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摘要：随着现代社会的发展和我国课程改革的进一步深化，在高等师范院校数学教育专业几何课程的教学学时大幅缩减，而另一方面，中学数学对几何内容的要求并没有降低。由此可以看出高师数学教育的几何课程设置已经滞后于中学数学教育，课程改革势在必行。
关键词：几何；中学几何；大学几何；课程改革
随着中学课程改革进程的不断深入，培养准教师的高师教育改革被推到了非改不可的境地。高师数学课程改革中，几何课程内容与教学的改革又是历来数学教育改革的热点及争议较大的问题。我们顺应这个潮流，结合我院教育部特色专业项目——数学与应用数学的课程建设，进行了高师数学教育专业几何课程改革的尝试。
1 几何课程变革
1.1中学几何课程变革
欧氏几何在数学教学中的作用与地位究竟是什么？长期以来这是一个有争议的问题。特别是本世纪五十年代以后，国内外对中学几何课程改革曾经出现过大起大落的阶段。因此，现在来回顾总结以往的历史经验，总结对中学几何教育的研究成果是很有必要的。这样不仅可以避免在今后的教学上不再重复那些已经证明为不成功的经验，同时也可以确定哪些是经受过实践考验的成功经验，我们可以从中获得教益；并且对那些尚未明确的有关问题，也希望能对今后的研究提供一些有用的信息，以便确定可能采取的措施。这将会对今后二十一世纪的几何课程改革打下一个坚实的基础。
数学课程中的几何内容，历来是数学教育改革运动争议的焦点。尤其是初中阶段的平面几何更是备受关注。然而，我国几何课程的教学，虽然曾经受到“新数学”运动的影响，但是无论在质还是在量的方面却仍然保持了它的重要地位（见下表所示）：
1.2大学几何课程变革
高等师范院校数学教育专业开设的重要基础课程之中，几何课程主要有“解析几何”、“微分几何”、“高等几何”等。大多数学校“高等几何”课本是以“射影几何”为主要内容，并由
仿射几何作为过渡，也有少数简单介绍了“几何基础”的内容。但也有学校只有“解析几何”是必修课程，“微分几何”、“高等几何”均作为选修。这主要是由于新课程的增加（如：信息类、思想教育类、新的实用类等）与总课程的压缩，使传统几何课程的教学学时不得不大大缩减，但另一方面，中学数学对几何内容的要求并没有降低。由此可以看出高师数学教
育的课程设置已经滞后于中学数学教育。有许多学校的“解析几何”课程曾经单独开设，后来又与高等代数合并成为高等代数与解析几何课程，由两个教师穿插进行教学，或是由一个教师单独承担教学，但是由于各个教师的专业偏向不一，偏向于代数的教师教学过程中难免偏重于代数抽象性而忽视几何的直观性，而对于专业偏向于几何的教师则往往偏重几何的直观性而忽略代数的抽象性，这样就没有达到当时两门课程合并成为一门课程的真正目的。所以经过一段时间以后大多数学校又把它们单独分开成为“高等代数”和“解析几何”两门课程。而“微分几何”课在高等师范院校数学教育专业有作为必修课程开设的，也有作为选修课程开设的，甚至还有不开设的。为了适应中学课程对几何内容的需求和大学几何课程教学学时的减少的实际情况，我校在2006年就尝试将几何课程进行改革，开设了“几何学概论”课程，并在教学过程中不断地改革和优化教学内容，由于一直没有合适的配套教材，本学院特为此编写了“几何学概论”一书。
2.《几何学概论》的编写思路
2.1 从几何学的发展历史了解几何
结合历史以及相关历史人物简介，介绍几何学的发展。首先考虑介绍最早的几何，即约公元前300年的古希腊数学家的欧几里得的几何《原本》。欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了几何《原本》之外，欧几里得还有不少著作，比如《已知数》、《图形的分割》和《光学》，只是可惜大都失传。其中《已知数》是除《原本》之外唯一保存下来的希腊文纯粹几何著作，体例和几何《原本》前6卷相近，包括94个命题，指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定；《图形的分割》现存拉丁文本和阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分；《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。古希腊数学家欧几里得把至希腊时代为止所得到的数学知识集其大成，编成十三卷的《原本》，这就是直到今天仍广泛地作为几何学的教科书使用下来的欧几里得几何学（简称欧氏几何）。对于几何《原本》，不但应该介绍它的优点，还需讲解它的缺点，同时还必须介绍几何《原本》对我国数学的影响，让大家对几何《原本》有一个比较全面客观的认识。
