摘要：一堂数学课的教学目标达成程度可以用来衡量这堂课的质量。因此，可以用认知主义与建构主义两种教学观对各个维度下的教学目标的贡献来推断一堂优质数学课中两种观念各自的相对权重。基于层次分析方法，将一堂优质数学课的构成分成四个层次并且建立评价模型。根据对二到四层进行理论推导得出的判断矩阵来计算两种教学观的相对权重。最终从整体以及各个子结构中审视两种教学观的相对权重，从而明晰在数学教学中要根据不同的境况采取合理的教学观。
　　关键词：建构主义 认知主义 优质数学课 数学教学目标 相对权重
　　一、认知主义和建构主义数学教学观
　　教师的数学教学观由数学观、认知观和教学观这三个部分构成[1]。认知主义数学教学观的主要表现：数学观上认为世界是由客观的物体及其属性和物体间的关系所构成，学习的目标在于将外在的这些事物及其属性和关系内化为学习者的认知结构;认知观上认为学习是知觉的重组、顿悟的过程、认知结构发展的过程、知识同化的过程以及信息加工的过程;教学观上认为教学目标就是要掌握数学基础知识与基本技能、发展数学能力，学生作为学的主体，在教的主体——教师的指导下主动的探索情境和加工信息，提倡发现学习以及有意义的接受学习的教学方法，采用行为测验和认知分析相结合的评价方法。建构主义数学教学观的主要表现：在数学观上，社会建构主义将数学视为社会建构的产物，认为数学知识是发展变化的、可误的，数学理论在不断的否定中进行发展[2];认知观上，数学的抽象性说明了数学学习是一个知识的建构过程，并且交互性是这个过程的关键，因此数学学习就发生在师生间多边的交互性活动中[3];教学观上认为教学的目标是要引导学生开展高水平的思维活动，并且达到对知识的深层理解。[4]认知主义与建构主义在数学观、认知观以及教学观上表现出不同的倾向，在不同的倾向上展现着各自的教学优势，但也无法掩盖各自的缺陷，我们对这两种教学观要辩证地对待。
　　二、建立模型及判断矩阵
　　判断一堂数学课的好坏，不是只看教师讲得如何流畅，课堂气氛如何热烈，板书如何漂亮，更主要的（也是首先应该考虑的）是看这堂课的教学目的是否订得合适、教学目的是否达到。[5]为了更直观地阐述认知主义教学观与建构主义教学观对一堂优质数学课的影响，利用AHP方法把衡量数学教学质量的教学目标分成三个维度，然后将具体教学目标按照这三个维度进行归类，从而建立起优质数学课的目标体系，通过理论分析得到各个层次的以及这两种教学观针对不同具体教学目标的判断矩阵，最终可以算出它们在优质数学课中的相对权重。本处采用1、3、5三个尺度进行同层次因素的两两比较。
　　1.建立模型
　　模型的决策目标是“优质数学课”，所以第一个中间层三要素是知识与技能、过程与方法以及情感态度与价值观这三个维度。第二个中间层要素就是按照三个维度所划分的具体的数学教学目标。知识与技能指的是事实、规则以及动作序列这类知识目标，过程与方法涉及的是如何学习和运用事实、规则以及动作序列这类知识，而情感态度与价值观指的是在实现过程与方法这个维度的目标时所形成的相对稳定的东西，如能力、兴趣、态度等。[6]因此，知识与技能这一维度应该包含数学概念、数学命题、数学技能;过程与方法这一维度包括问题解决和数学思想方法;情感态度与价值观包括良好的数学价值与兴趣、数学能力。备选方案包含认知主义数学教学观和建构主义数学教学观。模型如下图1所示。
　　2.建立第一中间层要素的判断矩阵
　　2013年国家教育部制定的《普通高中数学新课程标准（实验）》中表明数学担任的是一个科学语言和有效工具的角色，通过数学教育，学生必须掌握基础知识、基本技能、基本思想，形成符合社会需求的精神态度，并且能够用数学的思考方式解决问题、认知世界。在时间有限的一堂数学课上，教学目标将进一步具体化、现实化。知识与技能的教学目标是最为关键的，这个维度的目标达成与否将直接影响到以后的数学学习。知识与技能虽然关键却是数学教学中最基本的目标，这个层次的学习是为学生形成CPFS结构、掌握数学思想方法做基础。形成CPFS结构、掌握数学思想方法只能通过过程与方法这一维度目标的落实而实现，而且过程与方法目标的落实直接影响到学生数学能力的发展、情感价值观的形成。情感态度与价值观这一维度教学目标涉及到形式上的数学教育，在学生一生的发展过程中扮演非常重要的角色，但该维度的教学目标要通过长期的数学学习才能实现，教师在一堂课中落实过程与方法这个维度的目标时只能予以重视。因此，衡量一堂课是否具有高质量首先应该看过程与方法这一维度目标的落实情况，其次是知识与技能、最后才是情感态度与价值观。形成的判断矩阵如表1所示。
　　表1 第一中间层要素的判断矩阵
　　3.建立第二中间层要素的判断矩阵
　　（1）认知与技能维度下三要素判断
　　在中学数学中，概念、命题以及相关的数学技能构成了数学内容，而这些内容是中学数学基础知识的一部分。这部分的掌握对于中学数学教学来说是最基本的要求，构成了学生认知结构的元素。基础知识是有系统性的……也就是说它的每一个概念都用前面的概念来定义，每一个定理都用前面的定理、公理来证明。[7]然而在数学知识学习和应用的过程中，学习者对动作经验的积累而逐渐形成数学技能。同时，数学技能又影响着数学知识的学习，因此，数学技能的形成标志着学习者对数学知识的掌握。这三要素组成了完整的数学教学内容，所以，在知识与技能这一维度下，数学概念与数学命题是同等重要的，都必须作为最基本的要求来实现，而数学技能的学习明显要高于前两要素。得到的判断矩阵如表2所示。
　　表2 知识与技能三要素的判断矩阵
　　（2）过程与方法维度下两要素判断
　　数学基础知识除了概念、命题以及数学技能外，还包括教学内容所反映的数学思想与方法。按照波兰尼对知识的划分，数学思想方法属于默会知识。默会知识（怎么想，怎么做）本质上是理解力和领悟，存在于个人经验（个体性），镶嵌于实际活动中（情境性）[8]，这部分知识相当于冰山的水下部分，而且占了数学知识的相当大的比重。然而数学思想方法是一种只能意会不能言传的知识，只有在活动中获得体验才能领悟到这类知识。从数学课堂上讲，这种活动主要是围绕数学知识的学习和应用展开的。学生在问题解决过程中学习和使用数学知识，进而对数学知识产生理解，使知识点之间建立关系，达到建构主义的高级学习。所以说数学问题解决是获得数学思想方法的前提，为教师在教学中进行思想方法的渗透提供了知识和经验的基础，使学生获得数学思想方法成为可能。因此在一堂数学课中，数学问题解决这一目标的实现应先于数学思想方法的获得。两因素的判断如表3所示。