学课堂讲授的知识具有专业性，知识体系庞大，知识内容具有诸多细致且严谨的分析推理过程。大学课程具有比中小学课程更大的学习难度。因此，大学课堂活跃度往往表现出两极分化的情景：在讲授学科专业知识时，学生情绪低迷，注意力分散，呈现集体沉默情景;在讨论非教学内容话题或引导性内容时，学生兴趣高涨，注意力集中，课堂活跃度极高，甚至会出现课堂纪律失控、影响教学课程安排的情况。
在众多的学科门类中，数学学科的知识体系性强并且体系结构分支繁多。数学学科的知识点具有强抽象性特点，在讲授过程中无法避免冗长的逻辑推演与缜密的符号计算[7]。由于数学学科的抽象性特点，数学课堂活跃度的两极分化现象显著。如何提供一套理论方法，系统科学地调节课堂活跃度，是数学教学中的一个重要问题。
控制理论与反馈思想在教学系统中的研究已有初步的方法论结果[8]。然而，针对具体的教学系统调控问题，例如课堂活跃度调节，没有细致具体的反馈设计方法与控制执行手段。本文将立足于实际控制工程中最经典的PID控制理念，设计课堂活跃度的主动调节方法。
二、PID控制简介
自Watt发明蒸汽机以来，人类改造世界的技术手段不断革新，并将这一类技术方法抽象化为控制理论。在诸多高深的控制理论中，基于跟踪误差的比例-积分-微分（Proportionalintegralderivative， PID）控制具有原理清晰、结构简单、便于实现的特点。由于PID控制的设计便捷性与实际有效性，现今的诸多实际控制领域均采用PID控制结构，2017年调研结果表示目前过程控制中95%的控制器为PID类型[9]。
经过蒸汽机控制等一系列实际问题驱动与新技术变革，Elmer Sperry于1911年提出PID控制结构，并应用于船舶的航迹与航向控制[10-11]。PID控制的基本思想是利用系统输出与参考信号的误差值信号，由其比例值、积分值与微分值的线性组合，形成负反馈的控制输入信号，进而实现输出信号跟踪参考信号的目的。PID控制的基本结构参见图1。
PID控制具有设计思路直观、控制器结构简单、待调节参数少、易于工程实现等优势。同时，近年来PID控制理论基础进一步完善，证明了PID控制对于未知非线性动态的强鲁棒性[12]，从理论角度解释了PID控制广泛的适用性。
三、大学数学课堂活跃度的两个缩影
大学数学课堂活跃度呈现两极分化现象，具体表现在对专业理论知识的兴趣低迷以及对非教学内容话题或引导式内容的异常活跃。
（一）对专业理论知识的欠活跃现象
大学数学课程内容专业性强，抽象化程度高。同时，教学内容中具有较多的逻辑推演与细致的符号计算。由于大学数学课程的这类内在特点，学生对专业理论知识的理解速度慢、知识点消化时间长，学生集体容易对专业理论知识进入沉默状态。
下面，以连续函数定义与样例分析为例，说明数学课堂教学的抽象化程度以及学生欠活跃现象。
老师：下面介绍连续函数的基本定义。考虑函数[f（x）]与[x0∈R]，若对任意给定的[a>0]，都存在[b>0]，使得对任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）<a]，则称[f（x）]在[x0]处连续。
学生：（缓慢消化连续函数定义知识点）。
老师：我们用一个连续函数的例子来说明该定义。下面证明二次函数[fx=x2]是逐点连续的。考虑任意给定的[a>0]，我们设[b=mina6|x0|，3a3]，进而计算[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2≤2a3<a]，因此可知二次函数[fx=x2]在任意[x0∈R]处连续。
学生：（消化符号计算过程，理解[b]的选取，缓慢理解连续函数定义与该例证说明过程）。
上述大学数学的教学片段反映了数学专业知识的抽象性以及学生以持续思考与吸收讲授内容为主的课堂状态。这导致课堂活跃度低，学生的主动学习积极性下降，注意力极易分散到与教学无关的内容上，例如电子游戏。
（二）对非教学内容话题或引导式内容的过活跃现象
