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“吾日三省吾身”虽是一条古训，但它永远不会过时，含义是人每天都必须对自己的言语、行为进行反思回顾，不断地修正错误，以求得各方面素质、修养的提高，取得稳步的进步.这种反思回顾体现在数学中就是数学思维的批判性.批判性是数学思维优良品质的一个重要特性，其内涵是能自觉地进行自我反省，对自己的思维和行为作出评价、判断和监控，并可预见到可能出现的各种结果；能从问题的正、反两方面进行思考，既有成功的思想准备，也有失败再重来的思想意识；能及时判断解题方法的优劣，调整改善解题的思路，以求得优美的解法；善于总结自己成功和失败的经验，并用来指导未来的实践.
中学生由于年青幼稚、生活阅历的欠缺、思维水平的局限、认知能力的肤浅、判断概括能力的片面、自我控制能力的薄弱，在数学学习和解题活动中产生各种各样的失误是极其正常的，问题是教师要清醒地认识到在整个数学教学过程中，既要时时树立“正面的形象”，也要充分利用“反面的典型”，双管齐下，才能不断地优化学生思维的批判性，以至从根本上发展他们的思维水平，提高分析问题与解决问题的能力.
1 质疑辨析 增强学生的批判意识
思维的批判不仅要对自己，也应该对他人，不迷信权威，不轻信课本，波利亚说过：对于书本上的定理我们不应该一开始就去记住它、运用它，而是要怀疑它，试图从反面去否定它，这样做虽然有时是徒劳的，但并非是无益的.因为这样做的结果，能使我们真正深刻理解它，并由此得到许多意想不到的收获，远比直接运用它有益得多. 若没有批判性，数学是不会取得进展的，这样的例子很多，如罗巴切夫斯基否定了欧氏第一公设，创立了非欧几何；古希腊数学家修伯修斯在研究正方形的过程中发现：若正方形的边长为1，则其对角线的长既不是整数，也不是分数，而是一个人们当时还未认识的新数，于是推翻了他老师毕达哥拉斯的论断“世界上只有整数和分数”. 毕达哥拉斯恼羞成怒，竟残暴地将坚持真理的修伯修斯扔进了大海.
在《抛物线的概念和标准方程》的教学中，教者先让学生解下列两题：
(1) 求到点A(0，1)与定直线x=0距离相等的点P的轨迹方程；
(2) 求到点A(1，0)与定直线x=-1距离相等的点P的轨迹方程.
当解得(1)中的轨迹方程为y=1，(2)中的轨迹方程为y2=4x后，学生发现课本中抛物线的定义有毛病，而应该修正为“在平面内，到一个定点与一条定直线(定点在定直线外)距离相等的动点的轨迹叫做抛物线”，由此还联想到椭圆、双曲线的定义也应该作相应的修正.当今，各种课外读物、教辅资料浩如烟海，其中不乏精品，但良莠不齐、鱼龙混杂，也有不少错误百出的次品，若没有批判意识，将后患无穷，从这里也可见培养学生批判意识的重要性.
2 构陷尝误 提高学生的自我批判能力
俗话说：“不吃一堑，不长一智”，为了克服学生的知识“盲点”，帮助学生走出认知的“误区”，教者必须在数学问题中精心设计“陷阱”，让学生充分品尝“堑”带给他们的苦头，才能在吃亏上当后感到“痛心疾首”，在“尝误”后会更有效地提高辨析和批判能力，提高“免疫力”，今天的“错”就避免了明天的“错”.特别地，学生的一些“常见病”、“多发病”更是令师生大感“头疼”的事，教者应带领学生“向顽症宣战”，以坚韧不拔的意志对思维的惰性、认知的肤浅以及“玩忽职守”的草率态度展开“不屈不挠的斗争”，不获全胜，决不“收兵”！.
问题一经提出，教者通过巡视发现大多数同学给出下列答案：
所以，ac+bd的最大值为m2+n22.
这时教者并没有急于指出这一答案是错误的，而是进行下面教学过程.
T：还有什么解法吗？
所以ac+bd的最大值为mn.