法国数学家笛卡儿和费马在创立的《解析几何》，是几何学的研究方法的一个重大突破，近代数学本质上可以说是变量数学。文艺复兴以来资本主义生产力的发展，对科学技术提出了全新的要求。到了16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。这就迫切需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。笛卡儿在1637年发表了著名的哲学著作《方法论》，该书有三个附录：《几何学》、《屈光学》和《气象学》，解析几何的发明包含在《几何学》这篇附录中。笛卡儿的出发点是一个著名的希腊数学问题——帕波斯问题。与笛卡儿不同，费马工作的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作《论平面轨迹》，他为此而写了一本题为《论平面和立体的轨迹引论》（1629）的书。除此之外解析几何产生的重要性也是应该着重介绍的。
在几何的发展历史过程中，古希腊数学家的工作，已略见射影几何的端倪。阿波罗尼奥斯已经知道完全四边形的调和性。巴布什的著作中已有了对合概念，著名的巴布什定理就是他的研究成果。梅因劳斯定理无论在初等几何、解析几何还是射影几何中都是著名的定理。16世纪欧洲数学家中很多人关心阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》第8卷的恢复与整理，圆锥曲线在天文学上的应用，促使人们需要重新审视希腊人的圆锥曲线，以及其它高等曲线。《光学本》是希腊人的兴趣之一，也是由于天文观测的需要，它又日益成为文艺复兴时期的一个重要课题。不过文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力却来自于艺术。 从古希腊时代到公元1800年间，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但是欧氏几何的所有公设中，唯独平行公设显得比较特殊。它的叙述不像其它公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像一个公设而更像是一个定理，于是许多数学家都尝试根据欧几里得的其它公理去证明欧几里得平行公理，结果都归失败。就连欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的使用，在《原本》中一直到第1卷命题29才不得不利用它。历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫做出的，后来普洛克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线平行于该直线，这个与第五公设等价的命题。阿拉伯数学家在评注《原本》的过程中，对第五公设产生了兴趣。对于非欧几何的形成，着重介绍了德国数学家高斯、匈牙利数学家波尔约和俄国数学家罗巴切夫斯基，以及他们对非欧几何形成的贡献。总之非欧几何的起源可以追溯到人们对欧几里得平行公设的怀疑。非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。19世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新的几何学，除了上述几种非欧几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何，微分几何以及较晚出现的拓扑学等，19世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景。在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们追求的一个目标。这个统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因提出的。1872年，克莱因被聘为埃尔朗根大学的数学教授，按惯例，他要向大学评议会和哲学院作就职演讲，克莱因的演讲以《埃尔朗根纲领》著称，正是在这个演讲中，克莱因基于自己早些时候的工作以及挪威数学家李在群论方面的工作，阐述了几何学统一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。论述了变换群在几何中的主导作用，把到当时为止所发现的所有几何统一在变换群论观点之下，明确地给出了几何的一个新定义，把几何定义为一个变换群之下的不变性质。埃尔朗根纲领的提出，正意味着对几何认识的深化。它把所有几何化为统一的形式，使人们明确了古典几何所研究的对象；同时显示出如何建立抽象空间所对应几何的方法，对以后几何的发展起了指导性的作用，故有深远的意义。这样一来，不仅19世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且几何学的一种分类也可以对应一种变换群的分类。
