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在数学解题中，发生思维受阻，无法求求解的情况是经常发生的.此时应及时地调整思维策略，运用辩证唯物主义的“对立统一，运动变化，相互联系，相互转化”的观点重新审视题目，常会豁然开朗，寻得见解独到，具有创意的解题途径.
一、不等与相等
不等与相等既是矛盾的，又是统一的，不等的特殊情况是相等.将不等与相等联系起来，架起它们之间的桥梁，为解题打开通道.
例1设a、b、c∈R+,a3+b3+c3=24,求证a+b+c≤ 6.
分析:观察不等式取等号的条件是a=b=c=2，又由已知的立方式联想到不等式x3+y3+z3≥3xyz 便有以下解法.
证明:a3+23+23≥3×a×2×2=12a,故a≤a2+1612.
同理有b≤b3+1612,c≤c3+1612.三个同向不等式相加，有
a+b+c≤(a3+b3+c3)+3×1612=24+4812=6.
二、一般与特殊
事物的一般性与特殊性是相互联系的.一方面一般性寓于特殊性之中，并通过特殊性表示出来：另一方面，特殊性也离不开一般性，不具有一般性的特殊性是没有的.利用一般与特殊的辩证关系，可使解题思维途径沿正确的方向进行.
例2求证：当a是任意实数时，曲线C：y=x3+ax2-a恒过定点，并求出定点的坐标.
证明:曲线过定点（一般），是通过其中两条曲线的交点（特殊）来表现的.由此分别令a=0，a=1，将这两条曲线的方程联立.
y=x3,
y=x3+x2-1x=1,
y=1或x=-1,
y=-1.得到两个交点（1，1）和（-1，-1）.
将这两个点的坐标代入曲线C的方程，均适合.
所以曲线C恒过定点（1，1）和（-1，-1）.
三、未知与已知
未知与已知是相互关联的，它们的地位不是一成不变的，在一定的条件下是可以相互转化的，视已知为未知，未知为已知，有时会获得独特的解题思路.
例3解方程组xy2-2=0,
x-y-3=0.①②
解:由②有y=x-3，代入①整理得x3-6x2+9x-2=0.
令常数3=t，代入上式，化为关于t的二次方程
xt2-(2x2+1)t+(x3+1)=0.
显然x≠0,由求根公式求得t=1+x或t=x2-x+1x,即1+x=3或x2-x+1x=3.解这两个方程，得x1=2,x2,3=2±3.再分别代回②,
得x1=2,
y1=-1,x2=2+3,
y2=-1+3,x3=2-3,
y3=-1-3.
四、主元与次元
在含有两个或多个字母的问题中，常有一个字母处于主要地位（称为主元），另外一些字母处于次要地位（称为次元）.解题时从主元分析求解，有时会使思维受阻，此时可考虑变更主次元地位，常会获得意想不到的效果.
例4设a∈R,求关于x的二次方程(a2+1)x2+ax-1=0的最大实根和最小实根.
分析:若用求根公式，求得较大根和较小根的表达式，再分别求它们的最大值和最小值，十分困难.改变思维方向，以a为主元来分析求解.
解:关于a整理成x2a2+xa+(x2-1)=0.
显然x≠0,则由a∈R,知 Δ=x2-4x2(x2-1)≥0,整理成
x2(2x+5)(2x-5)≤0.解得-52≤x≤52.
所以最大实根是52,最小实根是-52.
五、运动与静止
世界上一切事物都是在不断运动变化的，运动是绝对的，静止是相对的.据此可知，数学中的定点与动点，定曲线与动曲线，已知与未知也都是相对的.运用这种动与静相互转化的观点来审视问题，常会带来方便，以至收到出奇制胜的效果.
例5如图1，等腰Rt△ABC的斜边AB长为2，当A、B分别在x轴、y轴上滑动时， 求OC长的最大值.
分析：本题若先求动点C的轨迹方程，再求OC长的最大值，十分困难.
图1图2现用动静转化观点将△ABC固定，原点O运动起来，则点O在以AB为直径的半圆上.如图2，可见当 OC过斜边AB的中点M时，|OC|最大.此时|OC|=|OM|+|MC|=2+1=3.
六、式子与图形
数学中的式子——代数式、方程式、不等式，都与函数密切相关，而函数与其图象又相互对应.这样，可得抽象的式子转化为形象直观的图形来认识掌控，从而显化问题，化难为易.
例6（2012年高考浙江卷17题）设a∈R,若x>0时，均有［(a-1)x-1］(x2-ax-1)≥0,则a=.
解:分别考虑左边两个因式的符号情况.
记f (x)=(a-1)x-1,g(x)=x2-ax-1.易见两个函数的图象都过点（0，-1）
图3又抛物线g(x)开口向上,必与x轴正半轴有一个交点(x2,0),则当x∈(0,x2)时,g(x)<0;当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0(见图3).
而要使x∈(0,+∞)时,
f (x)g(x)≥0,那么应使x∈(0,x2)时,f (x)<0;x∈(x2,+∞)时,f (x)>0.结合图3知,直线f (x)过点(x2,0).由f (x2)=0,得x2=1a-1.
再由g(1a-1)=0,化得2a2-3a=0,又由图3知a-1>0,所以取得a=32.
