1 引言
　　本文在[M-P]逆拓撲变化理论的基础上，将平面问题的拓扑变化推广到杆系结构中。研究平面杆系结构发生增加或减少一个斜支撑的拓扑变化时，其静力响应（内力、位移等）如何变化。本文以实际算例来说明静力结构修改的重分析。
　　2 分析步骤
　　本文的算法有以下几个步骤：（1）将域分解成单元和节点；（2）调用MATLAB的FactorMatrix函数，得到初始结构的单元因子矩阵；（3）调用InclineSupportFactorMatrix函数，得到增减斜支撑单元的因子矩阵；（4）调用FactorMatrixAssemble函数得到因子矩阵根据约束条件去掉相应的行，得到化简后的因子矩阵；（5）求拓扑变化后结构的逆因子矩阵，去掉相应的行得到逆因子矩阵；（6）后处理：计算静力响应，由程序可计算出增加或撤消一个斜支撑时，结构的逆因子矩阵、各个节点的位移和各个单元的应力。
　　3 数值算例
　　例1：平面桁架如图1所示，单元1和单元2的[E=210GPa]，[A=6×10-4m2]，单元3的[A=62]×[10-4m2]，有斜支撑的平面桁架如图2所示，确定增加斜支撑后的位移和反力。
　　[
　　单元 节点＼&i＼&j＼&1＼&1＼&2＼&2＼&2＼&3＼&3＼&3＼&1＼&]
　　表1 单元连通性表
　　图1 平面桁架 图2 有斜支撑的平面桁架
　　解：依据本文阐述的分析步骤，结合使用MATLAB模拟计算得到的结果如表1-3。
　　节点1的沿[x]、[y]轴负向的支反力分别为500[kN]，节点3的沿[x]、[y]轴正向的支反力分别为500[kN]。很显然，满足力的平衡。
　　表2 各节点位移（单位：m）
　　[
　　节点 位移＼&u＼&V＼&2＼&0.0119＼&0.0000＼&3＼&0.0004＼&0.0040＼&]
　　表3 各节点支反力（单位：kN）
　　[
　　节点 支反力＼&[Fx]＼&[Fy]＼&1＼&-500＼&-500＼&3＼&500＼&500＼&]
　　为了和本文拓扑方法所得结果进行对比，用ANSYS模拟计算，结果如表4。
　　表4 ANSYS计算的各节点位移（单位：m）和各节点支反力（单位：N）
　　[NODE＼&UX＼&UY＼&NODE＼&FX＼&FY＼&2＼&1.35E-02＼&0.00E+00＼&1＼&-5.00E+05＼&-5.00E+05＼&3＼&5.61E-03＼&5.61E-03＼&3＼&-5.00E+05＼&5.00E+05＼&]
　　注：UX，UY分别对应u，v；FX，FY分别对应[Fx]，[Fy]。
　　例2：平面刚架如图3所示，[E=210GPa]，[A=2×10-2m2]和[I=5×10-5m4]，撤消斜支撑后的平面刚架如图4所示，计算撤消斜支撑后的位移。
　　图3 有斜支撑的平面刚架 图4 撤消斜支撑时的平面刚架
　　解：依据本文阐述的分析步骤，结合使用MATLAB模拟计算得到的结果如表5。用ANSYS模拟计算的结果如表6。
　　表5 各节点的线位移和角位移
　　[
　　节点 位移＼&u（m）＼&v（m）＼&θ（rad）＼&2＼&-0.0038＼&0.0000＼&-0.0008＼&3＼&-0.0038＼&0.0000＼&-0.0014＼&]
　　表6 ANSYS计算各节点的线位移和角位移
　　[NODE＼&UX（m）＼&UY（m）＼&ROTZ（rad）＼&2＼&-3.79E-03＼&-6.13E-06＼&7.83E-04＼&3＼&-3.78E-03＼&6.13E-06＼&1.40E-03＼&]
　　注：UX，UY，ROTZ分别对应u，v，θ。
　　通过比较，本文方法能得到良好的近似解，与有限元程序ANSYS计算所得的解相差不大，说明此算法是有效可行的。
　　4 小结
　　本文通过算例分析了当平面杆系结构添加或撤消斜支座的拓扑变化后静力响应。在工程中，有些问题可以简化为平面问题来处理，但是有些工程难以简化为二维问题，因此，有必要研究空间问题的拓扑变化理论。