最后以微分几何和拓扑学为例，简单介绍几何学近现代的发展历史。
2.2 从几何学的研究方法认识几何
对于同一个几何对象，人们在认识时，会有不同的视角，在研究时，会有不同的方法。例如通过公理化方法的研究有欧氏几何、非欧几何等，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何、仿射几何、微分几何以及较晚出现的拓扑学等；对于代数的方法研究几何就产生了解析几何、代数几何等；而数学分析的微分方法对几何进行研究产生了微分几何；数学分析的积分方法对几何进行研究产生的积分几何。在几何学概论这本教材中，对于几何的研究方法来说，我们着重讲述了仿射几何和射影几何的伦理体系和框架。
2.3 从大学几何与中学几何的关系指导几何课程的教学
该教材除了讲解几何学的理论知识、结构体系外，还有一个很大的作用是它必须为我们高等师范院校数学教育专业的培养教师这一历史使命和重任服务，所以我们从大学几何与中学几何的关系入手，结合大学几何的思想方法在中学几何的应用来编写其中的一部分内容。
3. 几何学概论教材的结构
几何学概论一书共分为三个部分，其中第一部分主要使学生了解几何学发展简史和非欧几何的几种经典模型；第二部分着重讲解欧氏几何与二次曲线的度量性质及分类，使学生理解和掌握仿射几何和射影几何的基本内容以及二次曲线的性质与分类；第三部分则简单介绍“大学几何” 对“中学几何”的指导意义以及“大学几何”方法在“中学几何”中的应用，让读者通过本部份的学习为中学几何教学更好的服务。几何学概论教材的具体内容见表3。
“数学来源于生活，同时数学又服务于生活”，作为数学中的重要课程——几何课，对我们的学习和生活都十分重要，我们希望该教材能达到我们的预期目的，能对高师学生的培养有一个较为有价值的指导意义和作用，对中学数学教师也有一定的参考价值。
在此，我们特别感谢贵州师范大学数学与计算机科学学院的全国高校教学名师项昭教授对我们指导和提出的宝贵意见和建议，感谢贵州师范大学数学与计算机科学学院院长游泰杰教授的关心、支持、帮助和指导。此书已于2011年4月在清华大学出版社出版，且在贵州省高师院校中使用。
参考文献：
[1] 张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2004年10月
[2] 马忠林.数学教育史[M].广西教育出版社，2001年4月
基金项目：凸体的内蕴体积与混合体积及其几何不等式的研究（黔科合J字LKS[2011]16号）；
基于RS与GIS的“西江千户苗寨”旅游生态环境质量评价（贵州省民委、贵州师范大学民族地理研究专项资金民地科[2013]06号）共同资助
作者简介：罗淼（1975-），男，副教授，博士生，研究方向：积分几何与凸几何分析。
关键词：几何；中学几何；大学几何；课程改革
随着中学课程改革进程的不断深入，培养准教师的高师教育改革被推到了非改不可的境地。高师数学课程改革中，几何课程内容与教学的改革又是历来数学教育改革的热点及争议较大的问题。我们顺应这个潮流，结合我院教育部特色专业项目——数学与应用数学的课程建设，进行了高师数学教育专业几何课程改革的尝试。
1 几何课程变革
1.1中学几何课程变革
欧氏几何在数学教学中的作用与地位究竟是什么？长期以来这是一个有争议的问题。特别是本世纪五十年代以后，国内外对中学几何课程改革曾经出现过大起大落的阶段。因此，现在来回顾总结以往的历史经验，总结对中学几何教育的研究成果是很有必要的。这样不仅可以避免在今后的教学上不再重复那些已经证明为不成功的经验，同时也可以确定哪些是经受过实践考验的成功经验，我们可以从中获得教益；并且对那些尚未明确的有关问题，也希望能对今后的研究提供一些有用的信息，以便确定可能采取的措施。这将会对今后二十一世纪的几何课程改革打下一个坚实的基础。
数学课程中的几何内容，历来是数学教育改革运动争议的焦点。尤其是初中阶段的平面几何更是备受关注。然而，我国几何课程的教学，虽然曾经受到“新数学”运动的影响，但是无论在质还是在量的方面却仍然保持了它的重要地位（见下表所示）：
1.2大学几何课程变革
高等师范院校数学教育专业开设的重要基础课程之中，几何课程主要有“解析几何”、“微分几何”、“高等几何”等。大多数学校“高等几何”课本是以“射影几何”为主要内容，并由
仿射几何作为过渡，也有少数简单介绍了“几何基础”的内容。但也有学校只有“解析几何”是必修课程，“微分几何”、“高等几何”均作为选修。这主要是由于新课程的增加（如：信息类、思想教育类、新的实用类等）与总课程的压缩，使传统几何课程的教学学时不得不大大缩减，但另一方面，中学数学对几何内容的要求并没有降低。由此可以看出高师数学教
