论文部分内容阅读
《点到直线的距离》是全日制普通高级中学教科书（必修•人民教育出版社）第二册（上）“§7.3两条直线的位置关系”的第四节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用。本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图过渡到高中解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识。对本节的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承上启下的重要作用。
由探索点P（2，0）到直线x-y=0的距离，推广到探索点P（x ，y ）到直线Ax+By+C=0（A +B ≠0）的距离的过程中，使学生体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，并使学生在经历反馈练习的过程中，进一步提高灵活运用公式，解决问题的能力。
问题1：如何求点P（2，0）到直线l：x-y=0的距离？
补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，应该鼓励学生利用多种解法解决本问。
方法1：利用定义
由于本课之前，学生已掌握了两条直线交点的求法等知识，所以容易通过定义，将点P到直线l的距离，转化为点P、垂足Q两点之间距离来解决。
解：过点P作l的垂线PQ，设垂足为Q。
∵l：x-y=0，P（2，0）
∴PQ：y=-（x-2）
∴y=xy=2-x
∴x=2-x
∴x=1y=1
∴Q（1，1）
∴|PQ|= =
方法2：利用直角三角形的面积公式
结合图形，学生也能利用面积构造法来解决，这一方法的难点是如何添作辅助线。教学时给予提示：由垂直条件，可以联想到三角形的高或直角三角形等相关知识。
解：过点P作l、x的垂线PQ、PR，交点为点Q、R。
在Rt△OPR中，
|OR|•|QP|=|OP|•|PR|
∴2 ×|QP|=2×2
∴|QP|=
方法3：利用三角函数
根据定义作出图象后，由于涉及Rt△OPQ和直线倾斜45°角，学生容易联想利用三角函数知识解决问题。
解：过点P作l的垂线PQ，垂足为Q。
∵l：x-y=0
∴∠QOP=45°
∵P（2，0）
∴|OP|=2
∴|PQ|=|OP|•sin45°=2× =
方法4：利用函数的思想
在初中，学生已初步认识了点到直线的距离的几何特征：连接直线外一点与直线上任意点，所得线段中垂线段最短。以此为背景，学生可能通过函数的思想来解决。
解：设直线l上的点Q（x ，y ），则d=（|QP|）min。
∵x-y=0
∴x -y =0
∴|QP|= =
= ≥
当x =1时，取得等号，即此时点Q（1，1）。
对于问题1，学生可能提供的解法不完全，我们要引导学生补充完整。改变点P和直线l的位置，引出补充问题2。
问题2：如何求点P（4，2）到直线2x-y+2=0的距离？
组织学生类比问题1，独立思考本问的解决方法。
在课堂上只要求学生说明解法思路，而不要求解题过程。
在解决问题1、2的基础上，将点和直线的位置推广到一般情况，进一步提出问题3。
问题3：如何求点P（x ，y ）到直线Ax+By+C=0（A +B ≠0）的距离？
方法1：利用定义的推导方法
通过前面两个补充问题，学生已经积累了一些求点到直线距离的经验和方法，学生可能会类比考虑利用定义，将点P到直线l的距离转化为点P与垂足Q，两点之间距离来处理。这种方法虽然思路自然，但运算较繁琐，所以只要求学生结合教材，说明算法步骤、明确算法框图，而不要求推导过程。尽管在前面的学习中，学生已掌握了两条直线垂直的充要条件，但学生仍然可能忽略A≠0，这一前提条件，而直接得到与l垂直直线的斜率为 。我们要加以纠正，并强调对于A=0或B=0的特殊情况，可以结合图象直接得出结论，所以在算法中暂不考虑。
方法2：利用直角三角形的面积公式的的推导方法
学生也可能类比补充问题1、2中，添作辅助线的方式，构造直角三角形，通过面积构造法解决问题。对于这种方法，由于教材已经给出了推导过程，所以学生可以只说明算法步骤。与传统教材相比，新教材更关注学生思维能力的培养，淡化形式、注重实质。由于新教材删减了一些同角三角函数的基本关系式，所以旧教材利用三角函数的方法推导公式就显得繁杂，教科书选择的借助直角三角形的面积公式推导公式的方法，简洁、明了。所以，可以让学生根据算法框图，自学教材的推导过程，培养学生的数学阅读能力。在此过程中，应该提醒学生注意Rt△PRS三边边长的求法。
方法3：利用平面向量的推导方法
由于在前面直线方程的学习中，教材引入了直线方向向量的概念，并运用了向量的有关知识讨论直线的一些问题，所以部分思维能力较强的学生可能会提出利用向量知识推导公式，我们要给予肯定。尽管这种方法具有一定难度，但根据学生思维能力较强的特点，可以先引导学生复习向量有关知识，使学生明确向量数量积的两种表示方式及其几何意义，再结合图像，师生互动，共同讨论得出，利用向量数量积推导公式的算法步骤、算法框图。在这一过程中，学生可能会遇到无法表示与直线垂直的向量 的坐标的困难，我们可给予提示：可以借助于向量 与直线的方向向量互相垂直的充要条件来解决。对于这种方法的具体推导过程，要求学生课后在自学教材P55阅读材料“向量与直线”的基础上，作为思考作业完成。这种利用向量的算法，为今后在立体几何中利用这种方法得到点到平面的距离公式奠定了基础。
点到直线的距离公式：点P（x ，y ）到直线Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）的距离d= 。
在学生通过多种方法推导得出公式后，引导学生根据公式的形式特点，记忆公式。同时强调：当A=0或B=0时，公式仍然适用，也可以结合图像直接求出结论。
