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求数列的通项公式是高考的重点，对形如an=ban-1+c（b，c∈R，n∈N*，bc≠0且b≠1）的一类数列，易知数列{an}既不是等差数列，也不是等比数列，但一定存在一个常数m，使数列{an+m}为等比数列。现对形如an=ban-1+c（b，c∈R，n∈N*，bc≠0且b≠1）及其引申形式通项的求法作如下的探讨，希望对大家有所启发。
基本类型an=ban-1+c（b，c∈R，n∈N*，bc≠0且b≠1）
例1 已知a1=1，an=2an-1+3（n=2，3，…），求数列{an}的通项公式。
方法一 迭代法
分析 由an=b·an-1+c，得an=b·an-1+c=b·（b·an-2+c）+c=b2·an-2+b·c+c=bn-1·a1+bn-2·c+bn-3·c+…+b2·c+b·c+c ①（n=2，3，…），于是可求an。
解 由a1=1，b=2，c=3，代入①中，
得an=2n-1·1+2n-2·3+2n-3·3+…+22·3+2·3+3=2n+1-3（n=2，3，…）。
方法二 方程组法
分析 将an=b·an-1+c与an-1=b·an-2+c相减，得an-an-1=b·（an-1-an-2），即{an-an-1}是以a2-a1为首项，q=b为公比的等比数列。故an-an-1=bn-2·（a2-a1），解方程组an-an-1=bn-2·（a2-a1）an=b·an-1+c，可求得an。
解 由a1=1，b=2，c=3，an-an-1=2n-2·（a2-a1）=4·2n-2=2n，
可得an-an-1=2n。
解方程组an-an-1=2nan=2an-1+3，
得an=2n+1-3（n=2，3，…）。
方法三 待定系数法
分析 若a1=t，an=ban-1+c（b≠1，c≠0），则an= 。
证明 设an+m=b（an-1+m），
则an+m=an-c+bm，
得m= ，
即an+ =ban-1+ 。
故an+ 是以a1+ 为首项，b为公比的等比数列。
故an+ =bn-1·a1+ ，
即an= 。
解 设an+m=2（an-1+m），
则an+m=an-3+2m，得m=3，
即an+3=2（an-1+3），
故{an+3}是以4为首项，2为公比的等比数列。
可求得an+3=2n+1，
即an=2n+1-3（n=2，3，…）。
方法四 不动点法
分析 已知函数f（x），若存在实数x0，使f（x0）=x0，则称x0为f（x）的不动点。对于an=ban-1+c，构造函数f（x）=Bx+C，解x=Bx+C，得不动点x= ，则an=Ban-1+C的两边减去 ，得an- =B·an-1- ，即an- 为等比数列，进而求an。
解 构造函数f（x）=2x+3，令x=f（x）=2x+3，得不动点x=-3，
即an+3=2（an-1+3）。
可知数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
故an+3=4·2n-1，
即an=2n+1-3（n=2，3，…）。
如果在an=ban-1+f（n）（b∈R，n∈N*，bc≠0且b≠1）中，c为n的函数或b，c为n的函数，作如下的探讨。
引申一 an=ban-1+f（n）（b∈R，n∈N*，b≠1且b≠0）
1.当数列{f（n）}是等差数列时，可设f（n）=pn+q（p，q是常数），即an=ban-1+pn+q ①，则an-（An+B）=b{an-1-[A（n-1）+B]} ②，由①②得：A= ，B= ，故{an-（An+B）}是等比数列。
例2 在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*。证明数列{an-n}是等比数列。
证明 由题设an+1=4an-3n+1 ①，
得an+1-[A（n+1）+B]=4{an-（An+B）} ②。
由①②得：A=1，B=0，
即an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N*。
又a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
2.当数列{f（n）}为等比数列时，由数列{f（n）}是等比数列，可设f（n）=pqn（pq≠0且q≠b），构造等比数列an-ABn=b（an-1-ABn-1）来求解，则A= ，B=q，故{an-A·Bn}为等比数列。
例3 在数列{an}中，a1= ，an= an-1+ · （n∈N*且n≥2），求数列{an}的通项公式。
解 由已知，得b= ，c（n）= · ，
则an-ABn= （an-1-ABn-1），
故A=-1，B= ，
an+ 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即an= - 。
引申二 an=b（n）an-1+f（n）（b∈R，n∈N*，b≠1且b≠0）
例4 已知a1=1，an= + +1+2n。求an。