由于数学课程本身的专业性与抽象性，导致数学课堂教学呈现欠活跃现象。同时，在持续欠活跃状态下，若授课讲师以实例迁移类比、课程思政升华、跨学科知识点联动等方式，进行对教学内容的进行非正式教学解释或引导式教学，此时，学生往往表现出较高的活跃性，内在兴趣被极大激发，开启自主独立思考，进入团体讨论模式。然而，数学课堂活跃度的突发式增长，往往造成课堂可控性下降，课堂纪律紊乱，甚至破坏正常教学流程。 下面仍以上一小節中的连续函数定义与样例分析为例，来说明学生对非教学内容话题或引导式内容的过活跃现象。
老师：下面介绍连续函数的基本定义。首先，同学们看老师手上的这条细绳，整条细绳是连接着的，如果把它平铺到二维平面上，形成的图形是连续变化的。连续函数具有一个重要特征，每一段都可以用这条连续绳子代替。
学生：（被道具辅助式教学行为所吸引，注意力集中）。
老师：我们具体给出连续函数的定义。考虑函数[f（x）]与[x0∈R]，若对任意给定的[a>0]，都存在[b>0]，使得对任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）<a]，则称[f（x）]在[x0]处连续。
学生：（缓慢消化连续函数定义知识点，进入沉默状态）。
老师：我们用一个连续函数的例子来说明该定义。下面证明二次函数[fx=x2]是逐点连续的。考虑任意给定的[a>0]，我们设[b=mina6|x0|，3a3]，进而计算[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2≤2a3<a]，因此可知二次函数[fx=x2]在任意[x0∈R]处连续。
学生：（单向接受的逻辑推演与符号计算过程，缓慢理解连续函数定义与该例子）。
老师：同学们再来看我手中的连续绳子，请两位同学上台，将其摆成二次函数[fx=x2]的图像。
学生：（再次被道具辅助式教学方式吸引，跃跃欲试，两位同学上台）。
老师：请两位同学将这条连续绳子摆成二次函数的形状，下面的同学请注意看该连续绳子的变化。
学生：（非常兴奋活跃，课堂活跃度增长;两位同学顺利完成连续绳子的道具演示环节）。
老师：好的，谢谢两位同学的帮助，请两位同学归座。下面，我们继续介绍连续函数的几个重要例子以及连续函数的基本性质。
学生：（仍然沉浸在刚才的道具演示环节，互相窃窃私语，注意力难以集中到课堂专业理论知识）。
上述的教学情境表现出：在讲授专业理论知识时，非正式教学解释环节（道具辅助教学）具有增加课堂活跃度、吸引学生课堂注意力的正面作用。同时，过度的引导式教学（学生亲身上台实践）可能引起学生们的注意力分散，导致学生陷入非正式教学解释或引导式教学环节的过度吸引状态，私下相互讨论与教学内容无关的话题。这极大影响课堂教学纪律，导致学生对待讲授专业理论知识的兴趣下降，甚至出现无视教师的课程安排，致使课堂教学无法照常进行。
四、课堂活跃度的PID调节
应用于工程系统的PID控制有如下几个特点：被控系统为连续系统并且可建模、控制器输入值具有物理意义、控制参数可数值化、系统输出可实时量测。然而，在课堂活跃度系统中，课堂活跃度变化动态无法建模、无法采用设备仪器实时测量活跃度、活跃度调节手段无法连续化与数值化等特点均导致了活跃度调节的困难性。本节将从上述的困难点切入，讨论基于PID控制的大学数学课堂活跃度调节方法。
（一）课堂活跃度实时量测
课堂活跃度的实时测量是反馈控制设计的前提条件。尽管目前已有采用视频分析技术研究问答互动等课堂行为的方法[13]，但仍停留在离线处理阶段，无法做到实时监测与分析。目前市场上还缺少成熟的课堂活跃度检测设备，无法实时获得课堂活跃度的数值化评估值。实时量测量的缺失对设计活跃度调节方法带来了挑战。
目前，在授课过程中，课堂活跃度的量测工作由授课教师发挥主观能动性，基于眼、耳等人体基本传感器，利用对话、提问、观察等方式，最后借助个人经验来判断目前的课堂活跃程度。
从控制理论角度，这种测量方式是带有量测噪声、量测时延的。本文不再进一步探讨量测的有效性以及量测滤波等问题。下文将在教师自主量测的基础上，进一步讨论活跃度的PID控制设计。
（二）课堂活跃度误差以及微分项、积分项分析
