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乘法分配律是在学生学习了加法和乘法的交换律、结合律之后再一次深入认识运算律。与交换律、结合律相比较，乘法分配律的形式复杂，算理抽象，变式多样，难学易错。加之它属于“计算”范畴，内容单一，形式单调，课堂难以生动。这些都使得乘法分配律的教学成为大家公认的难点。
不过，“一滴水也能折射出一个世界”。细细琢磨，《乘法分配律》的教学并非是“一杯白开水”。姜胜男老师的课堂设计着力体现教学中的“儿童立场”，让学生学得自主，学得自由，学得自然，这是教学的“大境界”，也是教育教学的核心价值追求。这种由“教”向“学”的视角转换，正是当下课程改革“再出发”的方向之一。无论何种教育，归根结底只有通过儿童自身的选择与建构，才有可能真正形成儿童发展。一节课，不管多么生动、热闹、精彩，如果不能真正地从学生的实际出发，并真实地呈现学生在学习过程中内心的想法、遭遇的困惑、思维的差异、发展的轨迹、个性的展示……那课堂的品质一定会大打折扣。客观地看，姜胜男老师的课堂离最理想的境界尚有差距，但是，“方向对了，再远的目标总能到达”，只要我们心中始终有学生，自觉持守以学定教、学教相长的理念，从一个个具体的教学环节、细节做起，学生数学课堂学习的面貌一定会有很大的改变。面对传统的“教”为中心、“教”为核心的惯性思维，我们还需要用很长的时间、花很大的力气来实现课堂教学形态的转型。这是数学课堂向纵深进发的要义之一。
换一个角度来看，数学课应该凸显数学“本味”，通过数学学习，儿童应该更加了解数学，理解数学，“懂”数学，爱数学。向学科本身回归是数学课程标准修订的明显特点，数学基本思想、基本活动经验、数学模型、几何直观、符号意识、数据分析观念等核心概念的提出，算盘、扇形、常见数量关系等内容的复归，“充分考虑数学自身的特点，体现数学的实质”、“重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”等课程设计思路的明确，都充分说明了数学课程改革的学科倾向。从这一角度来看姜胜男老师的《乘法分配律》，可圈可点之处还是很多的，下面选取数学课程标准修订稿中提出的几个核心词试做说明。
一、“数感”方面
学生要发现等式中隐含的规律，没有数字敏感性，是很难做到的。但对乘法分配律的理解、应用更需要学生有很强的数感。为此，姜老师整个后半节课的教学几乎都是在这个“点”上用力，除了教学设计中出现的等式特征的描述、“我能填”“我能连”中的相同乘数的强化、“我能选”中简便计算的渗透，实际教学时，课件中还多次出现用红色字凸显相同乘数，用手势动作区别乘、加运算等。可谓是高频率、“重头戏”。
二、“符号意识”方面
让学生尝试用自己的方式表示乘法分配律，并逐步抽象和符号化直至用字母式子（a b）×c=a×c b×c来表示乘法分配律，是常见常用的教学思路。在姜胜男老师的课堂上，这样的思路被演绎得更加细腻和充分。一是增加了数字、符号合并使用（如：7×★ 3×★）的“中间”形式，铺设了抽象的台阶，减缓了思考坡度；二是在图形、文字、字母等多种表达形式中，突出字母表达的简洁性；三是追问用字母表示的“灵感来自于哪里”，勾连起先前学习交换律、结合律时的经验，使得学习有了整体感。当然，数学课程标准在修订时将原来的“符号感”调整为“符号意识”，并提出“建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”的新解释。这意味着，相对于传统的教学要求而言，学生在数学学习中不仅能运用符号，还要尽可能让他们“领悟”到字母、图形、数字等符号本身就是特殊的数学语言，这些符号语言是人们慎重地、有意地而且经常是精心地设计的，意义丰富且自成体系。凭借数学语言的严密性、简洁性、操作性、共同性，人们表达和研究数学思想，丰富和发展着数学。随着数学在社会生产和日常生活中的运用越来越广泛，数学的功用越来越强大，数学的符号语言也将越来越重要。从这一点来看，儿童学习数学，有必要将“符号”作为重要的学习内容和目标；儿童学习数学，也必须要走进数学独特的符号世界。
三、“几何直观”方面
