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摘要：结合多年的“高等数学”教学实践，分析了“高等数学”课程内容的现状以及教学中所存在的一些问题，针对此课程相应地指出了教学过程中可以融入的数学美教育。可以在讲授数集的时候介绍数学的完备之美；在讲授牛顿莱布尼兹公式的时候介绍数学的对称之美；在讲授格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的时候介绍数学的统一之美；在讲授隐函数求导数的时候介绍数学的抽象之美；在讲授级数的时候介绍数学的自然之美。这些数学美教育的融入，有利于学生充分地了解数学，激发学生学习数学的兴趣，从而提高教学效果。
关键词：高等数学；完备；对称；分形几何
作者简介：蹇红（1980-），女，四川泸州人，重庆邮电大学数理学院，讲师；沈世云（1967-），男，重庆人，重庆邮电大学数理学院，讲师。（重庆 400065）
基金项目：本文系重庆邮电大学教育教学改革研究项目（项目编号：XJG1103）的研究成果。
中图分类号：G642.1 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）32-0136-02
“高等数学”是系统性、抽象性很强的一门课程，[1-3]也是大多数理工科学生极其重要的一門基础课，对他们的后续课程学习有极其深远的影响。然而很多初学者，对数学的学习兴趣原本就不高，加上对知识理解不透，记忆不牢，很快就失去了学习兴趣，甚至开始厌恶数学。[4]因此，设法让学生深刻地了解数学，调动学生的主观能动性，提高学生的学习积极性，成为教学中应注意的重要问题。笔者经过多年的教学实践，在教学中巧妙地渗透了数学美的教育，对提高学生学习高数的积极性做了大量有益的尝试和探索。
一、讲授数集的时候介绍数学的完备之美[5，6]
数学史的年龄几乎和人类史的年龄一样漫长，经过一代又一代数学家的研究，数学已经发展成了一个成熟的体系，应用了大量的数学符号，展现给一个充满完备性的美丽世界。就拿最简单的数说起，实数集是具有完备性的，它对任意次的四则运算和正数的根次运算都具有封闭性。后来引入虚数单位，实数集扩展到复数集，复数集也是完备的。数的本身的发展过程，也是非常生动有趣的。在学生接触高等数学的初期，鸟瞰数域的发展过程，不仅可以让学生加深对数的理解，也可以大大提高学生学习高等数学的兴趣，促使他们更快地适应大学的课堂，激发他们继续学习数学的热情。当所授班级的学生数学基础比较扎实，学习数学的兴趣比较浓厚的时候，也可趁热打铁地抛出群环域的概念。
如果把数和空间中的点建立很好的对应关系，就能得到完备的空间，一维空间、二维空间或者三维空间，都能够办到。而三维空间就是所存在的世界，这是多么有趣的结果啊。世界可以用数来进行描述，数学怎么能不重要呢？具有完备性的空间，是具有很好的性质的。比如在工程中应用广泛的Hilbert空间就是一个完备的空间，它的创始人Hilbert是20世纪最伟大的数学家之一。
在高数课堂中，在讲数列极限的时候，也可提出诸如“收敛的有理数序列的极限是否一定是有理数”，“收敛的正数序列的极限是否一定是正数”之类的问题启发同学们积极思考，并在思考过程中感受数学的完美魅力。
二、讲授牛顿莱布尼兹公式的时候介绍数学的对称之美
提到对称的美，大家首先想到的是几何，其实几何只是一方面，是“看得见”的那一方面。实际上，对称性在数学中处处存在。如微积分的基本定理，展现了微分与积分之间的紧密联系，本身具有很强的对称性。[7]如泛函中的对偶算子，不但在运算上具有显著的对称性，在性质上也处处显示出一致性。[8]
