[摘要]高中数学把空间向量引入到立体几何中，使几何常规问题坐标化、符号化和数量化，将复杂的推理转化为代数运算，从而降低了思维难度.探讨平面法向量的求法有现实意义.
　　[关键词]高中数学；立体几何；平面法向量
　　[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05002902
　　平面法向量的定义：如果n⊥α，那么向量n叫作平面α的法向量.
　　一、方程法
　　利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组.但由于有三个未知数，两个方程，所以要设定一个变量的值才能求解.要使法向量简洁，设值可灵活（注意：取值不能取“0”），法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以.
　　【例1】已知向量a、b是平面α内的两个不共线的向量，
　　a=（1，2，3）
　　，
　　b=（2，1，-1）
　　，求平面α的一个法向量.
　　解析：设n=（x，y，z）为平面α的法向量，则由
　　n⊥a，n⊥b得
　　n·a=0
　　n·b=0
　　，
　　即
　　x 2y 3z=0
　　2x y-z=0
　　，令z=1，则
　　x 3y=-3
　　2x y=1，
　　∴
　　x=53
　　y=-73.
　　所以平面α的一个法向量为n=
　　53，-73，1
　　.
　　【例2】已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC.
　　【证明】以点D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图1，则
　　A1C1=（-1，-1，0），
　　B1C=（-1，0，-1），
　　A1D=（1，0，1），
　　B1A=（0，-1，-1），
　　设A1E=λA1C1，
　　A1F=μA1D
　　，B1M=vB1A（λ、μ、v∈R
　　，且均不为0），
　　n1
　　=（x1，y1，z1）
　　、
　　n2
　　=（x2，y2，z2）
　　分别为平面A1EF与平面B1MC的法向量，
　　由
　　n1·A1E=0
　　n1·A1F=0
　　，可得
　　n1·λA1C1=0
　　n2·μA1D=0
　　，
　　即
　　n1·A1C1=0
　　n2·A1D=0
　　.
　　解之得n1=（1，1，-1）.
　　由
　　n2·B1M=0
　　n2·B1C=0
　　，可得
　　n2·vB1A=0
　　n2·B1C=0
　　，
　　即
　　n2·B1A=0
　　n2·B1C=0
　　，
　　解之得n2=（-1，1，-1）.
　　∴n1=-n2
　　，n1∥n2，∴平面
　　A1EF∥
　　平面B1MC.
　　二、行列式法
　　利用二階行列式：
　　M=
　　ab
　　cd
　　=ad-cb
　　（交叉相乘再相减）.
　　设向量a、b为空间中两个不平行的非零向量，且a=（x1，y1，z1），
　　b=（x2，y2，z2）
　　，则平面α的法向量
　　n=
　　y1z1
　　y2z2
　　，
　　-
　　x1z1
　　x2z2
　　，
　　x1y1
　　x2y2
　　.
　　【技巧】首先把向量a、b的坐标竖方向对着写，接着要求n的哪个轴的数据就在竖方向相应划掉向量a、b哪个轴的数据，然后交叉相乘再相减.注意y取相反数.
　　【例3】如图2，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=CD=12AB=1
　　，M是PB的中点.
　　证明：平面PAD⊥平面PCD.
　　解析：以A点为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图3.则
　　A（0，0，0），D（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）
　　.∴AP=（0，0，1）
　　，
　　DC=（0，1，0）
　　，AD=（1，0，0）
　　，DP=（-1，0，1）.
　　设m=（x1，y1，z1），
　　n=（x2，y2，z2）
　　分别为平面PAD与平面PCD的法向量，则由平面法向量速解法求得
　　m=（0-0，-（0-1），0-0）=（0，1，0）
　　，n=（1-0，-
　　（0-0），[0-（-1）]）=（1，0，1），
　　∴m·n=0
　　，
　　∴m⊥n
　　，即平面PAD⊥平面PCD.
　　图4
　　【例4】已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的余弦值.
　　解析：以点D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系D-zyz，如图4所示，则
　　D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）
　　.∴A1B=（0，1，-1）
　　，AD=（-1，0，0）
　　，A1C1=
　　（-1，1，0），
　　AC=（-1，1，0）
　　.
　　设
　　n1=（x1，y1，z1）、
　　n2=（x2，y2，z2）分别为平面A1BC1与平面ABCD的法向量，则
　　方法一：由
　　n1·A1B=0
　　n1·A1C1=0
　　及
　　n2·AD=0
　　n2·AC1=0
　　可解得
　　n1=（1，1，1）
　　n2=（0，0，1）.
　　方法二：
　　n1=（0-（-1），-[0-（-1）]）=（1，1，1），
　　n2=（0-0，-（0-0），-1-0）=（0，0，-1）=-（0，0，1），
　　∴
　　n1=（1，1，1）
　　n2=（0，0，1）
　　.∴cos=
　　n1·n2
　　|n1|·|n2|
　　=33
　　.
　　因此平面A1BC1与平面ABCD所成二面角的余弦值为33.
　　【点评】用法向量的夹角求二面角时应注意，平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同，求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.
　　（责任编辑黄桂坚）