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【摘要】动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的数学方法，在经济金融领域有着广泛的应用。在我们传统研究投资组合问题所使用的马科维茨模型中，通常假设收益率和风险是固定不变的，并且只构造一次投资组合决策，然而在现实世界中，这显然是不够的，由于市场具有不确定性，资产的收益率和风险随时间而改变，并且我们可以在不同的投资阶段采取不同的投资决策，投资决策是动态的。因此，本文将基于传统的马克维茨均值-方差模型，运用动态规划的相关知识，构建一个不超过投资者风险承受能力情况下，以最终的总收益最大为目标的动态规划模型，实现多阶段投资的最优决策。
【关键词】动态规划 多阶段资产投资 马科维茨模型
一、基本假设
假设某资产市场中共有n种资产可供投资者进行选择，投资可以分为m个阶段，在每一阶段中该投资者都可在这n中资产中进行投资。假设投资者可以根据市场合理预期未来进行投资的m个阶段中每个阶段每种资产的平均收益率。设在第j（j=1，…，m）个阶段初购买第i（i=1，…，n）种资产，到该阶段末时的平均收益率为rij；并且，投资者在j阶段期初可对j-1阶段期末所持有的资产进行决策，决定这些资产是继续持有还是出售，而出售资产所得的资金可继续投入用于j阶段资产的购买。
为了简化问题的考虑，我们有以下假设：首先，投资者只在投资开始时（即第一阶段初）向资产市场投入一定数额的自有资金此后不再投入其它自有资金；同时，每一阶段投资所获收益不会抽出而是继续用于剩余阶段的投资或留作自有资金，也就是说，整个投资环境相对封闭，即投资者最终持有的资产和资金只是由最初的自有资金进行了m个阶段的投资后获得的，；其次，在资产投资中，不允许卖空行为，即投资者只允许出售手中所持有的资产；最后，假设投资是持续的，即j-1阶段期末与j阶段期初是同一时刻，投资者此时所持有的资产及自有资金的数额是相同的。
二、定义数学符号
接下来，我们引入一些数学符号：
xij——第j阶段初，投资者拥有的第i种资产数量（j=1，…，m；i=1，…，n）；
tj——第j阶段初，投资者拥有的自由资金数额（j=1，…，m）；
则（xij，tj）表示第j阶段初投资者持有的资产数量和自由资金数额的状态，也就是动态规划模型中所讨论的第j阶段初的投资状态变量，记为Xj（j=1，…，m）；
uij——第j阶段初，投资者对第i种资产的交易金额（j=1，…，m；i=1，…，n）；
（其中：uij<0表示投资者出售第i种资产，uij>0表示投资者购买第i种资产），
则（uij）表示第j阶段投资者的资产投资交易的情况，也就是动态规划模型中所讨论的第j阶段的投资决策变量，记为Uj（j=1，…，m）；
M——投资开始时，投资者向资产市场投入的自由资金数额；
σij——第j阶段，第i种资产的标准差；
covabj——第j阶段，任意兩种资产之间的协方差；
R——投资者最高风险承受能力。
三、模型建立
接下来，根据假设和定义，我们可以得到如下关系：
，根据定义，可知，投资者要求在每一阶段所承担的风险都不能超过风险上限，即
（7）
以上就是根据假设和定义得到的资金和风险约束条件，接下来构造目标函数用阶段末持有的资金总量与阶段初持有的资金总量的差值来衡量投资收益，即目标函数
通过求解上述动态规划模型，可得到投资者m阶段投资的最有决策。
四、总结
通过求解上述模型，设解得U*=（U1*，…，Um*）为最优解，U*是投资者进行m个阶段投资的整体最优策略，即在全部投资阶段结束之后，投资者可以在投资自有资金一定且不超过自身所能承受风险的情况下获得醉倒的投资收益。其中，Uj*是在该整体最优策略中第j个阶段的投资决策，其中包含对每种资产的投资决策Uij，其数值的正负代表购买还是出售该资产，数值的大小代表具体购买或者出售资产的数量；而且，模型中的每一个可行解都代表实际投资中出售及购买资产的可行方案。
同时，由动态规划的性质可知，U*满足最优化原理：无论初始状态及其初始决策如何，其以后诸决策对以第一个决策所形成的状态作为初始状态而言，都构成最优策略。因此，不论初始状态如何，投资者都可以在现有阶段做出最优决策。此基于马科维茨均值-方差模型的动态规划模型具有很强的现实意义。
参考文献
[1]Markowitz.H.M.Portfolio Selection[J].Journal of Finance，1952：（12）：151-158.
[2]Alexande.G.J.，Sharpe.W.F.Fundamentals of Investments[M].Prentice-Hall Inc.，1989，132-140.
[3]Levy.H.，Sarnat.M.Portfolio and Investment Selection[M].Prentice-Hall International Inc，1984.
[4]Arrow.K.J.，Intriligator.M.D Handbook of Mathematics[M].Elsevier Science Publisher B.V.，1986.
[5]徐大江.证券投资决策的多目标线性规划方法[J].系统工程理论与实践，1995，（12）：46-52.
[6]蔡宜三.最优化与最优控制[M].清华大学出版社，1982.
[7]钱颂迪，等.运筹学[M].清华大学出版社，1990.