在高数教材讲到空间曲面时，会出现旋转曲面这一重要概念。所谓旋转曲面，是指一条平面曲线绕着一条定直线旋转一周所生成的曲面。该曲线称为母线，定直线称为旋转轴。变换母线旋转轴以及他们的位置关系，很快就能得到许许多多的旋转曲面。他们都有两个基本特征：一是具有很好的对称性；二是任意垂直于旋转轴的截面图形是圆周。正是由于旋转体的对称性，他们看起来都十分美观大方。曾经有一个得大奖的矿泉水广告，先是几个身穿洁白纱裙的美女在跳舞，由慢变快，不停地旋转，逐渐加速，慢慢地美女们一个个变成了矿泉水瓶。这个广告的成功之处就在于制作者成功地运用了矿泉水瓶的几何特征以及旋转体带来的视觉享受。所以，在讲授二次曲面或者利用积分求旋转体体积时，感叹数学的对称美，[9]一定能引起很多学生的共鸣。
三、讲授格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的时候介绍数学的统一之美
在“高等数学”的教学过程中，多元积分学对许多学生来说都具有很大挑战性。如果逐一介绍牛顿-莱布尼茨公式、Green公式、Gauss公式和Stokes公式之后，能在恰当的时候告诉同学们，所有的这些公式是能够写成一个漂亮而简洁的式子，效果一定是超乎想象的。当然，在具体的教学过程中，可以把统一的Stokes公式写在黑板上，然后对外积运算（Λ）、微分形式（ω）和外微分（dω）做蜻蜓点水式的介绍，抛砖引玉即可。由于大统一的斯托克斯公式极其简单漂亮，不仅将整个微积分中几个重要的贯穿始终的公式统一起来，而且还能推广到更高维的空间中去。经过笔者多年的实践发现，这样的讲授总能给学生以心灵的震撼，让他们留下了深刻的印象，大大激发了同学们学习高数的热情与兴趣。
数学中像这样漂亮的公式还有很多，比如欧拉公式。这个式子把数学中几个“伟大”的数给联系到了一块，它们分别是自然对数、圆周率、虚数单位以及1，其中前两个是超越数，是无数个超越数中人类目前仅仅找到的两个，而且这两个对数学影响巨大。笔者大胆猜想，当下一个超越数被找到的时候，数学将会经历另一场巨大的革命。每次在课堂上的这些介绍，总能将学生的注意力牢牢吸引住，大大加深了学生对这部分知识的理解。
四、讲授隐函数求导数的时候介绍数学的抽象之美
“抽象”一词，来源于拉丁文“abstractic”，原意为“排出”、“抽出”之意。数学很抽象，抽象性是数学最基本的性质。数学家所研究的是抽象的事物，他们所采取的研究方法也是抽象的方法。英国数学家怀特海（Whitehead）曾经说过：“数学是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行的研究。”
关键词：高等数学；完备；对称；分形几何
作者简介：蹇红（1980-），女，四川泸州人，重庆邮电大学数理学院，讲师；沈世云（1967-），男，重庆人，重庆邮电大学数理学院，讲师。（重庆 400065）
基金项目：本文系重庆邮电大学教育教学改革研究项目（项目编号：XJG1103）的研究成果。
中图分类号：G642.1 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）32-0136-02
“高等数学”是系统性、抽象性很强的一门课程，[1-3]也是大多数理工科学生极其重要的一門基础课，对他们的后续课程学习有极其深远的影响。然而很多初学者，对数学的学习兴趣原本就不高，加上对知识理解不透，记忆不牢，很快就失去了学习兴趣，甚至开始厌恶数学。[4]因此，设法让学生深刻地了解数学，调动学生的主观能动性，提高学生的学习积极性，成为教学中应注意的重要问题。笔者经过多年的教学实践，在教学中巧妙地渗透了数学美的教育，对提高学生学习高数的积极性做了大量有益的尝试和探索。
一、讲授数集的时候介绍数学的完备之美[5，6]
数学史的年龄几乎和人类史的年龄一样漫长，经过一代又一代数学家的研究，数学已经发展成了一个成熟的体系，应用了大量的数学符号，展现给一个充满完备性的美丽世界。就拿最简单的数说起，实数集是具有完备性的，它对任意次的四则运算和正数的根次运算都具有封闭性。后来引入虚数单位，实数集扩展到复数集，复数集也是完备的。数的本身的发展过程，也是非常生动有趣的。在学生接触高等数学的初期，鸟瞰数域的发展过程，不仅可以让学生加深对数的理解，也可以大大提高学生学习高等数学的兴趣，促使他们更快地适应大学的课堂，激发他们继续学习数学的热情。当所授班级的学生数学基础比较扎实，学习数学的兴趣比较浓厚的时候，也可趁热打铁地抛出群环域的概念。