跟踪误差信号是PID控制的核心概念。同时，针对误差信号的微分运算与积分运算是PID实现中的两个重要计算过程。下面就针对课堂活跃度动态系统，具体讨论上述概念。
在课堂活跃度动态系统中，定义活跃度误差信号为[E（t）?Y（t）-R（t）]，其中[t]为当前时刻，[Y（t）]为教师自主量测的课堂活跃度，[R（t）]为课堂活跃度的最佳值。由于不同教学主题的课堂最佳活跃度不同，甚至同一节课的不同环节也会有不同的最佳活跃度，因此[R（t）]为一个随课程主题、课程内容和课程进度变化的时变值。与课堂活跃度的测量值类似，目前仅能依靠教师自主判断当前课堂的最佳活跃度，无法采用设备仪器自动测算其具体数值。
基于活跃度误差信号的定义，可得其微分值[E（t）]与积分值[0tE（s）ds]。由于目前无法采用设备量化课堂活跃度动态系统中的活跃度误差，因此其微分值与积分值也无法具体量化。但是从微分与积分的数学内涵出发，可定性地分析活跃度误差微分信号与积分信号的意义：
1）活跃度误差微分信号表示当前活跃度误差的变化情况，这个值与活跃度误差的具体取值无关。微分值可预测下一步的课堂活跃度变化走势。例如：学生群体由于非正式教学话题处于活跃状态，但是其活跃度随时间下降，活跃度误差的微分值为负数，并且课堂活跃度曲线的走势为逐渐降低。
2）活跃度误差积分信号表示活跃度误差随时间的累积值，表现了已过去时间中的课堂活跃度。例如：在前几次课堂教学中或本次教学的前几部分中，某班级学生群体体现出活跃度低下，注意力涣散的情况，那么活跃度误差积分信号为多次负值误差信号的累积。
根据活跃度误差微分值与积分值的基本意义讨论，教师可自主结合课程内容、课堂环境等因素，推断目前的微分值与积分值信号大小。
（三）课堂活跃度的PID控制量 基于上述的课堂活跃度误差信号及其微分值与积分值，根据PID控制的基本原理可设计课堂活跃度调控输入[Ut=-kpEt-kdEt-ki0tE（s）ds]，其中[Ut]表示当前时刻教师需要主动制造的课堂活跃度要素大小，正数[kp]，[kd]和[ki]分别为比例、微分、积分反馈增益系数。注意到，当[Ut<0]时，表示教师应当减少目前课堂中的活跃度要素，从而降低当前课堂的活跃度;当[Ut>0]时，表示教师应当增加目前课堂中的活跃度要素，增加当前课堂的活跃度。课堂活跃度的PID调节利用了当前课堂活跃度信息（[Et]）、未来课堂活跃度预测信息（[Et]）和过去课堂活跃度信息（[0tE（s）ds]）。比例、微分、积分反馈增益系数表示教师对三种信号的组合加权与综合评估过程。
所设计的PID调节控制量是连续取值的，然而目前难以量化控制值与实际教学方式的关联，并且在课堂教学中实现连续地控制是十分困难的。因此，该理论方法在当下的实践中，仅能靠切换教学手段与方式，在离散意义下实现PID控制调节。下一小节将讨论三类能够改变课堂活跃度的具体方法。
（四）课堂活跃度PID调节的具体方法
针对不同学科的教学内容与不同专业背景的学生群体，增加或减少课堂活跃度的教学手段与方法会有差异。在不同学科的教学过程中，同一个教学方式甚至会引发截然相反的课堂活跃度变化。下面，针对大学数学课堂教学，讨论调节课堂活跃度的三类方法：保持型、增长型和衰弱型。
1）保持型：保持当前课堂活跃度的方法类型，包括但不限于举例说明、辅助画图说明、推论说明。
2）增长型：增加当前课堂活跃度的方法类型，包括但不限于道具辅助教学、实事联动教学、跨学科联动教学、主动问答。
3）衰弱型：减少当前课堂活跃度的方法类型，包括但不限于长篇的逻辑推演、艰深专业知识点讲解、纪律整肃、叙事式说理。
结合上一小节所述的课堂活跃度PID调节控制量，教师在授课过程中可根据本节中讨论的具体方法来调节课堂活跃度。
综上，课堂活跃度的PID调节方法结构如图2所示。利用教师自主观测的当前活跃度信息以及目前的最佳活躍度参考值，计算活跃度误差信号;进一步，然后根据以往的误差信息，获得其微分值与积分值，从而综合分析当前、过去与未来的误差信号信息，得到PID控制量;最终利用三类主动调节手段，实现活跃度系统的PID控制输入。
五、案例分析
下面，以第3节中讨论的连续函数定义与样例分析的教学过程为例，说明课堂活跃度PID调节的具体实施过程。