育的课程设置已经滞后于中学数学教育。有许多学校的“解析几何”课程曾经单独开设，后来又与高等代数合并成为高等代数与解析几何课程，由两个教师穿插进行教学，或是由一个教师单独承担教学，但是由于各个教师的专业偏向不一，偏向于代数的教师教学过程中难免偏重于代数抽象性而忽视几何的直观性，而对于专业偏向于几何的教师则往往偏重几何的直观性而忽略代数的抽象性，这样就没有达到当时两门课程合并成为一门课程的真正目的。所以经过一段时间以后大多数学校又把它们单独分开成为“高等代数”和“解析几何”两门课程。而“微分几何”课在高等师范院校数学教育专业有作为必修课程开设的，也有作为选修课程开设的，甚至还有不开设的。为了适应中学课程对几何内容的需求和大学几何课程教学学时的减少的实际情况，我校在2006年就尝试将几何课程进行改革，开设了“几何学概论”课程，并在教学过程中不断地改革和优化教学内容，由于一直没有合适的配套教材，本学院特为此编写了“几何学概论”一书。
2.《几何学概论》的编写思路
2.1 从几何学的发展历史了解几何
结合历史以及相关历史人物简介，介绍几何学的发展。首先考虑介绍最早的几何，即约公元前300年的古希腊数学家的欧几里得的几何《原本》。欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了几何《原本》之外，欧几里得还有不少著作，比如《已知数》、《图形的分割》和《光学》，只是可惜大都失传。其中《已知数》是除《原本》之外唯一保存下来的希腊文纯粹几何著作，体例和几何《原本》前6卷相近，包括94个命题，指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定；《图形的分割》现存拉丁文本和阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分；《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。古希腊数学家欧几里得把至希腊时代为止所得到的数学知识集其大成，编成十三卷的《原本》，这就是直到今天仍广泛地作为几何学的教科书使用下来的欧几里得几何学（简称欧氏几何）。对于几何《原本》，不但应该介绍它的优点，还需讲解它的缺点，同时还必须介绍几何《原本》对我国数学的影响，让大家对几何《原本》有一个比较全面客观的认识。
法国数学家笛卡儿和费马在创立的《解析几何》，是几何学的研究方法的一个重大突破，近代数学本质上可以说是变量数学。文艺复兴以来资本主义生产力的发展，对科学技术提出了全新的要求。到了16世纪，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题。这就迫切需要一种新的数学工具，从而导致了变量数学亦即近代数学的诞生。笛卡儿在1637年发表了著名的哲学著作《方法论》，该书有三个附录：《几何学》、《屈光学》和《气象学》，解析几何的发明包含在《几何学》这篇附录中。笛卡儿的出发点是一个著名的希腊数学问题——帕波斯问题。与笛卡儿不同，费马工作的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥斯的著作《论平面轨迹》，他为此而写了一本题为《论平面和立体的轨迹引论》（1629）的书。除此之外解析几何产生的重要性也是应该着重介绍的。
在几何的发展历史过程中，古希腊数学家的工作，已略见射影几何的端倪。阿波罗尼奥斯已经知道完全四边形的调和性。巴布什的著作中已有了对合概念，著名的巴布什定理就是他的研究成果。梅因劳斯定理无论在初等几何、解析几何还是射影几何中都是著名的定理。16世纪欧洲数学家中很多人关心阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》第8卷的恢复与整理，圆锥曲线在天文学上的应用，促使人们需要重新审视希腊人的圆锥曲线，以及其它高等曲线。《光学本》是希腊人的兴趣之一，也是由于天文观测的需要，它又日益成为文艺复兴时期的一个重要课题。不过文艺复兴时期给人印象最深的几何创造其动力却来自于艺术。 从古希腊时代到公元1800年间，数学家们虽然一直坚信欧氏几何的完美与正确，但是欧氏几何的所有公设中，唯独平行公设显得比较特殊。它的叙述不像其它公设那样简洁、明了，当时就有人怀疑它不像一个公设而更像是一个定理，于是许多数学家都尝试根据欧几里得的其它公理去证明欧几里得平行公理，结果都归失败。就连欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫，并竭力推迟它的使用，在《原本》中一直到第1卷命题29才不得不利用它。历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫做出的，后来普洛克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线平行于该直线，这个与第五公设等价的命题。