几何直观原本出现在高中数学课程标准中，现在成为义务教育数学课程标准的核心词。课标指出：几何直观具有十分重要的价值，它“可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”。小学数学课堂中，直观手段的运用一直得到重视。比如，姜胜男老师的课上，为了让学生更加清楚地区别“配套”算（55 45）×5和“分别”算55×5 45×5，课件给出直观图示；为了理解“分别”“分配”的含义，在算式上动态添加连接箭头（如下图）。这些不经意间出现的直观图示，能很好地滋润学生抽象的思维。越抽象的东西越要直观，越直观的东西也越要有抽象，直观与抽象是交融的。当然，“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知”（徐利治语），如果能将乘法分配律转用几何图形来表达（如，长为a和b、宽都是c的两个长方形面积之和），那就是更高水平、更为本真的几何直观。
四、“模型思想”方面
义务教育数学课程标准对模型思想的解释是：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”客观地看，没有提“模型思想”时，乘法分配律的教学其实也很好地体现了“建模教学”：先研究一些具体的案例，从案例中找到规律，再验证规律的正确性并用字母式子表达出来。字母式子（a b）×c=a×c b×c既是诸多具体的等式抽象的结果，又具有无限包容性和扩展性。这就是建模教学，只不过原来不讲这是建模罢了。当然，从小学生学习的实际出发，这种字母关系的模型还是比较抽象的，如果能辅之以更加直观的图形模型来帮助理解就更好了。比如，我们可以将所有的乘法分配律算式，都看成是有一条边相等的两个长方形面积之和，那么，这样的两个长方形也就成为一种图形模型。我们还可以将所有的乘法分配律算式，看成是同时出发相向而行的两个运动物体之路程和，那相遇问题的线段图也成为一种图形模型。再比如，有位教师在课前谈话中创设了老师与学生见面握手的情景，教师与学生一个一个地分别握，这是一般握手，老师与全班学生一起握，这叫“超级握手”。不同的握手方式也诠释了乘法分配律的本质，我们不妨将之称为“动作模型”。从模型的角度来组织教学，可以更加凸显“抽象—推理—建模”的数学基本思想，体会数学的学科特性，也可为后续更加抽象、逻辑、理性的数学学习打好基础。
五、“推理能力”方面
推理就是从事实出发，推测出结论，一般包含合情推理和演绎推理。前者通过归纳和类比等推测结果，后者从已有的定义、公理、定理等出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）证明结论。乘法分配律的教学普遍采用不完全归纳推理，即从特殊到一般的合情推理。那如何体现“合乎情理”？姜老师的课堂上让学生举出大量的正例，并追问有没有反例，由此来“证实”发现的规律是正确的。不仅如此，此前，姜老师还让学生联系乘法的意义来解释（5 10）×32与5×32 10×32相等的依据，结课时拓展到多个数的和与一个数相乘的联想，这又具有了演绎推理的色彩。相比较而言，小学阶段的数学学习非常重视且普遍使用不完全归纳法，但不完全归纳法的特点是得到的结果可能对也可能错。过去，我们并不要求学生对此“深究”，但从发展学生思维深刻性和培养推理能力的角度来看，我们是否可以在举出很多正例后追问：“这样的例子能举完吗？有举到反例的吗？万一有一个反例偏偏我们没有找到怎么办？”然后引导学生跳出例子来讲“理”，即每个等式都可以看成是“几个几加几个几”“合起来共有几个几”的乘法原理，包括最后拓展到乘法对减法的分配律、多个数连加乘一个数时，都蕴含着同样的“理”。既然“理”是一样的，数学又是追求简洁的，那么用（a b）×c=a×c b×c这道式子，看起来是三个数，其实又不限于只是三个数的情况，数学的丰富性和简约性完美地统一。
除了上述五个核心词外，运算能力、创新意识的培养也是乘法分配律教学中的重要元素，在此不再赘述。
