摘 要:本文拟对一道高考数列不等式压轴题推广的放缩法证明过程详细剖析,进一步揭示该类问题的内在本质,体验放缩转化技巧.
　　关键词:数列不等式;压轴题;放缩法
　　
　　在近年来的高考和竞赛中,数列不等式常以压轴题的形式出现,因其思维跨度大、构造性强,需要较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性. 对学生来说,不等式在哪里放缩、怎样放缩、放缩多少等问题都是难以处理的. 下面笔者拟将2006年福建省高考压轴题(部分):
　　证明-<+++…+<(n∈N+).
　　推广为
　　若k,n∈N+,且k≥2,则-<++…+<.
　　并利用放缩法证明该不等式,进一步揭示该类问题的内在本质,体验放缩转化技巧.
　　如何证明呢?下面我们一起来分析.
　　分析容易发现=<=(放缩),即<,累加即得++…+<,右边的不等式显然成立.
　　下面关键是证明左边的不等式即++…+>-?摇①.
　　注意到右边放缩是分式放大(通过缩小分母实现较方便),那么左边的不等式(即①式)能否通过缩小分子实现分式缩小呢?经过尝试,得到了方法1.
　　方法1由==-≥-得+…+≥n•-++…+=-•>-,命题①得证.
　　方法2由方法1得到了=-,从而发现①式可转化为等价命题+…+　　下面只需证明<,即k<1,与条件矛盾. 这是怎么回事呢?仔细看看,上面的每一步都正确,看来问题出在放缩时“放过头”了. 注意到②式右边分母是k2-1,下面进行“微调”,保留第一项不动,②式左边<+-?摇+-?摇+…+-=+-=-<,又①式与②式等价,命题得证.
　　注方法1通过放缩将无法直接求和的①式转化为熟知的等比数列求和形式;方法2通过放缩将无法直接求和的②式“裂项”拆成相邻两项差的形式,一举攻克,值得品味.
　　让我们再回过头来看①式,注意到相邻两项间前一项分母与后一项分子相同,如果能转化成积的形式,则中间许多项相乘后全部抵消,于是由n维均值不等式得++…+>n•,下面若能证明n•>③,则n•>-,①式即可得证. 而③式等价于k(kn-1)>kn+1-1即k<1,与条件矛盾,看来问题还是出在放缩时“放过头”了,因此尝试将不等式右边的也用上去,即将①式转化为证明+++…+>,化简后即需证明++…+>,从而得方法3.
　　方法3由n维均值不等式,得++…+≥n•>n•=n•=,即+++…+>,①式得证.
　　注方法3通过观察式子特征,变形后利用n维均值不等式进行放缩,简洁明快,方法比前2种更为巧妙,值得细加揣摩.