T：好奇怪？上述两种解法与第一种解法的结果不一样，哪一个是正确的？
此时学生积极思考和讨论交流，对上面三种解题过程进行剖析和诊断，最后达成一致意见，第一种解法是错误的，并找到产生错误的原因：在解答过程中，两次运用了基本不等式，忽视了等号同时成立的条件.事实上，ac≤a2+c22，当且仅当a=c时等号成立；而bd≤b2+d22，当且仅当b=d时等号成立.由a2+b2=m2,c2+d2=n2得 m=n，显然这与题设m≠n矛盾.所以上面两个等号不能同时成立.
问题到此还没有结束，教者趁热打铁又给出下面两道题目让学生练习.
（1）已知a，b为不相等正常数，x，y为正数，且满足ax+by=1，求x+y的最小值．
（2）求函数y=x2+3x2+2的最小值.
吃一堑，长一智，学生吸取了上一题的教训，对这两题大部分同学都能冷静思考，他们带着批判的意识，排除了习惯性臆想，自我评价解题思路和方法，调整错误的思维结构，很快得出了正确结果.
通过尝误，辩误，纠误的过程，使学生深化了运用基本不等式解决问题的条件，完善了认知结构，同时提高了自我批判能力.
3 构造反例 在批判中发展学生的创造能力
欲推翻一个结论，特别是在解选择题时，有时要排除某个选项，最好的方法就是构造反例，推翻结论、构造反例是发展批判与创造能力的大好时机，教者在日常教学中要密切关注这项工程的实施.
例2 四个面是全等三角形的三棱锥()．
（A） 一定是正棱锥（B） 一定是正四面体
（C）不一定是正棱锥 （D）一定不是正棱锥
若“玩忽职守”，学生很容易选(A)，但养成批判思维良好习惯的学生在深思，能否构造出一个符合题设条件的三棱锥，而它不是正棱锥呢？经过探索，他们竟然获得了成功！如图1，ABC与DBC是全等的两个等腰三角形，以BC为轴适当转动△ABC，使AD=BC，则此三棱锥的四个面就都是全等的三角形，而它却不是正棱锥.
图1图2例3 函数f(x)的定义域关于原点对称，且对于定义域中的任一x的值都有|f(x)|=
|f(-x)|，则()．
（A） f(x)是奇函数
（B） f(x)不可能是既非奇函数又非偶函数
（C） f(x)是偶函数
（D） f(x)可能是既非奇函数又非偶函数
对于这道富有挑战性的问题，有些学生轻易地选了（C），但许多学生不同意，凭直觉认为应选（D），但一时又举不出具有说服力的反例.让他们调动智慧与知识贮存，通过尝试探寻，终于找到令人叫绝的反例：f(x)
x (1≤x＜0或0＜x≤2),，函数的图像如图2所示，该函数完全满足题设条件，但它确实既不是奇函数，又不是偶函数，故应选（D）.
4 检验回顾，在批判中发展学生的思维缜密性
解数学题要不要检验？对这个问题要作具体分析，当结论明显地符合或不符题意时，可直接作出判断.但在有些时候，却要审慎地对待获得的结果，不能轻率地下结论.
图3例4 如图3，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，直角边AB=AC=2，侧棱与底面成60°角，BC1⊥AC，BC1=26，求BC1与底面ABC所成的角.
学生这样解答：作C1H⊥AB于H，连CH、AC1.由AB⊥AC，BC1⊥AC得AC⊥面ABC1，则面ABC⊥面ABC1，C1H⊥面ABC，∠C1BH为所求.
设AH=x，则BH=2-x，在△BHC中，由余弦定理得CH2=x2+4.又在Rt△BC1H中，C1H=24－(2－x)2=20+4x－x2.又侧棱与底面成60°角，所以侧棱与底面所成的角∠C1CH=60°，那么在Rt△C1CH中，tan∠C1CH=C1HCH=20+4x－x2x2+4=3.解得x=2，或x=-1.两根一正一负，如何取舍？思维的批判能力有了用武之地.按“习惯势力”，好像应“舍负留正”.但当x=2时，H与B重合，怎么理解？仔细辨析一下，当x=2时，H与B重合，这时BC1⊥面ABC，所求角为90°，完全符合题意！能舍去x=-1吗？事实上，当x=-1时，点H在BA的延长线上，也符合题意！此时BH=3，C1H=15，tan∠C1BH=C1HBH=153，所求角为arctan153.
