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【摘 要】用数学思想指导知识、方法的灵活运用，进行一题多解的练习，能够培养学生思维的发散性、灵活性、敏捷性；同时，数学方法、数学思想的自觉运用往往使学生运算简捷、推理机敏，是提高数学解题能力的必由之路。解题教学是我国中小学教学教育的重要组成部分，它不仅是实现数学课堂教学目标的手段，而且也是实现其他学科教学目标的重要手段。
【关键词】数学思想 解题教学 解题方法 解题反思
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2012）03－0153－02
一、对数学解题思想方法的认识
数学解题思想方法是中学数学的一项基础知识，在数学教学中，很早就有这样的认识：学习数学不仅要学习它的知识内容，而且要学习它的精神、思想和方法。掌握基本数学解题思想方法能使学生对数学更易于理解与记忆，领会数学解题思想方法是通向迁移大道的光明之路。数学解题教学是中学教学的重要组成部分，它不仅是实现数学课堂教学目标的手段，而且也是实现其他学科教学目标的重要手段。数学解题教学在实践中存在不同的倾向、认识上的分歧等有关争议的问题：解题教学是模仿教学还是思维教学？是坚持“题海战术”还是倡导“精讲精练”？“问题解决”是否可以替代传统解题教学？对这些问题进行思考的主要结论是：解题教学既是我国传统数学教学文化的传承，又有明显的应试教育痕迹。本人认为数学解题教学应坚持素质教育背景下的解题教学观，纠正解题教学中的应试倾向，不断促进解题教学的发展。数学研究、数学学习都离不开解题。因此，“解题教学”理应是数学教学的一个中心。
二、数学教师应成为解题专家
当前，数学课程改革正在深入进行，数学教师的专业要求越来越高。数学教师掌握多样的教学方法，提供各类数学活动的机会，熟练运用现代信息技术，开发丰富的学习资源，建立多样的评价体系等。这些要求无疑十分必要，有待加强。与此同时，我们也不能降低对数学教师解题能力的要求。事实上，解题是数学教师的立足之本。一位数学教师，如果他的解题能力有限，他将难以胜任正常的数学教学任务，会遭受来自学生、家长、领导、同行等各方面的压力。
此外，数学教学中题海战术愈演愈烈，效率低下的重复劳动，将损害师生身心健康，造成大量学生厌倦数学。因此，数学教师成为解题专家，有着现实意义。人们常说：“要想给学生一杯水，老师就要有一桶水。”老师只有经常研究解题，掌握解题技巧，通晓各种解题方法，包括通解和巧解，才能胜任现代数学教师的角色。
三、根据学科特点，寻找最佳解题方法。
数学学科担负着培养学生运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，埋头做题不总结积累经验不行，对课本知识既要能钻得进去，又要能跳得出来，结合自身特点，寻找最佳解题方法。数学解题中，应就题目的目标、内容、结构、特征等采用一题多解、一题多变、一题多用、一题多联，进行不同方面、不同角度、不同层次的分析、探索，其效果必胜于大量的机械重复。数学中的基础知识最主要的是数学概念和数学规律。让学生掌握这些知识，并把这些数学知识应用到实际中，就必须有计划地指导学生解答习题。虽然解每类数学题的方法步骤都有差异，但也有共同之处，一般都要经过审题、寻求解题途径、表述解答这三个步骤。在这三个步骤中，寻求解题途径是解答习题的关键步骤，这一步解决了，解
数学题也就比较容易了。同时注重指导学生掌握高中数学基本解题的方法，探索解题中渗透的数学思维与数学方法，概括数学解题中的常规解法。
如换元法，“换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。例如，在解题过程中，把题中某一式子如f（x），作为新的变量y或者把题中某一变量如x，用新变量t的式子g（t）替换，即通过令f（x）=y或x=g（t）进行变量代换，得到结构简单便于求解的新方法。
再如转化的方法，例如：抛物线y=－x2上的点到直线4x+3y－8=0的距离的最小值是（ ）。
A、 B、 C、 D、3
解析：设P（x0，y0）为抛物线上任一点，则 ，点P到直线4x+3y－8=0的距离：
