【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）01-0036-02
　　数学思想方法是数学的精髓，函数与方程的思想方法是高中数学重要思想方法之一，是历年高考重要考察的一个方面，本文想从两方面来阐释函数与方程的思想方法，一方面利用函数的思想来解决一些方程问题，另一方面利用方程的思想来解决函数问题。
　　函数思想，就是用运动、变化的观点，分析研究问题中的数量关系，通过建立函数关系、构造函数，并加以分析研究，从而使问题获得解决。
　　方程思想，是问题的数量关系入手，先设定一些未知数，然后将之看成已知数，根据题设本身与总量之间的等量关系，列出等式，然后解之或用方程性质分析、转化问题来解决。
　　函数与方程虽是两个不同的概念，但它们有着密切的联系，一个函数若有解析表达式就可以看成是方程，一个一元方程，它的两端可以分别看成函数。因此解题时，函数思想和方程思想可以相互转化，从而达到快速解题。
　　一、用函数的思想解决方程问题
　　例1 已知=1，（a、b、c∈R），则有（ ）
　　A. b2>4ac B. b2≥4ac C.b2<4ac D.b2 ≤4ac
　　解析法一：依题设有a·5-b·+c=0
　　∴是实系数一元二次方程ax2+bx+c=0的一个实根；
　　∴△=b2-4ac≥0 ∴b2≥4ac （故选B）
　　方法二：去分母，移项，两边平方得：
　　∴b2≥4ac （故选B）
　　点评：解法一通过简单转化，敏锐地抓住了数与式的特点，运用方程的思想使问题得到解决；
　　解法二转化为b2是a、c的函数，运用重要不等式，思路清晰，水到渠成。
　　例2 关于x的方程2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有根求a的取值范围。
　　精析：构造函数f（x）=2ax2+2x-3-a，当a=0时，方程2x-3=0的根x=∈[-1，1]
　　当a≠0时，分两种情况。
　　①函数在区间[-1，1]上只有一个零点，此时
　　△=4-8a（-3-a）≥0f（-1）f（1）=（a-5）（a-1）≤0 或△=4-8a（-3-a）=0-1≤-≤1
　　解得或1≤a≤5或a=
　　②函数在区间[-1，1]上有两个零点，此时
　　△+8a2+24a+4>0-1<-<1af（1）≥0af（-1）≥0
　　解得a≥5或a<
　　综上所述a的范围为a≥1或a≤
　　这是一个方程根分布的问题，通过构造函数，分析函数图象，利用函数来解决方程问题，体现了函数的思想。
　　二、用方程的思想解决函数问题
　　例3 求函数y=的值域
　　精析：由y=得（y-1）x2+（1-y）x+y=0
　　当y=1时，方程无解∴y≠1
　　又x∈R，则△=（1-y）2-4y（y-1）≥0
　　解得-≤y≤1.所以函数y=的值域为y -≤y<1
　　这本是一个求函数值域的问题，把它转化成关于的二次方程来解决，利用方程的性质或解方程来解决函数问题，这就是方程的思想的一个重要方面。
　　变式：求y=的值域。
　　答案：[1，5]
　　例4 已知2f（x）-f（-x）=1g（x+1）求f（1）的解析式
　　精析：f（-x）化为f（x）于是2f（x）-f（-x）=1g（x+1） 2f（-x）-f（x）=1g（1-x）
　　两式消去f（-x）得f（x）=1g（x+1）+1g（1-x）（f　　这是一个函数问题，把f（x），f（-x）看成方程的未知量，构造方程组，利用解方程来解决函数问题。
　　变式：f（x）+2f（）=x，求f（x）的解析式。
　　答案：用替换x得另一个方程解得f（x）=（-x）。