如果把数和空间中的点建立很好的对应关系，就能得到完备的空间，一维空间、二维空间或者三维空间，都能够办到。而三维空间就是所存在的世界，这是多么有趣的结果啊。世界可以用数来进行描述，数学怎么能不重要呢？具有完备性的空间，是具有很好的性质的。比如在工程中应用广泛的Hilbert空间就是一个完备的空间，它的创始人Hilbert是20世纪最伟大的数学家之一。
在高数课堂中，在讲数列极限的时候，也可提出诸如“收敛的有理数序列的极限是否一定是有理数”，“收敛的正数序列的极限是否一定是正数”之类的问题启发同学们积极思考，并在思考过程中感受数学的完美魅力。
二、讲授牛顿莱布尼兹公式的时候介绍数学的对称之美
提到对称的美，大家首先想到的是几何，其实几何只是一方面，是“看得见”的那一方面。实际上，对称性在数学中处处存在。如微积分的基本定理，展现了微分与积分之间的紧密联系，本身具有很强的对称性。[7]如泛函中的对偶算子，不但在运算上具有显著的对称性，在性质上也处处显示出一致性。[8]
在高数教材讲到空间曲面时，会出现旋转曲面这一重要概念。所谓旋转曲面，是指一条平面曲线绕着一条定直线旋转一周所生成的曲面。该曲线称为母线，定直线称为旋转轴。变换母线旋转轴以及他们的位置关系，很快就能得到许许多多的旋转曲面。他们都有两个基本特征：一是具有很好的对称性；二是任意垂直于旋转轴的截面图形是圆周。正是由于旋转体的对称性，他们看起来都十分美观大方。曾经有一个得大奖的矿泉水广告，先是几个身穿洁白纱裙的美女在跳舞，由慢变快，不停地旋转，逐渐加速，慢慢地美女们一个个变成了矿泉水瓶。这个广告的成功之处就在于制作者成功地运用了矿泉水瓶的几何特征以及旋转体带来的视觉享受。所以，在讲授二次曲面或者利用积分求旋转体体积时，感叹数学的对称美，[9]一定能引起很多学生的共鸣。
三、讲授格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的时候介绍数学的统一之美
在“高等数学”的教学过程中，多元积分学对许多学生来说都具有很大挑战性。如果逐一介绍牛顿-莱布尼茨公式、Green公式、Gauss公式和Stokes公式之后，能在恰当的时候告诉同学们，所有的这些公式是能够写成一个漂亮而简洁的式子，效果一定是超乎想象的。当然，在具体的教学过程中，可以把统一的Stokes公式写在黑板上，然后对外积运算（Λ）、微分形式（ω）和外微分（dω）做蜻蜓点水式的介绍，抛砖引玉即可。由于大统一的斯托克斯公式极其简单漂亮，不仅将整个微积分中几个重要的贯穿始终的公式统一起来，而且还能推广到更高维的空间中去。经过笔者多年的实践发现，这样的讲授总能给学生以心灵的震撼，让他们留下了深刻的印象，大大激发了同学们学习高数的热情与兴趣。
数学中像这样漂亮的公式还有很多，比如欧拉公式。这个式子把数学中几个“伟大”的数给联系到了一块，它们分别是自然对数、圆周率、虚数单位以及1，其中前两个是超越数，是无数个超越数中人类目前仅仅找到的两个，而且这两个对数学影响巨大。笔者大胆猜想，当下一个超越数被找到的时候，数学将会经历另一场巨大的革命。每次在课堂上的这些介绍，总能将学生的注意力牢牢吸引住，大大加深了学生对这部分知识的理解。
四、讲授隐函数求导数的时候介绍数学的抽象之美
“抽象”一词，来源于拉丁文“abstractic”，原意为“排出”、“抽出”之意。数学很抽象，抽象性是数学最基本的性质。数学家所研究的是抽象的事物，他们所采取的研究方法也是抽象的方法。英国数学家怀特海（Whitehead）曾经说过：“数学是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行的研究。”