由二次函数的知识可得，当 时，d取得最小值 ，故
选A。
在这里，利用解析几何中的代数性，把问题转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的有关知识求其最值。
四、培养学生解题学习的良好习惯
数学解题是按照一定的策略进行的逻辑思维过程，其每一步都有一定根据，并且是一步一步地靠近目标，最后达到目标。数学解题作为一个思维过程，其最大的特点在于它是一个渐进的、曲折的过程。学生独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神，做错的作业再做一遍。对错误的地方没弄清楚要反复思考，实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的地方拿出来强化复习，作适当的重复性练习，把求老师、问同学获得的东西消化变成自己的知识，高中学生普遍认为想学好数学，但感觉数学难学，做无用功多，究其原因是学习方法、学习基础、学习习惯等方面存在问题，在如何领悟科学的学习方法，形成良好的学习习惯，抓住关键的学习环节等方面研究和探索。
在数学解题教学过程中，教师可选择一些开放题进行数学解题教学，因为开放题是数学教学中的一种新题型，相对于传统的封闭题而言，开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。现行数学教材中，习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习中缺乏主动参与的过程。多年的教学实践表明：让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案。因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为了使数学适应时代的需要，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。使学生解题学习的良好品质和良好习惯得到锻炼。
在教学过程中，学生会经常出现错解，这主要是由于学生对概念的理解不够透彻，或者忽视了隐含条件，或者忽视了定理成立的条件等原因造成的。解题错误总是难免的，但是教师应该了解解题中常见的错误，研究导致错误的原因，这样才能避免或减少错误的发生，让学生养成及时纠正错解，找出造成错误的原因，写出正解，也有利于学生良好品质和良好习惯的形成。
例如：函数 的最小值为 。
解析： 不能用均值不等式（取等号的条件不成立），可用
耐克函数 的单调性解题。
五、对数学解题活动的反思
反思数学解题学习，是数学解题的一种学习方式。在一定的问题情境下，以审视或批判的态度，对呈现在自己面前的任何思维过程进行积极主动、坚持不懈和缜密的探究性反思活动，反思数学解题学习即学习者对自身数学解题活动的过程、结果以及解题活动过程中涉及的有关事物（如信息、材料、思维方法）的学习特征的反向思考。反思数学解题学习不仅是对数学解题活动的一般性的回顾与重复，而且是深究解题活动中所涉及的结论、认识、观念以及它们的形成过程，具有科学研究的性质，反思的目的也不仅仅是为了回顾过去，或意识到认知过程，更重要的是指向未来的解题活动。尤其是在新课改的今天，当我们以创新思维能力和解决问题能力作为评价学生数学成绩优劣的主要标准时，反思解题的过程是很有必要的。
例如：设F是双曲线 的右焦点，定点M（6，2），
点P在双曲线的右支上移动，求 的最小值。
解析：∵a2=16，b2=9。∴c2=25，离心率 。
右准线l的方程为： ，作PA⊥l，垂足为A，则
点P到右准线的距离为d=|PA|由双曲线的定义可得：
∴
作MQ⊥l，垂足为Q，如下图所示，则有 。
因此， 的最小值为 。
反思：利用双曲线的第二
定义，将折线段和的问题化为
平面几何中的直线段最短问题
来解决。一般，设M为曲线含
焦点F的区域内一点在曲线上
求一点P，使 的
值最小，都可以过点M作与焦
点F相应准线的垂线，则垂线段的长就是其最小值。
参考文献
1秦明华、宾秀芳.浅谈高中数学解题能力的培养［J］.四川教育学院学报，2002（6）