[8]郑汉鼎，刁在筠.数学规划[M].山东科技出版社，1997.
[9]宿洁.多阶段资产投资的动态规划决策模型[J].中国管理科学，2001，（3）：55-61.
作者简介：王素素（1993-），女，汉族，山东东营人，就读于山东科技大学，研究方向：保险精算。
【关键词】动态规划 多阶段资产投资 马科维茨模型
一、基本假设
假设某资产市场中共有n种资产可供投资者进行选择，投资可以分为m个阶段，在每一阶段中该投资者都可在这n中资产中进行投资。假设投资者可以根据市场合理预期未来进行投资的m个阶段中每个阶段每种资产的平均收益率。设在第j（j=1，…，m）个阶段初购买第i（i=1，…，n）种资产，到该阶段末时的平均收益率为rij；并且，投资者在j阶段期初可对j-1阶段期末所持有的资产进行决策，决定这些资产是继续持有还是出售，而出售资产所得的资金可继续投入用于j阶段资产的购买。
为了简化问题的考虑，我们有以下假设：首先，投资者只在投资开始时（即第一阶段初）向资产市场投入一定数额的自有资金此后不再投入其它自有资金；同时，每一阶段投资所获收益不会抽出而是继续用于剩余阶段的投资或留作自有资金，也就是说，整个投资环境相对封闭，即投资者最终持有的资产和资金只是由最初的自有资金进行了m个阶段的投资后获得的，；其次，在资产投资中，不允许卖空行为，即投资者只允许出售手中所持有的资产；最后，假设投资是持续的，即j-1阶段期末与j阶段期初是同一时刻，投资者此时所持有的资产及自有资金的数额是相同的。
二、定义数学符号
接下来，我们引入一些数学符号：
xij——第j阶段初，投资者拥有的第i种资产数量（j=1，…，m；i=1，…，n）；
tj——第j阶段初，投资者拥有的自由资金数额（j=1，…，m）；
则（xij，tj）表示第j阶段初投资者持有的资产数量和自由资金数额的状态，也就是动态规划模型中所讨论的第j阶段初的投资状态变量，记为Xj（j=1，…，m）；
uij——第j阶段初，投资者对第i种资产的交易金额（j=1，…，m；i=1，…，n）；
（其中：uij<0表示投资者出售第i种资产，uij>0表示投资者购买第i种资产），
则（uij）表示第j阶段投资者的资产投资交易的情况，也就是动态规划模型中所讨论的第j阶段的投资决策变量，记为Uj（j=1，…，m）；
M——投资开始时，投资者向资产市场投入的自由资金数额；
σij——第j阶段，第i种资产的标准差；
covabj——第j阶段，任意兩种资产之间的协方差；
R——投资者最高风险承受能力。
三、模型建立
接下来，根据假设和定义，我们可以得到如下关系：
，根据定义，可知，投资者要求在每一阶段所承担的风险都不能超过风险上限，即
（7）
以上就是根据假设和定义得到的资金和风险约束条件，接下来构造目标函数用阶段末持有的资金总量与阶段初持有的资金总量的差值来衡量投资收益，即目标函数
通过求解上述动态规划模型，可得到投资者m阶段投资的最有决策。
四、总结
通过求解上述模型，设解得U*=（U1*，…，Um*）为最优解，U*是投资者进行m个阶段投资的整体最优策略，即在全部投资阶段结束之后，投资者可以在投资自有资金一定且不超过自身所能承受风险的情况下获得醉倒的投资收益。其中，Uj*是在该整体最优策略中第j个阶段的投资决策，其中包含对每种资产的投资决策Uij，其数值的正负代表购买还是出售该资产，数值的大小代表具体购买或者出售资产的数量；而且，模型中的每一个可行解都代表实际投资中出售及购买资产的可行方案。
同时，由动态规划的性质可知，U*满足最优化原理：无论初始状态及其初始决策如何，其以后诸决策对以第一个决策所形成的状态作为初始状态而言，都构成最优策略。因此，不论初始状态如何，投资者都可以在现有阶段做出最优决策。此基于马科维茨均值-方差模型的动态规划模型具有很强的现实意义。
参考文献
[1]Markowitz.H.M.Portfolio Selection[J].Journal of Finance，1952：（12）：151-158.
[2]Alexande.G.J.，Sharpe.W.F.Fundamentals of Investments[M].Prentice-Hall Inc.，1989，132-140.
[3]Levy.H.，Sarnat.M.Portfolio and Investment Selection[M].Prentice-Hall International Inc，1984.
[4]Arrow.K.J.，Intriligator.M.D Handbook of Mathematics[M].Elsevier Science Publisher B.V.，1986.
[5]徐大江.证券投资决策的多目标线性规划方法[J].系统工程理论与实践，1995，（12）：46-52.
[6]蔡宜三.最优化与最优控制[M].清华大学出版社，1982.
[7]钱颂迪，等.运筹学[M].清华大学出版社，1990.
[8]郑汉鼎，刁在筠.数学规划[M].山东科技出版社，1997.
[9]宿洁.多阶段资产投资的动态规划决策模型[J].中国管理科学，2001，（3）：55-61.
作者简介：王素素（1993-），女，汉族，山东东营人，就读于山东科技大学，研究方向：保险精算。