对立体几何的考查都离不开对空间角的考查，空间角与立体几何的其他知识点浑然一体，既考查了线线、线面、面面关系，又突出了知识间的联系，体现了知识的整体性；而空间向量的引入，给立体几何的解题提供了新的思路和方法，借助于它解决立体几何问题，可以避免复杂的作图和证明而转化为简单的代数运算。本文就如何利用方向向量和法向量来总结空间角的向量求法。
　　一、几个公式
　　1.两条异面直线所成的角
　　如图1所示，其中a与n分别为直线AB与CD的方向向量，θ为异面直线AB与CD所成的角，由图（以下两种情形）得：
　　cosθ=｜cos＜a，n＞｜= 。
　　2.直线和平面所成的角
　　如图2所示，其中a与n分别为直线AB的方向向量与平面α的法向量，θ为直线AB与平面α所成的角，由图得：
　　sinθ=｜cos＜a，n＞｜= 。
　　3.二面角
　　如图3所示，其中n1与n2分别为平面α的法向量与平面β的法向量，θ为平面α与平面β所成的角，由于向量可以自由平移，于是可得以下四种情况的图形：
　　
　　由图可得：cosθ=｜cos＜n1，n2＞｜= 。
　　注意：
　　（1）当两个法向量同时指向二面角的内部或外部时，两法向量的夹角和二面角的平面角互补；
　　（2）当两个法向量一个指向二面角的内部、一个指向二面角的外部时，两法向量的夹角和二面角的平面角相等。
　　二、举例
　　例 已知三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1在底面ABC内的射影恰为边AB，且AA1=10，AB=6，BC=2，A1C1=4 ，如图4所示。求：
　　（1）异面直线AB与CA1所成角的余弦值；
　　（2）直线AB与侧面ACC1A1所成角的正弦值；
　　（3）二面角B1-A1A-C的大小。
　　解 以C作为坐标原点，CB所在的直线为x轴，CA所在的直线为y轴，以过C且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图，连A1B，则由题意得：
　　AC⊥CB，A1B⊥平面ABC，且AC=4 ，A1B=8，
　　∴C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，4 ，0），A1（2，0，8）。
　　（1） =（2，-4 ，0）， =（2，0，8），
　　∴直线AB与CA1所成的角θ的余弦值为
　　cosθ=｜cos＜ ， ＞｜= = = 。
　　（2） =（0，4 ，0）。设n=(x，y，z)为平面ACC1A1的法向量，则
　　n⊥ ，n⊥ ，即n• =0，n• =0。
　　∴4 y=0,2x+8z=0。
　　∴取z=-1，得n=(4,0,-1)。
　　∴直线AB与平面ACC1A1所成角θ的正弦值为
　　sinθ=｜cos＜ ，n＞｜= = =。
　　（3） =（2，-4 ，0）， =（2，-4 ，8）。设m=(a，b，c)为平面ABB1A1的法向量，则
　　m⊥ ，m⊥ ，即m• =0，m• =0。
　　∴2a-4 b=0，2a-4 b+8c=0。
　　取b=1，则m=(2 ，1，0)。
　　由两法向量的方向可知，m与n的夹角和二面角B1-A1A-C的大小相等。
　　二面角B1-A1A-C的余弦值为
　　cosθ=｜cos＜m，n＞｜= = = 。
　　∴二面角B1-A1A-C的大小为arccos 。
　　三、巩固练习
　　已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，M为AD的中点，PA=AB=2，∠ABC=60°，如图5所示。求：
　　（1）异面直线BM与PC所成角的余弦角；
　　（2）直线PM与平面PAB所成角的正弦值；
　　（3）平面PCD与平面PAB所成二面角的大小。
　　答案 （1）（2）（3）arccos
　　总之，只要能建立恰当的坐标系，准确写出点的坐标，正确求出直线的方向向量及平面的法向量，并能判断出法向量的方向，求空间角的问题就可以化难为易，迎刃而解。
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。