2凌蕾花.数学思想方法在解题中的应用［J］.和田师范专科学校学报，2005（4）
3徐芹.浅淡新课标下提升高中生数学解题能力的策略［J］.教师，2010（29）
【关键词】数学思想 解题教学 解题方法 解题反思
【中图分类号】G632 【文献标识码】A 【文章编号】1006－9682（2012）03－0153－02
一、对数学解题思想方法的认识
数学解题思想方法是中学数学的一项基础知识，在数学教学中，很早就有这样的认识：学习数学不仅要学习它的知识内容，而且要学习它的精神、思想和方法。掌握基本数学解题思想方法能使学生对数学更易于理解与记忆，领会数学解题思想方法是通向迁移大道的光明之路。数学解题教学是中学教学的重要组成部分，它不仅是实现数学课堂教学目标的手段，而且也是实现其他学科教学目标的重要手段。数学解题教学在实践中存在不同的倾向、认识上的分歧等有关争议的问题：解题教学是模仿教学还是思维教学？是坚持“题海战术”还是倡导“精讲精练”？“问题解决”是否可以替代传统解题教学？对这些问题进行思考的主要结论是：解题教学既是我国传统数学教学文化的传承，又有明显的应试教育痕迹。本人认为数学解题教学应坚持素质教育背景下的解题教学观，纠正解题教学中的应试倾向，不断促进解题教学的发展。数学研究、数学学习都离不开解题。因此，“解题教学”理应是数学教学的一个中心。
二、数学教师应成为解题专家
当前，数学课程改革正在深入进行，数学教师的专业要求越来越高。数学教师掌握多样的教学方法，提供各类数学活动的机会，熟练运用现代信息技术，开发丰富的学习资源，建立多样的评价体系等。这些要求无疑十分必要，有待加强。与此同时，我们也不能降低对数学教师解题能力的要求。事实上，解题是数学教师的立足之本。一位数学教师，如果他的解题能力有限，他将难以胜任正常的数学教学任务，会遭受来自学生、家长、领导、同行等各方面的压力。
此外，数学教学中题海战术愈演愈烈，效率低下的重复劳动，将损害师生身心健康，造成大量学生厌倦数学。因此，数学教师成为解题专家，有着现实意义。人们常说：“要想给学生一杯水，老师就要有一桶水。”老师只有经常研究解题，掌握解题技巧，通晓各种解题方法，包括通解和巧解，才能胜任现代数学教师的角色。
三、根据学科特点，寻找最佳解题方法。
数学学科担负着培养学生运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力，以及运用所学知识分析问题、解决问题能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，埋头做题不总结积累经验不行，对课本知识既要能钻得进去，又要能跳得出来，结合自身特点，寻找最佳解题方法。数学解题中，应就题目的目标、内容、结构、特征等采用一题多解、一题多变、一题多用、一题多联，进行不同方面、不同角度、不同层次的分析、探索，其效果必胜于大量的机械重复。数学中的基础知识最主要的是数学概念和数学规律。让学生掌握这些知识，并把这些数学知识应用到实际中，就必须有计划地指导学生解答习题。虽然解每类数学题的方法步骤都有差异，但也有共同之处，一般都要经过审题、寻求解题途径、表述解答这三个步骤。在这三个步骤中，寻求解题途径是解答习题的关键步骤，这一步解决了，解
数学题也就比较容易了。同时注重指导学生掌握高中数学基本解题的方法，探索解题中渗透的数学思维与数学方法，概括数学解题中的常规解法。
如换元法，“换元”的思想和方法，在数学中有着广泛的应用，灵活运用换元法解题，有助于数量关系明朗化，变繁为简，化难为易，给出简便、巧妙的解答。例如，在解题过程中，把题中某一式子如f（x），作为新的变量y或者把题中某一变量如x，用新变量t的式子g（t）替换，即通过令f（x）=y或x=g（t）进行变量代换，得到结构简单便于求解的新方法。
再如转化的方法，例如：抛物线y=－x2上的点到直线4x+3y－8=0的距离的最小值是（ ）。
A、 B、 C、 D、3
解析：设P（x0，y0）为抛物线上任一点，则 ，点P到直线4x+3y－8=0的距离：
由二次函数的知识可得，当 时，d取得最小值 ，故
选A。
在这里，利用解析几何中的代数性，把问题转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的有关知识求其最值。