在此基础上，要求学生利用公式计算补充问题1、2，并与前面的计算结果进行比较，前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性。点到直线的距离公式的应用是本课的一个重点，我们应强化学生对公式的记忆和运用，以达到强化训练的目的。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
由探索点P（2，0）到直线x-y=0的距离，推广到探索点P（x ，y ）到直线Ax+By+C=0（A +B ≠0）的距离的过程中，使学生体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，并使学生在经历反馈练习的过程中，进一步提高灵活运用公式，解决问题的能力。
问题1：如何求点P（2，0）到直线l：x-y=0的距离？
补充的问题1，由于点和直线的位置非常特殊，所以学生容易回答，应该鼓励学生利用多种解法解决本问。
方法1：利用定义
由于本课之前，学生已掌握了两条直线交点的求法等知识，所以容易通过定义，将点P到直线l的距离，转化为点P、垂足Q两点之间距离来解决。
解：过点P作l的垂线PQ，设垂足为Q。
∵l：x-y=0，P（2，0）
∴PQ：y=-（x-2）
∴y=xy=2-x
∴x=2-x
∴x=1y=1
∴Q（1，1）
∴|PQ|= =
方法2：利用直角三角形的面积公式
结合图形，学生也能利用面积构造法来解决，这一方法的难点是如何添作辅助线。教学时给予提示：由垂直条件，可以联想到三角形的高或直角三角形等相关知识。
解：过点P作l、x的垂线PQ、PR，交点为点Q、R。
在Rt△OPR中，
|OR|•|QP|=|OP|•|PR|
∴2 ×|QP|=2×2
∴|QP|=
方法3：利用三角函数
根据定义作出图象后，由于涉及Rt△OPQ和直线倾斜45°角，学生容易联想利用三角函数知识解决问题。
解：过点P作l的垂线PQ，垂足为Q。
∵l：x-y=0
∴∠QOP=45°
∵P（2，0）
∴|OP|=2
∴|PQ|=|OP|•sin45°=2× =
方法4：利用函数的思想
在初中，学生已初步认识了点到直线的距离的几何特征：连接直线外一点与直线上任意点，所得线段中垂线段最短。以此为背景，学生可能通过函数的思想来解决。
解：设直线l上的点Q（x ，y ），则d=（|QP|）min。
∵x-y=0
∴x -y =0
∴|QP|= =
= ≥
当x =1时，取得等号，即此时点Q（1，1）。
对于问题1，学生可能提供的解法不完全，我们要引导学生补充完整。改变点P和直线l的位置，引出补充问题2。
问题2：如何求点P（4，2）到直线2x-y+2=0的距离？
组织学生类比问题1，独立思考本问的解决方法。
在课堂上只要求学生说明解法思路，而不要求解题过程。
在解决问题1、2的基础上，将点和直线的位置推广到一般情况，进一步提出问题3。
问题3：如何求点P（x ，y ）到直线Ax+By+C=0（A +B ≠0）的距离？
方法1：利用定义的推导方法
通过前面两个补充问题，学生已经积累了一些求点到直线距离的经验和方法，学生可能会类比考虑利用定义，将点P到直线l的距离转化为点P与垂足Q，两点之间距离来处理。这种方法虽然思路自然，但运算较繁琐，所以只要求学生结合教材，说明算法步骤、明确算法框图，而不要求推导过程。尽管在前面的学习中，学生已掌握了两条直线垂直的充要条件，但学生仍然可能忽略A≠0，这一前提条件，而直接得到与l垂直直线的斜率为 。我们要加以纠正，并强调对于A=0或B=0的特殊情况，可以结合图象直接得出结论，所以在算法中暂不考虑。
方法2：利用直角三角形的面积公式的的推导方法
学生也可能类比补充问题1、2中，添作辅助线的方式，构造直角三角形，通过面积构造法解决问题。对于这种方法，由于教材已经给出了推导过程，所以学生可以只说明算法步骤。与传统教材相比，新教材更关注学生思维能力的培养，淡化形式、注重实质。由于新教材删减了一些同角三角函数的基本关系式，所以旧教材利用三角函数的方法推导公式就显得繁杂，教科书选择的借助直角三角形的面积公式推导公式的方法，简洁、明了。所以，可以让学生根据算法框图，自学教材的推导过程，培养学生的数学阅读能力。在此过程中，应该提醒学生注意Rt△PRS三边边长的求法。
方法3：利用平面向量的推导方法
由于在前面直线方程的学习中，教材引入了直线方向向量的概念，并运用了向量的有关知识讨论直线的一些问题，所以部分思维能力较强的学生可能会提出利用向量知识推导公式，我们要给予肯定。尽管这种方法具有一定难度，但根据学生思维能力较强的特点，可以先引导学生复习向量有关知识，使学生明确向量数量积的两种表示方式及其几何意义，再结合图像，师生互动，共同讨论得出，利用向量数量积推导公式的算法步骤、算法框图。在这一过程中，学生可能会遇到无法表示与直线垂直的向量 的坐标的困难，我们可给予提示：可以借助于向量 与直线的方向向量互相垂直的充要条件来解决。对于这种方法的具体推导过程，要求学生课后在自学教材P55阅读材料“向量与直线”的基础上，作为思考作业完成。这种利用向量的算法，为今后在立体几何中利用这种方法得到点到平面的距离公式奠定了基础。
点到直线的距离公式：点P（x ，y ）到直线Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）的距离d= 。
在学生通过多种方法推导得出公式后，引导学生根据公式的形式特点，记忆公式。同时强调：当A=0或B=0时，公式仍然适用，也可以结合图像直接求出结论。
在此基础上，要求学生利用公式计算补充问题1、2，并与前面的计算结果进行比较，前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性。点到直线的距离公式的应用是本课的一个重点，我们应强化学生对公式的记忆和运用，以达到强化训练的目的。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”