实际上，辩证思维的方向是多种多样的.在教学中能注意这些辩证思维的启迪、培养，是对学生进行辩证法教育，是提高数学素养的重要方式.
一、不等与相等
不等与相等既是矛盾的，又是统一的，不等的特殊情况是相等.将不等与相等联系起来，架起它们之间的桥梁，为解题打开通道.
例1设a、b、c∈R+,a3+b3+c3=24,求证a+b+c≤ 6.
分析:观察不等式取等号的条件是a=b=c=2，又由已知的立方式联想到不等式x3+y3+z3≥3xyz 便有以下解法.
证明:a3+23+23≥3×a×2×2=12a,故a≤a2+1612.
同理有b≤b3+1612,c≤c3+1612.三个同向不等式相加，有
a+b+c≤(a3+b3+c3)+3×1612=24+4812=6.
二、一般与特殊
事物的一般性与特殊性是相互联系的.一方面一般性寓于特殊性之中，并通过特殊性表示出来：另一方面，特殊性也离不开一般性，不具有一般性的特殊性是没有的.利用一般与特殊的辩证关系，可使解题思维途径沿正确的方向进行.
例2求证：当a是任意实数时，曲线C：y=x3+ax2-a恒过定点，并求出定点的坐标.
证明:曲线过定点（一般），是通过其中两条曲线的交点（特殊）来表现的.由此分别令a=0，a=1，将这两条曲线的方程联立.
y=x3,
y=x3+x2-1x=1,
y=1或x=-1,
y=-1.得到两个交点（1，1）和（-1，-1）.
将这两个点的坐标代入曲线C的方程，均适合.
所以曲线C恒过定点（1，1）和（-1，-1）.
三、未知与已知
未知与已知是相互关联的，它们的地位不是一成不变的，在一定的条件下是可以相互转化的，视已知为未知，未知为已知，有时会获得独特的解题思路.
例3解方程组xy2-2=0,
x-y-3=0.①②
解:由②有y=x-3，代入①整理得x3-6x2+9x-2=0.
令常数3=t，代入上式，化为关于t的二次方程
xt2-(2x2+1)t+(x3+1)=0.
显然x≠0,由求根公式求得t=1+x或t=x2-x+1x,即1+x=3或x2-x+1x=3.解这两个方程，得x1=2,x2,3=2±3.再分别代回②,
得x1=2,
y1=-1,x2=2+3,
y2=-1+3,x3=2-3,
y3=-1-3.
四、主元与次元
在含有两个或多个字母的问题中，常有一个字母处于主要地位（称为主元），另外一些字母处于次要地位（称为次元）.解题时从主元分析求解，有时会使思维受阻，此时可考虑变更主次元地位，常会获得意想不到的效果.
例4设a∈R,求关于x的二次方程(a2+1)x2+ax-1=0的最大实根和最小实根.
分析:若用求根公式，求得较大根和较小根的表达式，再分别求它们的最大值和最小值，十分困难.改变思维方向，以a为主元来分析求解.
解:关于a整理成x2a2+xa+(x2-1)=0.
显然x≠0,则由a∈R,知 Δ=x2-4x2(x2-1)≥0,整理成
x2(2x+5)(2x-5)≤0.解得-52≤x≤52.
所以最大实根是52,最小实根是-52.
五、运动与静止
世界上一切事物都是在不断运动变化的，运动是绝对的，静止是相对的.据此可知，数学中的定点与动点，定曲线与动曲线，已知与未知也都是相对的.运用这种动与静相互转化的观点来审视问题，常会带来方便，以至收到出奇制胜的效果.
例5如图1，等腰Rt△ABC的斜边AB长为2，当A、B分别在x轴、y轴上滑动时， 求OC长的最大值.
分析：本题若先求动点C的轨迹方程，再求OC长的最大值，十分困难.
图1图2现用动静转化观点将△ABC固定，原点O运动起来，则点O在以AB为直径的半圆上.如图2，可见当 OC过斜边AB的中点M时，|OC|最大.此时|OC|=|OM|+|MC|=2+1=3.
六、式子与图形
数学中的式子——代数式、方程式、不等式，都与函数密切相关，而函数与其图象又相互对应.这样，可得抽象的式子转化为形象直观的图形来认识掌控，从而显化问题，化难为易.
例6（2012年高考浙江卷17题）设a∈R,若x>0时，均有［(a-1)x-1］(x2-ax-1)≥0,则a=.
解:分别考虑左边两个因式的符号情况.
记f (x)=(a-1)x-1,g(x)=x2-ax-1.易见两个函数的图象都过点（0，-1）
图3又抛物线g(x)开口向上,必与x轴正半轴有一个交点(x2,0),则当x∈(0,x2)时,g(x)<0;当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0(见图3).
而要使x∈(0,+∞)时,
f (x)g(x)≥0,那么应使x∈(0,x2)时,f (x)<0;x∈(x2,+∞)时,f (x)>0.结合图3知,直线f (x)过点(x2,0).由f (x2)=0,得x2=1a-1.
再由g(1a-1)=0,化得2a2-3a=0,又由图3知a-1>0,所以取得a=32.
实际上，辩证思维的方向是多种多样的.在教学中能注意这些辩证思维的启迪、培养，是对学生进行辩证法教育，是提高数学素养的重要方式.