总的说来，儿童立场、学科本味是数学课堂向纵深进发的两个重要支杆。有“深度”是不是就要加“难度”？其实不然，学科本味是“根”，儿童立场是“魂”，当学习都基于儿童、符合儿童、儿童自主、自为时，一切都顺理成章了。何况，有些要求只是在小学阶段做些渗透、点拨、熏陶，绝非达标性的硬目标，对此，我们一定要有清醒的认识。
（作者单位：江苏省海安县实验小学）
不过，“一滴水也能折射出一个世界”。细细琢磨，《乘法分配律》的教学并非是“一杯白开水”。姜胜男老师的课堂设计着力体现教学中的“儿童立场”，让学生学得自主，学得自由，学得自然，这是教学的“大境界”，也是教育教学的核心价值追求。这种由“教”向“学”的视角转换，正是当下课程改革“再出发”的方向之一。无论何种教育，归根结底只有通过儿童自身的选择与建构，才有可能真正形成儿童发展。一节课，不管多么生动、热闹、精彩，如果不能真正地从学生的实际出发，并真实地呈现学生在学习过程中内心的想法、遭遇的困惑、思维的差异、发展的轨迹、个性的展示……那课堂的品质一定会大打折扣。客观地看，姜胜男老师的课堂离最理想的境界尚有差距，但是，“方向对了，再远的目标总能到达”，只要我们心中始终有学生，自觉持守以学定教、学教相长的理念，从一个个具体的教学环节、细节做起，学生数学课堂学习的面貌一定会有很大的改变。面对传统的“教”为中心、“教”为核心的惯性思维，我们还需要用很长的时间、花很大的力气来实现课堂教学形态的转型。这是数学课堂向纵深进发的要义之一。
换一个角度来看，数学课应该凸显数学“本味”，通过数学学习，儿童应该更加了解数学，理解数学，“懂”数学，爱数学。向学科本身回归是数学课程标准修订的明显特点，数学基本思想、基本活动经验、数学模型、几何直观、符号意识、数据分析观念等核心概念的提出，算盘、扇形、常见数量关系等内容的复归，“充分考虑数学自身的特点，体现数学的实质”、“重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”等课程设计思路的明确，都充分说明了数学课程改革的学科倾向。从这一角度来看姜胜男老师的《乘法分配律》，可圈可点之处还是很多的，下面选取数学课程标准修订稿中提出的几个核心词试做说明。
一、“数感”方面
学生要发现等式中隐含的规律，没有数字敏感性，是很难做到的。但对乘法分配律的理解、应用更需要学生有很强的数感。为此，姜老师整个后半节课的教学几乎都是在这个“点”上用力，除了教学设计中出现的等式特征的描述、“我能填”“我能连”中的相同乘数的强化、“我能选”中简便计算的渗透，实际教学时，课件中还多次出现用红色字凸显相同乘数，用手势动作区别乘、加运算等。可谓是高频率、“重头戏”。
二、“符号意识”方面
让学生尝试用自己的方式表示乘法分配律，并逐步抽象和符号化直至用字母式子（a b）×c=a×c b×c来表示乘法分配律，是常见常用的教学思路。在姜胜男老师的课堂上，这样的思路被演绎得更加细腻和充分。一是增加了数字、符号合并使用（如：7×★ 3×★）的“中间”形式，铺设了抽象的台阶，减缓了思考坡度；二是在图形、文字、字母等多种表达形式中，突出字母表达的简洁性；三是追问用字母表示的“灵感来自于哪里”，勾连起先前学习交换律、结合律时的经验，使得学习有了整体感。当然，数学课程标准在修订时将原来的“符号感”调整为“符号意识”，并提出“建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式”的新解释。这意味着，相对于传统的教学要求而言，学生在数学学习中不仅能运用符号，还要尽可能让他们“领悟”到字母、图形、数字等符号本身就是特殊的数学语言，这些符号语言是人们慎重地、有意地而且经常是精心地设计的，意义丰富且自成体系。凭借数学语言的严密性、简洁性、操作性、共同性，人们表达和研究数学思想，丰富和发展着数学。随着数学在社会生产和日常生活中的运用越来越广泛，数学的功用越来越强大，数学的符号语言也将越来越重要。从这一点来看，儿童学习数学，有必要将“符号”作为重要的学习内容和目标；儿童学习数学，也必须要走进数学独特的符号世界。
三、“几何直观”方面