阿拉伯数学家在评注《原本》的过程中，对第五公设产生了兴趣。对于非欧几何的形成，着重介绍了德国数学家高斯、匈牙利数学家波尔约和俄国数学家罗巴切夫斯基，以及他们对非欧几何形成的贡献。总之非欧几何的起源可以追溯到人们对欧几里得平行公设的怀疑。非欧几何的出现打破了长期以来只有一种几何学即欧几里得几何学的局面。19世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公设、公理，产生了各种新的几何学，除了上述几种非欧几何外，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何，微分几何以及较晚出现的拓扑学等，19世纪的几何学展现了无限广阔的发展前景。在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们追求的一个目标。这个统一几何学的第一个大胆计划是由德国数学家克莱因提出的。1872年，克莱因被聘为埃尔朗根大学的数学教授，按惯例，他要向大学评议会和哲学院作就职演讲，克莱因的演讲以《埃尔朗根纲领》著称，正是在这个演讲中，克莱因基于自己早些时候的工作以及挪威数学家李在群论方面的工作，阐述了几何学统一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对于某类变换群保持不变的性质的学问，或者说任何一种几何学只是研究与特定的变换群有关的不变量。论述了变换群在几何中的主导作用，把到当时为止所发现的所有几何统一在变换群论观点之下，明确地给出了几何的一个新定义，把几何定义为一个变换群之下的不变性质。埃尔朗根纲领的提出，正意味着对几何认识的深化。它把所有几何化为统一的形式，使人们明确了古典几何所研究的对象；同时显示出如何建立抽象空间所对应几何的方法，对以后几何的发展起了指导性的作用，故有深远的意义。这样一来，不仅19世纪涌现的几种重要的、表面上互不相干的几何学被联系到一起，而且几何学的一种分类也可以对应一种变换群的分类。
最后以微分几何和拓扑学为例，简单介绍几何学近现代的发展历史。
2.2 从几何学的研究方法认识几何
对于同一个几何对象，人们在认识时，会有不同的视角，在研究时，会有不同的方法。例如通过公理化方法的研究有欧氏几何、非欧几何等，还有如非阿基米德几何、非德沙格几何、非黎曼几何、有限几何等等，加上与非欧几何并行发展的高维几何、射影几何、仿射几何、微分几何以及较晚出现的拓扑学等；对于代数的方法研究几何就产生了解析几何、代数几何等；而数学分析的微分方法对几何进行研究产生了微分几何；数学分析的积分方法对几何进行研究产生的积分几何。在几何学概论这本教材中，对于几何的研究方法来说，我们着重讲述了仿射几何和射影几何的伦理体系和框架。
2.3 从大学几何与中学几何的关系指导几何课程的教学
该教材除了讲解几何学的理论知识、结构体系外，还有一个很大的作用是它必须为我们高等师范院校数学教育专业的培养教师这一历史使命和重任服务，所以我们从大学几何与中学几何的关系入手，结合大学几何的思想方法在中学几何的应用来编写其中的一部分内容。
3. 几何学概论教材的结构
几何学概论一书共分为三个部分，其中第一部分主要使学生了解几何学发展简史和非欧几何的几种经典模型；第二部分着重讲解欧氏几何与二次曲线的度量性质及分类，使学生理解和掌握仿射几何和射影几何的基本内容以及二次曲线的性质与分类；第三部分则简单介绍“大学几何” 对“中学几何”的指导意义以及“大学几何”方法在“中学几何”中的应用，让读者通过本部份的学习为中学几何教学更好的服务。几何学概论教材的具体内容见表3。
“数学来源于生活，同时数学又服务于生活”，作为数学中的重要课程——几何课，对我们的学习和生活都十分重要，我们希望该教材能达到我们的预期目的，能对高师学生的培养有一个较为有价值的指导意义和作用，对中学数学教师也有一定的参考价值。
在此，我们特别感谢贵州师范大学数学与计算机科学学院的全国高校教学名师项昭教授对我们指导和提出的宝贵意见和建议，感谢贵州师范大学数学与计算机科学学院院长游泰杰教授的关心、支持、帮助和指导。此书已于2011年4月在清华大学出版社出版，且在贵州省高师院校中使用。
参考文献：
[1] 张奠宙，宋乃庆.数学教育概论[M].北京：高等教育出版社，2004年10月
[2] 马忠林.数学教育史[M].广西教育出版社，2001年4月
基金项目：凸体的内蕴体积与混合体积及其几何不等式的研究（黔科合J字LKS[2011]16号）；
基于RS与GIS的“西江千户苗寨”旅游生态环境质量评价（贵州省民委、贵州师范大学民族地理研究专项资金民地科[2013]06号）共同资助
作者简介：罗淼（1975-），男，副教授，博士生，研究方向：积分几何与凸几何分析。