初始课堂活跃度在最佳值附近，老师开始授课。
老师：连续函数，顾名思义，表示函数值随着自变量变化不会产生跳跃性或者间断性的改变。（概念性简介——保持型）
学生：（吸收连续函数的概念性介绍）。
老师主动观察课堂活跃度：活跃度保持在参考最佳值附近;经过综合评估，可顺利进行下一步教学内容。
老师：我们给出连续函数的具体定义：考虑函数[f（x）]与[x0∈R]，若对任意给定的[a>0]，都存在[b>0]，使得对任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）<a]，则称[f（x）]在[x0]处连续。（专业知识点介绍——衰弱型）
学生：（缓慢消化连续函数定义知识点，部分学生兴趣度下降）。
老师主动观察课堂活跃度：活跃度开始下降;经过综合评估，采用增强型方法提升课堂活跃度。
老师：我们用一个连续函数的例子来说明该定义。最简单的二次函数[fx=x2]是连续函数，这是符合直观感受的。那么如何从定义出发来证明这个二次函数是连续的？（主动问答——增强型）
学生：（开始把注意力转向思考该问题;课堂活跃度开始回升）。
老师主动观察课堂活跃度：活跃度开始回升。虽然活跃度误差为负值，但其微分值为正值，经过综合评估，可进行下一步教学内容，采用思路介绍的方法，逐步引入。
老师：从连续函数的定义中可以看出[b]的存在性是一个关键问题。由于函数形式已知，我们尝试用计算的办法来给出[b]的具体取值。（思路介绍——保持型;将衰弱型的逻辑推演过程转化为多个保持型过程，利于课堂活跃度的调节）
学生：（理解选取[b]的意义，开始思考如何计算[b]）。
老师主动观察课堂活跃度：活跃度保持在最佳参考值附近;经过综合评估，采用拆分法分解冗长的逻辑推演过程，利于学生逐步理解知识内容。
老师：首先我们计算当[x∈[x0-b， x0+b]]时，[fx-f（x0）]的上界。结合三角不等式，可得[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2。]（逻辑推演——衰弱型;由于将冗长的推演过程拆分，减少了课堂活跃度的衰减程度）
学生：（理解该不等式的推理过程）。
老师主动观察课堂活跃度：活跃度开始下降。此时，活跃度误差及其微分、积分值均为负值，经过综合评估，需要进一步具体分解逻辑推演过程，防止课堂活跃度过低。
老师：我们想要不等式的右端小于[a]，一个简单的想法就是不等式右端的每一项都小于等于[a3]。因此，我们得到一种的[b]选取方法[b=mina6|x0|，3a3]。（逻辑推演——衰退型）
学生：（理解接受[b]值的由来，并且明白[b]值选取的基本要求）。
老师主动观察课堂活跃度：活跃度进一步下降。此时，课堂活跃度有过低的风险，经过综合评估，采用主动问答方法，进一步确认课堂活跃度，并激发课堂互动。
老师：基于上面的讨论，考虑任意给定的[a>0]，我们设[b=mina6|x0|，3a3]，此时是不是有[fx-f（x0）≤2a3<a]？（主动问答——增强型;主动问答的另一个重要作用是量测当前课堂活跃度） 学生：对（消化了整体推演与计算逻辑，主动回答教师提问;课堂活跃度回升）。
在上述课堂教学过程，要求教师实时自主评估当前课堂活跃度与最佳参考值之间的差距，通过保持型、增长型和衰弱型三类调节方法，实现课堂活跃度的实时调节，同时完成既定的教学任务与目标。
六、结语
本文从工程控制中的经典方法PID控制出发，讨论了大学数学课堂活跃度PID调节。通过具体地分析课堂活跃度误差信号及其微分值与积分值，建立活跃度PID调节控制规律。进一步，简述了三类调节课堂活跃度的方法，并且以连续函数教学为例，分析活跃度的PID调节方法。
由于目前科学测量与标定课堂活跃度的手段欠缺，本文仅从基本概念、方法论的角度给出了课堂活跃度PID调节的设计与实施过程。下一步的研究工作将聚焦到课堂活跃度动态系统的量化分析以及控制器的数值性处理。
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[责任编辑：林志恒]