四、培养学生解题学习的良好习惯
数学解题是按照一定的策略进行的逻辑思维过程，其每一步都有一定根据，并且是一步一步地靠近目标，最后达到目标。数学解题作为一个思维过程，其最大的特点在于它是一个渐进的、曲折的过程。学生独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神，做错的作业再做一遍。对错误的地方没弄清楚要反复思考，实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的地方拿出来强化复习，作适当的重复性练习，把求老师、问同学获得的东西消化变成自己的知识，高中学生普遍认为想学好数学，但感觉数学难学，做无用功多，究其原因是学习方法、学习基础、学习习惯等方面存在问题，在如何领悟科学的学习方法，形成良好的学习习惯，抓住关键的学习环节等方面研究和探索。
在数学解题教学过程中，教师可选择一些开放题进行数学解题教学，因为开放题是数学教学中的一种新题型，相对于传统的封闭题而言，开放题的核心是培养学生的创造意识和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。现行数学教材中，习题基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的，学生在学习中缺乏主动参与的过程。多年的教学实践表明：让学生懂得用现成的方法解决现成的问题仅仅是学习的第一步，学习的更高境界是提出新问题、提出解决问题的新方案。因此首先必须改变那种只局限于教师给题学生做题的被动的、封闭的意识，为了使数学适应时代的需要，我们选择了数学开放题作为一个切入口，开放题的引入，促进了数学教育的开放化和个性化，从发现问题和解决问题中培养学生的创新精神和实践能力。使学生解题学习的良好品质和良好习惯得到锻炼。
在教学过程中，学生会经常出现错解，这主要是由于学生对概念的理解不够透彻，或者忽视了隐含条件，或者忽视了定理成立的条件等原因造成的。解题错误总是难免的，但是教师应该了解解题中常见的错误，研究导致错误的原因，这样才能避免或减少错误的发生，让学生养成及时纠正错解，找出造成错误的原因，写出正解，也有利于学生良好品质和良好习惯的形成。
例如：函数 的最小值为 。
解析： 不能用均值不等式（取等号的条件不成立），可用
耐克函数 的单调性解题。
五、对数学解题活动的反思
反思数学解题学习，是数学解题的一种学习方式。在一定的问题情境下，以审视或批判的态度，对呈现在自己面前的任何思维过程进行积极主动、坚持不懈和缜密的探究性反思活动，反思数学解题学习即学习者对自身数学解题活动的过程、结果以及解题活动过程中涉及的有关事物（如信息、材料、思维方法）的学习特征的反向思考。反思数学解题学习不仅是对数学解题活动的一般性的回顾与重复，而且是深究解题活动中所涉及的结论、认识、观念以及它们的形成过程，具有科学研究的性质，反思的目的也不仅仅是为了回顾过去，或意识到认知过程，更重要的是指向未来的解题活动。尤其是在新课改的今天，当我们以创新思维能力和解决问题能力作为评价学生数学成绩优劣的主要标准时，反思解题的过程是很有必要的。
例如：设F是双曲线 的右焦点，定点M（6，2），
点P在双曲线的右支上移动，求 的最小值。
解析：∵a2=16，b2=9。∴c2=25，离心率 。
右准线l的方程为： ，作PA⊥l，垂足为A，则
点P到右准线的距离为d=|PA|由双曲线的定义可得：
∴
作MQ⊥l，垂足为Q，如下图所示，则有 。
因此， 的最小值为 。
反思：利用双曲线的第二
定义，将折线段和的问题化为
平面几何中的直线段最短问题
来解决。一般，设M为曲线含
焦点F的区域内一点在曲线上
求一点P，使 的
值最小，都可以过点M作与焦
点F相应准线的垂线，则垂线段的长就是其最小值。
参考文献
1秦明华、宾秀芳.浅谈高中数学解题能力的培养［J］.四川教育学院学报，2002（6）
2凌蕾花.数学思想方法在解题中的应用［J］.和田师范专科学校学报，2005（4）
3徐芹.浅淡新课标下提升高中生数学解题能力的策略［J］.教师，2010（29）