几何直观原本出现在高中数学课程标准中，现在成为义务教育数学课程标准的核心词。课标指出：几何直观具有十分重要的价值，它“可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用”。小学数学课堂中，直观手段的运用一直得到重视。比如，姜胜男老师的课上，为了让学生更加清楚地区别“配套”算（55 45）×5和“分别”算55×5 45×5，课件给出直观图示；为了理解“分别”“分配”的含义，在算式上动态添加连接箭头（如下图）。这些不经意间出现的直观图示，能很好地滋润学生抽象的思维。越抽象的东西越要直观，越直观的东西也越要有抽象，直观与抽象是交融的。当然，“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知”（徐利治语），如果能将乘法分配律转用几何图形来表达（如，长为a和b、宽都是c的两个长方形面积之和），那就是更高水平、更为本真的几何直观。
四、“模型思想”方面
义务教育数学课程标准对模型思想的解释是：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”客观地看，没有提“模型思想”时，乘法分配律的教学其实也很好地体现了“建模教学”：先研究一些具体的案例，从案例中找到规律，再验证规律的正确性并用字母式子表达出来。字母式子（a b）×c=a×c b×c既是诸多具体的等式抽象的结果，又具有无限包容性和扩展性。这就是建模教学，只不过原来不讲这是建模罢了。当然，从小学生学习的实际出发，这种字母关系的模型还是比较抽象的，如果能辅之以更加直观的图形模型来帮助理解就更好了。比如，我们可以将所有的乘法分配律算式，都看成是有一条边相等的两个长方形面积之和，那么，这样的两个长方形也就成为一种图形模型。我们还可以将所有的乘法分配律算式，看成是同时出发相向而行的两个运动物体之路程和，那相遇问题的线段图也成为一种图形模型。再比如，有位教师在课前谈话中创设了老师与学生见面握手的情景，教师与学生一个一个地分别握，这是一般握手，老师与全班学生一起握，这叫“超级握手”。不同的握手方式也诠释了乘法分配律的本质，我们不妨将之称为“动作模型”。从模型的角度来组织教学，可以更加凸显“抽象—推理—建模”的数学基本思想，体会数学的学科特性，也可为后续更加抽象、逻辑、理性的数学学习打好基础。
五、“推理能力”方面
推理就是从事实出发，推测出结论，一般包含合情推理和演绎推理。前者通过归纳和类比等推测结果，后者从已有的定义、公理、定理等出发，按照规定的法则（包括逻辑和运算）证明结论。乘法分配律的教学普遍采用不完全归纳推理，即从特殊到一般的合情推理。那如何体现“合乎情理”？姜老师的课堂上让学生举出大量的正例，并追问有没有反例，由此来“证实”发现的规律是正确的。不仅如此，此前，姜老师还让学生联系乘法的意义来解释（5 10）×32与5×32 10×32相等的依据，结课时拓展到多个数的和与一个数相乘的联想，这又具有了演绎推理的色彩。相比较而言，小学阶段的数学学习非常重视且普遍使用不完全归纳法，但不完全归纳法的特点是得到的结果可能对也可能错。过去，我们并不要求学生对此“深究”，但从发展学生思维深刻性和培养推理能力的角度来看，我们是否可以在举出很多正例后追问：“这样的例子能举完吗？有举到反例的吗？万一有一个反例偏偏我们没有找到怎么办？”然后引导学生跳出例子来讲“理”，即每个等式都可以看成是“几个几加几个几”“合起来共有几个几”的乘法原理，包括最后拓展到乘法对减法的分配律、多个数连加乘一个数时，都蕴含着同样的“理”。既然“理”是一样的，数学又是追求简洁的，那么用（a b）×c=a×c b×c这道式子，看起来是三个数，其实又不限于只是三个数的情况，数学的丰富性和简约性完美地统一。
除了上述五个核心词外，运算能力、创新意识的培养也是乘法分配律教学中的重要元素，在此不再赘述。
总的说来，儿童立场、学科本味是数学课堂向纵深进发的两个重要支杆。有“深度”是不是就要加“难度”？其实不然，学科本味是“根”，儿童立场是“魂”，当学习都基于儿童、符合儿童、儿童自主、自为时，一切都顺理成章了。何况，有些要求只是在小学阶段做些渗透、点拨、熏陶，绝非达标性的硬目标，对此，我们一定要有清醒的认识。
（作者单位：江苏省海安县实验小学）