解 由待定系数法，可得2n+1{an+1-[A（n+1）+B]}=an-（An+B），
则2n+1[A（n+1）+B]-（An+B）=2n+1（1+2n）-2n+1，
故A=2，B=-1。
因此{an-（2n-1）}是首项为1，公比为 的等比数列，
即an= 。
基本类型an=ban-1+c（b，c∈R，n∈N*，bc≠0且b≠1）
例1 已知a1=1，an=2an-1+3（n=2，3，…），求数列{an}的通项公式。
方法一 迭代法
分析 由an=b·an-1+c，得an=b·an-1+c=b·（b·an-2+c）+c=b2·an-2+b·c+c=bn-1·a1+bn-2·c+bn-3·c+…+b2·c+b·c+c ①（n=2，3，…），于是可求an。
解 由a1=1，b=2，c=3，代入①中，
得an=2n-1·1+2n-2·3+2n-3·3+…+22·3+2·3+3=2n+1-3（n=2，3，…）。
方法二 方程组法
分析 将an=b·an-1+c与an-1=b·an-2+c相减，得an-an-1=b·（an-1-an-2），即{an-an-1}是以a2-a1为首项，q=b为公比的等比数列。故an-an-1=bn-2·（a2-a1），解方程组an-an-1=bn-2·（a2-a1）an=b·an-1+c，可求得an。
解 由a1=1，b=2，c=3，an-an-1=2n-2·（a2-a1）=4·2n-2=2n，
可得an-an-1=2n。
解方程组an-an-1=2nan=2an-1+3，
得an=2n+1-3（n=2，3，…）。
方法三 待定系数法
分析 若a1=t，an=ban-1+c（b≠1，c≠0），则an= 。
证明 设an+m=b（an-1+m），
则an+m=an-c+bm，
得m= ，
即an+ =ban-1+ 。
故an+ 是以a1+ 为首项，b为公比的等比数列。
故an+ =bn-1·a1+ ，
即an= 。
解 设an+m=2（an-1+m），
则an+m=an-3+2m，得m=3，
即an+3=2（an-1+3），
故{an+3}是以4为首项，2为公比的等比数列。
可求得an+3=2n+1，
即an=2n+1-3（n=2，3，…）。
方法四 不动点法
分析 已知函数f（x），若存在实数x0，使f（x0）=x0，则称x0为f（x）的不动点。对于an=ban-1+c，构造函数f（x）=Bx+C，解x=Bx+C，得不动点x= ，则an=Ban-1+C的两边减去 ，得an- =B·an-1- ，即an- 为等比数列，进而求an。
解 构造函数f（x）=2x+3，令x=f（x）=2x+3，得不动点x=-3，
即an+3=2（an-1+3）。
可知数列{an+3}是首项为4，公比为2的等比数列，
故an+3=4·2n-1，
即an=2n+1-3（n=2，3，…）。
如果在an=ban-1+f（n）（b∈R，n∈N*，bc≠0且b≠1）中，c为n的函数或b，c为n的函数，作如下的探讨。
引申一 an=ban-1+f（n）（b∈R，n∈N*，b≠1且b≠0）
1.当数列{f（n）}是等差数列时，可设f（n）=pn+q（p，q是常数），即an=ban-1+pn+q ①，则an-（An+B）=b{an-1-[A（n-1）+B]} ②，由①②得：A= ，B= ，故{an-（An+B）}是等比数列。
例2 在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*。证明数列{an-n}是等比数列。
证明 由题设an+1=4an-3n+1 ①，
得an+1-[A（n+1）+B]=4{an-（An+B）} ②。
由①②得：A=1，B=0，
即an+1-（n+1）=4（an-n），n∈N*。
又a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。
2.当数列{f（n）}为等比数列时，由数列{f（n）}是等比数列，可设f（n）=pqn（pq≠0且q≠b），构造等比数列an-ABn=b（an-1-ABn-1）来求解，则A= ，B=q，故{an-A·Bn}为等比数列。
例3 在数列{an}中，a1= ，an= an-1+ · （n∈N*且n≥2），求数列{an}的通项公式。
解 由已知，得b= ，c（n）= · ，
则an-ABn= （an-1-ABn-1），
故A=-1，B= ，
an+ 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即an= - 。
引申二 an=b（n）an-1+f（n）（b∈R，n∈N*，b≠1且b≠0）
例4 已知a1=1，an= + +1+2n。求an。
解 由待定系数法，可得2n+1{an+1-[A（n+1）+B]}=an-（An+B），
则2n+1[A（n+1）+B]-（An+B）=2n+1（1+2n）-2n+1，
故A=2，B=-1。
因此{an-（2n-1）}是首项为1，公比为 的等比数列，
即an= 。