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1.Collatz 猜想
随意选一个整数，如果它是偶数，将它除以2；如果它是奇数，将它乘以3再加1。对于得到的新数，重复操作上面的运算过程。如果一直操作下去，你每次都将得到1。
数学家们试验了数百万个数，还没发现结果不是1的例子。然而问题在于，仍无法证明一定不存在一个特殊的数，在这一操作下最终结果不是1。有可能存在一个特别巨大的数，在这一套操作下趋于无穷，或趋于一个除了1以外的循环的数。但至今没有人能证明这些特例的存在。
2.移动沙发问题
你要搬新家了，想把沙发搬过去。如果这个沙发很小，那没什么问题。如果是一个挺大的沙发，估计得卡在楼梯的转角处。究竟能成功转过楼道的最大沙发有多大？这个沙发不一定是矩形，可以是任何形状。
这便是“移动沙发问题”的核心，具体来说就是二维空间问题。设楼道的宽为1，转角为90°，求能转过转角的最大二维面积是多少。
求得的面积被称为“沙发常数”，没人知道它到底有多大。迄今为止，我们只知道沙发常数在2.2 195到2.8 284之间。
3.完美立方体问题
还记得勾股定理A2 B2=C2吗？A、B、C三个字母表示直角三角形的三条边的边长。现在将这个概念扩展到三维空间，在这个空间需要四个数A、B、C和G。前三个数是立方体的三维边长，G是立方体的空间对角线长度。
正如有些三角形的三边都是整数一样，存在一些立方体的三边和体对角线（A、B、C和G）都是整数，但对于立方体来说还有三个面的对角线（D、E和F），这就带来一个有趣的问题：有没有立方体满足这7条边长都是整数的条件？
若一个立方体满足A2 B2 C2 = G2，且全部的边和对角线长度都是整数，这种立方体就被称为完美立方体。数学家们测试了各种不同的可能构型，还没找到任何一个满足条件的情况。但他们也不能证明这样的立方体不存在，因此搜寻完美立方体的工作还在继续。
4.内接正方体问题
随手画一条闭合曲线，这条曲线不一定是圆形，可以是任何你想要的形状，但曲线的起、终点必须重合且曲线不能穿越自身，在这条曲线上可能找到四个点连成一个正方形。内接正方形假设的内容就是，每条闭合曲线（确切来说是每个平面内的简单闭合曲线）一定有一个内接正方形，这个正方形上的四个点都在这条闭合曲线上的某处。
许多闭合曲线上内接其他形状的问题都已经得到解決，例如矩形或三角形等，但正方形却有点复杂，至今数学家们还没有搞明白这个问题的正式证明。
5.美好结局问题
这个问题之所以被命名为“美好结局问题”，是因为它促成了一对数学家的美好姻缘：数学家George Szekeres和Esther Klein都曾致力于解决这一问题，他们最终结婚了（而这个问题仍未解决）。
这个问题是在一张纸面上随机放置5个点，假设这5个点排布不特殊（比如排在一条直线上），你总能找到其中四个点构成一个凸四边形，即四个边夹角小于180°的四边形。
除了四边形，数学家还发现，为确保构造出一个凸五边形，似乎需要9个点，六边形则需要17个点，而构造七边形和更多边形需要多少个点依然是个谜。更重要的是，理应有一个公式告诉我们对于某一边数需要多少个点，科学家们认为这个公式可能是M=1 2N-2，其中M是点数，N是边数。但至今为止数学家们能证明的也就是上述这些有限范围内的结论了。
随意选一个整数，如果它是偶数，将它除以2；如果它是奇数，将它乘以3再加1。对于得到的新数，重复操作上面的运算过程。如果一直操作下去，你每次都将得到1。
数学家们试验了数百万个数，还没发现结果不是1的例子。然而问题在于，仍无法证明一定不存在一个特殊的数，在这一操作下最终结果不是1。有可能存在一个特别巨大的数，在这一套操作下趋于无穷，或趋于一个除了1以外的循环的数。但至今没有人能证明这些特例的存在。
2.移动沙发问题
你要搬新家了，想把沙发搬过去。如果这个沙发很小，那没什么问题。如果是一个挺大的沙发，估计得卡在楼梯的转角处。究竟能成功转过楼道的最大沙发有多大？这个沙发不一定是矩形，可以是任何形状。
这便是“移动沙发问题”的核心，具体来说就是二维空间问题。设楼道的宽为1，转角为90°，求能转过转角的最大二维面积是多少。
求得的面积被称为“沙发常数”，没人知道它到底有多大。迄今为止，我们只知道沙发常数在2.2 195到2.8 284之间。
3.完美立方体问题
还记得勾股定理A2 B2=C2吗？A、B、C三个字母表示直角三角形的三条边的边长。现在将这个概念扩展到三维空间，在这个空间需要四个数A、B、C和G。前三个数是立方体的三维边长，G是立方体的空间对角线长度。
正如有些三角形的三边都是整数一样，存在一些立方体的三边和体对角线（A、B、C和G）都是整数，但对于立方体来说还有三个面的对角线（D、E和F），这就带来一个有趣的问题：有没有立方体满足这7条边长都是整数的条件？
若一个立方体满足A2 B2 C2 = G2，且全部的边和对角线长度都是整数，这种立方体就被称为完美立方体。数学家们测试了各种不同的可能构型，还没找到任何一个满足条件的情况。但他们也不能证明这样的立方体不存在，因此搜寻完美立方体的工作还在继续。
4.内接正方体问题
随手画一条闭合曲线，这条曲线不一定是圆形，可以是任何你想要的形状，但曲线的起、终点必须重合且曲线不能穿越自身，在这条曲线上可能找到四个点连成一个正方形。内接正方形假设的内容就是，每条闭合曲线（确切来说是每个平面内的简单闭合曲线）一定有一个内接正方形，这个正方形上的四个点都在这条闭合曲线上的某处。
许多闭合曲线上内接其他形状的问题都已经得到解決，例如矩形或三角形等，但正方形却有点复杂，至今数学家们还没有搞明白这个问题的正式证明。
5.美好结局问题
这个问题之所以被命名为“美好结局问题”，是因为它促成了一对数学家的美好姻缘：数学家George Szekeres和Esther Klein都曾致力于解决这一问题，他们最终结婚了（而这个问题仍未解决）。
这个问题是在一张纸面上随机放置5个点，假设这5个点排布不特殊（比如排在一条直线上），你总能找到其中四个点构成一个凸四边形，即四个边夹角小于180°的四边形。
除了四边形，数学家还发现，为确保构造出一个凸五边形，似乎需要9个点，六边形则需要17个点，而构造七边形和更多边形需要多少个点依然是个谜。更重要的是，理应有一个公式告诉我们对于某一边数需要多少个点，科学家们认为这个公式可能是M=1 2N-2，其中M是点数，N是边数。但至今为止数学家们能证明的也就是上述这些有限范围内的结论了。