【摘要】因为一些信号如单边增长的指数信号等，则根本不存在傅里叶变换。另外，再求傅里叶反变换时，需要求从到区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，所以需要引入一些特殊函数。
　　【关键词】傅里叶变换 拉普拉斯变换 复频域
　　一、引言
　　利用傅里叶变换只能求系统函数的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用其它方法，例如经典的方法。由于傅里叶变换在工程上受到一些限制，所以现今在研究线性系统问题时引入了拉普拉斯变换。
　　二、傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义
　　傅里叶变换简单通俗的理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中主要振动频率的特点。而拉普拉斯变换是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，这种计算往往比直接在实数域中求出同样的结果简单的多。
　　三、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
　　当函数 不满足绝对可积条件时，可采取给 乘以因子 （ 为任意实常数）的办法，这样即得到一个新的时间函数 。若能根据函数 的具体性质，恰当的选取 的值，从而使当 时，函数 ，既满足条件
　　则函数 即满足绝对可积的条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子 起着使函数 收敛的作用，故称 为收敛因子。
　　设函数 满足狄里赫利条件且绝对可积（这可通过恰当的选取σ的值来达到），根据 可以得到 ，在上式中， 是以 的形式出现的。令 ，s为一复数变量，称为复频率。 的单位为 ， 的单位为 。这样上式变为 由于上式中的积分变量为t，故积分结果必为复变量s的函数，故应将 改写成 ，即
　　复变函数 称为时间函数 的单边拉普拉斯变换。 称为 的像函数， 称为 的原函数。一般记为
　　符号 为一算子，表示对括号内的时间函数 进行拉普拉斯变换。利用 （t>0）或 可推导出 反变换的公式，即 对上式等式两边同时乘以 ，并考虑到 不是 的函数而可置于积分号内。于是得 由于上式中被积函数是 ，而积分变量却是实变量 ，所以欲进行积分，必须进行变量代换。因 故 （ 因为任意实常数）故 且当 时， ；当 时， 。将以上这些式子带入 中即得 （t>0）
　　或写成 称为拉普拉斯变换，可以已知的像函数 求与之对应的原函数 。一般记为 符号 为一算子，表示对括号内的像函数 进行拉普拉斯变换。式子 与 （t>0）或 构成拉普拉斯变换对，一般记为 或
　　若 不是因果信号，则拉普拉斯变换式 的积分下限应改写为（ ），即 称为双边拉普拉斯变换。因为一般常用信号均为因果信号（即有始信号），所以我们一般主要讨论和应用单边拉普拉斯变换。由上述可知，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即 而拉普拉斯变换则是建立了信号的时域与复频域之间的关系，即
　　复频率平面是以复频率 的实部 和虚部 为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频率平面，简称s平面，如下图5-1所示。
　　复频率平面（即s平面）上有三个区域： 轴以左的区域为左半开平面； 轴以右的区域为右半开平面； 轴本身也是一个区域，它是左半开平面与右半开平面的分界轴。故将s平面划分为这样的三个区域，为以后研究提供了很大的方便。
　　四、结论
　　在线性微分方程的已知输入求输出时，若系统稳定，且输入信号的傅里叶变换存在，在零初始条件下（t<0，x（t），y（t）及各阶导数为零），两种方法求解结果相同，傅里叶变换同样可用于对瞬时过程的求解。
　　【参考文献】
　　[1]严晋强，机械工程测试技术，北京，机械工业出版社，1990
　　[2]关正毅，信号处理及信号变换，北京，清华大学出版社，1989
　　[3]郑君里，信号与系统，高等教育出版社