这个辨析、精思、检验的过程大大丰富了学生解题活动的阅历，留下的深刻印象也为今后的解题提供了一个可资借鉴的典型模本.
5 自我不满，探寻更加简捷流畅的解法
实战中绝妙优美的解法从何而来？依靠的当然是扎实的知识基础、熟练的技能技巧、机智灵活的思维与丰富的求优致简的经验，这些都是平时总结积累的结果.平时应该对自己的成功解法持批判的态度，总要扪心自问，能否进一步改善原有的思路？有没有更好的解法？要有一种“解法不优誓不休”的气魄和决心，那么在实战中就能得到自然的发挥，漂亮简捷的思路就会来到心头笔下.
图4例5 半径为1的圆的圆心C在抛物线y2=4x上，圆C与直线y=x交于P、Q两点，若PC⊥QC，求圆C的方程.
如图4，因为 PC⊥QC，P、Q在直线y=x上，所以 △PCQ是等腰直角三角形，则可设出P、C、Q三点的坐标与圆的方程，但是必须考虑三种不同的位置，稍有不慎，则会造成难以挽回的失误.但即使想到有三种情况，
繁冗的计算也会使人感到疲惫不堪，甚至丧失斗志.怎么办？难道不存在一种使自己满意的解法吗？不甘心就此罢休！站高些，看远些，想深些，思活些，忽然灵感来了，在三种情况下不是都有“C到直线y=x的距离是22”这个本质特征吗？一个巧妙的点子油然而生，于是设C(4t2，4t)，则|4t2－4t|2=22，解得t=12，或t=1±22.
当t=12时，得C(1，2)，所求圆为(x－1)2+(y－2)2=1.
当t=1±22时，得C(3±22,2±22)，所求圆为(x－3±22)2+(y－2±22)2=1.
若陶醉于已经获得的成功解答，故步自封、不思进取，就享受不到更高层次的美感和快感，是批判精神使我们的思维水平和能力更上一层楼.
在培养批判性的同时，也时时涉及到了思维的其他优良特性，如缜密性、敏捷性、深刻性、广阔性和创造性，真是一举多得，何乐而不为呢！
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
中学生由于年青幼稚、生活阅历的欠缺、思维水平的局限、认知能力的肤浅、判断概括能力的片面、自我控制能力的薄弱，在数学学习和解题活动中产生各种各样的失误是极其正常的，问题是教师要清醒地认识到在整个数学教学过程中，既要时时树立“正面的形象”，也要充分利用“反面的典型”，双管齐下，才能不断地优化学生思维的批判性，以至从根本上发展他们的思维水平，提高分析问题与解决问题的能力.
1 质疑辨析 增强学生的批判意识
思维的批判不仅要对自己，也应该对他人，不迷信权威，不轻信课本，波利亚说过：对于书本上的定理我们不应该一开始就去记住它、运用它，而是要怀疑它，试图从反面去否定它，这样做虽然有时是徒劳的，但并非是无益的.因为这样做的结果，能使我们真正深刻理解它，并由此得到许多意想不到的收获，远比直接运用它有益得多. 若没有批判性，数学是不会取得进展的，这样的例子很多，如罗巴切夫斯基否定了欧氏第一公设，创立了非欧几何；古希腊数学家修伯修斯在研究正方形的过程中发现：若正方形的边长为1，则其对角线的长既不是整数，也不是分数，而是一个人们当时还未认识的新数，于是推翻了他老师毕达哥拉斯的论断“世界上只有整数和分数”. 毕达哥拉斯恼羞成怒，竟残暴地将坚持真理的修伯修斯扔进了大海.
在《抛物线的概念和标准方程》的教学中，教者先让学生解下列两题：
(1) 求到点A(0，1)与定直线x=0距离相等的点P的轨迹方程；
(2) 求到点A(1，0)与定直线x=-1距离相等的点P的轨迹方程.
当解得(1)中的轨迹方程为y=1，(2)中的轨迹方程为y2=4x后，学生发现课本中抛物线的定义有毛病，而应该修正为“在平面内，到一个定点与一条定直线(定点在定直线外)距离相等的动点的轨迹叫做抛物线”，由此还联想到椭圆、双曲线的定义也应该作相应的修正.当今，各种课外读物、教辅资料浩如烟海，其中不乏精品，但良莠不齐、鱼龙混杂，也有不少错误百出的次品，若没有批判意识，将后患无穷，从这里也可见培养学生批判意识的重要性.
2 构陷尝误 提高学生的自我批判能力
俗话说：“不吃一堑，不长一智”，为了克服学生的知识“盲点”，帮助学生走出认知的“误区”，教者必须在数学问题中精心设计“陷阱”，让学生充分品尝“堑”带给他们的苦头，才能在吃亏上当后感到“痛心疾首”，在“尝误”后会更有效地提高辨析和批判能力，提高“免疫力”，今天的“错”就避免了明天的“错”.特别地，学生的一些“常见病”、“多发病”更是令师生大感“头疼”的事，教者应带领学生“向顽症宣战”，以坚韧不拔的意志对思维的惰性、认知的肤浅以及“玩忽职守”的草率态度展开“不屈不挠的斗争”，不获全胜，决不“收兵”！.
问题一经提出，教者通过巡视发现大多数同学给出下列答案：
所以，ac+bd的最大值为m2+n22.
这时教者并没有急于指出这一答案是错误的，而是进行下面教学过程.
T：还有什么解法吗？
所以ac+bd的最大值为mn.
T：好奇怪？上述两种解法与第一种解法的结果不一样，哪一个是正确的？
此时学生积极思考和讨论交流，对上面三种解题过程进行剖析和诊断，最后达成一致意见，第一种解法是错误的，并找到产生错误的原因：在解答过程中，两次运用了基本不等式，忽视了等号同时成立的条件.事实上，ac≤a2+c22，当且仅当a=c时等号成立；而bd≤b2+d22，当且仅当b=d时等号成立.由a2+b2=m2,c2+d2=n2得 m=n，显然这与题设m≠n矛盾.所以上面两个等号不能同时成立.
问题到此还没有结束，教者趁热打铁又给出下面两道题目让学生练习.
（1）已知a，b为不相等正常数，x，y为正数，且满足ax+by=1，求x+y的最小值．
（2）求函数y=x2+3x2+2的最小值.
吃一堑，长一智，学生吸取了上一题的教训，对这两题大部分同学都能冷静思考，他们带着批判的意识，排除了习惯性臆想，自我评价解题思路和方法，调整错误的思维结构，很快得出了正确结果.
通过尝误，辩误，纠误的过程，使学生深化了运用基本不等式解决问题的条件，完善了认知结构，同时提高了自我批判能力.
3 构造反例 在批判中发展学生的创造能力
欲推翻一个结论，特别是在解选择题时，有时要排除某个选项，最好的方法就是构造反例，推翻结论、构造反例是发展批判与创造能力的大好时机，教者在日常教学中要密切关注这项工程的实施.
例2 四个面是全等三角形的三棱锥()．
（A） 一定是正棱锥（B） 一定是正四面体
（C）不一定是正棱锥 （D）一定不是正棱锥
若“玩忽职守”，学生很容易选(A)，但养成批判思维良好习惯的学生在深思，能否构造出一个符合题设条件的三棱锥，而它不是正棱锥呢？经过探索，他们竟然获得了成功！如图1，ABC与DBC是全等的两个等腰三角形，以BC为轴适当转动△ABC，使AD=BC，则此三棱锥的四个面就都是全等的三角形，而它却不是正棱锥.
图1图2例3 函数f(x)的定义域关于原点对称，且对于定义域中的任一x的值都有|f(x)|=
|f(-x)|，则()．
（A） f(x)是奇函数
（B） f(x)不可能是既非奇函数又非偶函数
（C） f(x)是偶函数
（D） f(x)可能是既非奇函数又非偶函数
对于这道富有挑战性的问题，有些学生轻易地选了（C），但许多学生不同意，凭直觉认为应选（D），但一时又举不出具有说服力的反例.让他们调动智慧与知识贮存，通过尝试探寻，终于找到令人叫绝的反例：f(x)
x (1≤x＜0或0＜x≤2),，函数的图像如图2所示，该函数完全满足题设条件，但它确实既不是奇函数，又不是偶函数，故应选（D）.
4 检验回顾，在批判中发展学生的思维缜密性
解数学题要不要检验？对这个问题要作具体分析，当结论明显地符合或不符题意时，可直接作出判断.但在有些时候，却要审慎地对待获得的结果，不能轻率地下结论.
图3例4 如图3，斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是等腰直角三角形，直角边AB=AC=2，侧棱与底面成60°角，BC1⊥AC，BC1=26，求BC1与底面ABC所成的角.
学生这样解答：作C1H⊥AB于H，连CH、AC1.由AB⊥AC，BC1⊥AC得AC⊥面ABC1，则面ABC⊥面ABC1，C1H⊥面ABC，∠C1BH为所求.
设AH=x，则BH=2-x，在△BHC中，由余弦定理得CH2=x2+4.又在Rt△BC1H中，C1H=24－(2－x)2=20+4x－x2.又侧棱与底面成60°角，所以侧棱与底面所成的角∠C1CH=60°，那么在Rt△C1CH中，tan∠C1CH=C1HCH=20+4x－x2x2+4=3.解得x=2，或x=-1.两根一正一负，如何取舍？思维的批判能力有了用武之地.按“习惯势力”，好像应“舍负留正”.但当x=2时，H与B重合，怎么理解？仔细辨析一下，当x=2时，H与B重合，这时BC1⊥面ABC，所求角为90°，完全符合题意！能舍去x=-1吗？事实上，当x=-1时，点H在BA的延长线上，也符合题意！此时BH=3，C1H=15，tan∠C1BH=C1HBH=153，所求角为arctan153.
这个辨析、精思、检验的过程大大丰富了学生解题活动的阅历，留下的深刻印象也为今后的解题提供了一个可资借鉴的典型模本.
5 自我不满，探寻更加简捷流畅的解法
实战中绝妙优美的解法从何而来？依靠的当然是扎实的知识基础、熟练的技能技巧、机智灵活的思维与丰富的求优致简的经验，这些都是平时总结积累的结果.平时应该对自己的成功解法持批判的态度，总要扪心自问，能否进一步改善原有的思路？有没有更好的解法？要有一种“解法不优誓不休”的气魄和决心，那么在实战中就能得到自然的发挥，漂亮简捷的思路就会来到心头笔下.
图4例5 半径为1的圆的圆心C在抛物线y2=4x上，圆C与直线y=x交于P、Q两点，若PC⊥QC，求圆C的方程.
如图4，因为 PC⊥QC，P、Q在直线y=x上，所以 △PCQ是等腰直角三角形，则可设出P、C、Q三点的坐标与圆的方程，但是必须考虑三种不同的位置，稍有不慎，则会造成难以挽回的失误.但即使想到有三种情况，
繁冗的计算也会使人感到疲惫不堪，甚至丧失斗志.怎么办？难道不存在一种使自己满意的解法吗？不甘心就此罢休！站高些，看远些，想深些，思活些，忽然灵感来了，在三种情况下不是都有“C到直线y=x的距离是22”这个本质特征吗？一个巧妙的点子油然而生，于是设C(4t2，4t)，则|4t2－4t|2=22，解得t=12，或t=1±22.
当t=12时，得C(1，2)，所求圆为(x－1)2+(y－2)2=1.
当t=1±22时，得C(3±22,2±22)，所求圆为(x－3±22)2+(y－2±22)2=1.
若陶醉于已经获得的成功解答，故步自封、不思进取，就享受不到更高层次的美感和快感，是批判精神使我们的思维水平和能力更上一层楼.
在培养批判性的同时，也时时涉及到了思维的其他优良特性，如缜密性、敏捷性、深刻性、广阔性和创造性，真是一举多得，何乐而不为呢！
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”