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摘要：本文根据实例，结合对排队论基础知识的分析，指出随意增加中继电路数量给交换系统带来的隐患。提醒我们在今后实际工作中，应科学、合理地配置交换局局间中继电路数量，让我们的网络管理更加合理，网络更加安全。
关键词：话务量 呼损概率 系统效率 排队论
1．概述：
以前，我们只是简单根据话务量等数据，凭主观推断来增扩局间中继电路数量，从来没有进行过科学、合理的分析。但是，当我们把通信理论的一些知识，结合到实际工作中，我们会发现：随意增扩中继电路数量背后却隐藏着高度的危险，甚至有可能会使电路交换系统处于崩溃的边缘，这就是我们对中继话务优化的逆向思考--即"越多越危险"理论。
不可否认，增扩中继电路数量，确实是解决话务量增长的唯一方法，但增加中继电路数量的方式却存在着科学和不科学之分，我们首先通过定量计算，来看看增扩中继电路的情况。
（1）假设A局与B局之间原有10E1，共计300条电路，每条电路平均每小时占用时长为3分钟，则在1小时内：
每条电路忙的概率为；Px=3/60= 0.05
A局与B局之间全部电路忙的概率为：Py=0.05300=4.9€?0-39
（2）如果把A局与B局之间原有10E1增扩至20E1，即电路数量变为600条，每条电路平均每小时占用时长不变，仍为3分钟，则在1小时内：
每条电路忙的概率也不变：Px=3/60= 0.05
但是A局与B局之间全部电路忙的概率产生了变化：
Py=0.05600=2.4€?0-781
（3）如果在增扩电路后，A局与B局之间全部电路忙的概率不变，即：Py=4.9€?0-391
那么，可以计算出增扩中继电路后，每条电路忙的概率：
Px=（4.9€?0-391）1/600=0.225
每条电路在1小时内的平均可占用时长为：0.225€?0=13.5（分钟）
从（1）和（2）可看出，系统扩容后，其它条件保持不变的前提下，系统呼损概率大大降低；
从（1）和（3）可看出，当中继电路呼损率保持不变时，中继电路数量每增扩1倍，每条电路的呼叫处理能力则增长13.5/3=4.5倍，这就是增扩中继电路数量给我们带来的好处。
但是，我们可以通过电路效率公式：
€%`=（A€祝?- Px））/n， A代表话务量，单位ERL。
当Px数值很小时，上述公式可记为€%`=A/n
对比事例（1）和（3），有：
A1=(€%d/60) €?
A3=(€%d/60) €?3.5，这里€%d代表一小时内的呼叫次数
再利用公式€%`=A/n可以发现电路效率€%`只增加了4.5/2=2.25倍，为什么增扩电路后每条电路的呼叫处理能力呈4.5倍增长，而电路利用率却只增长2.25倍，呈非线性关系。这就需要我们来挖掘一下增扩中继电路数量背后隐藏的弊端。
2. 排队论基础
2.1排队论的基本知识
在日常生活中，经常可以碰到一个服务系统在工作过程中产生排队等待现象。如进入机场上空的飞机等候降落，发生故障的机器等候工人修理等。如果进一步把服务系统的含义扩展，通信系统的报文在缓冲器上等候传送也可看做是排队等待现象。将具有排队等待现象的服务系统称为排队服务系统。
2.2排队系统三要素 （即顾客、排队规则和窗口）
一、顾客："顾客"是对要求得到服务的人或物的总称，顾客的来源和到达排队系统的情况会是多种多样的；顾客到达排队系统的过程称为输入过程，输入过程也分为平稳输入过程和非平稳输入过程。
二、排队规则
1．即时制和等待制
顾客到达时，如所有窗口都在工作,顾客可以当即离去，也可以排队等侯。当即离去的称为即时制或称损失制，排队等侯的称为等待制。
2．等待制根据为顾客进行服务的次序分为如下几种服务规则：
先到先服务，后到先服务，有优先权的服务，随机服务。
3．排队空间 ：而排队空间可以是具体的，也可以是抽象的；有的排队空间有容量限制，也有排队空间没有容量限制或可以看成是无限的。
4．队列数目：排队队列有单列和多列之分。
三、窗口
窗口有单一窗口和多窗口。多窗口有串联式和并联式。服务方式可以对单独顾客进行,也可以对成批顾客进行，服务时间有确定型和随机型，服务时间的分布有平稳分布和非平稳分布等。
2.3排队系统模型的分类
一、分类方法
排队系统模型根据D．G．Kendall提出的分类进行分类。此方法的分类格式如下：
X/Y/Z/m
其中，X 表示顾客相继到达间隔时间的分布
Y 表示服务时间的分布
Z 表示并列窗口的数目
m为系统内（最大）排队容量或顾客在系统中排队所允许的（最大）长度。
也就是说，D．G．Kendall分类方法是以排队系统中的主要特征，即顾客相继到达间隔时间的分布、服务时间的分布和系统内并列窗口数对排队模型进行分类的。
二、常见排队模型
1．比较常见的有下列排队模型：
M/M/l/∞；M/M/C/∞；M/M/l/N；M/M/C/N；M(N)/M/1；M(N)/M/K；M/G/l/∞；M/D/l/∞；M/Ek/1/∞
2．表示相继到达间隔时间分布(X)和服务时间分布(Y)的各种分布分别采用下列符号：
M 表示负指数分布或普阿松分布。
G 表示一般随机分布。
D 表示确定型分布。
Ek 表示k阶爱尔朗分布。
三、电路交换系统排队模型
中继电路数量为n的电路交换系统的排队模型为： M/M/n/n，多服务窗损失制。
2.4系统特性量
系统特性量是排队系统的各项基本数量指标。求解排队问题就是计算该排队系统的特性,研究该系统的状态，以便分析系统运行效率，估计系统服务状况，确定系统特性量的最优值,对系统实行最优设计、最优运营或最优控制。评价一个排队系统的好坏要以顾客和服务机构两方面利益为标准，顾客和服务机构为了照顾自己的利益对排队系统中的队长、等待时间、服务台的忙期几个指标都很关心。因此，这几个指标就成了排队论的主要研究内容。
1.队长，是指系统内的顾客总数。其平构值(期望值)用LS表示。系统内排队等待的顾客数，也称排队队长,其平均值用Lq表示。在任何排队系统中，系统内的顾客总数都等于排队等待的顾客数与正在接受服务顾客数的总和。
2.等待时间，从顾客到达系统时起-直到他被服务完离开系统时止这段时间为(该)顾客的逗留时间，其平均值用WS表示。从顾客到达时起一直到他被接受服务时止这段时间称为(该)顾客的等待时间，其平均值用Wq表示。一般来说，系统中窗口服务时间是给定的。在任何排队系统中，顾客在系统内的逗留时间都等于等待时间与接受服务时间的总和。
3.忙期，忙期是指空闲的服务机构从有顾客到达时起一直到服务机构又没有顾客时止这段时间。与忙期相对应的是闲期。它是指服务机构从开始没有顾客时起一直到服务机构有顾客时止这段时间。对于有n个服务台的系统，一般还要讨论其k阶繁忙期。
从系统中开始有k个顾客在等待服务时起一直到有一个服务台空闲时止这段时间称为该系统k阶繁忙期。零阶繁忙期称繁忙期。忙期、闲、k阶繁忙期也是随机变量。
对于不同类型的排队系统，其系统指标也将有些不同。譬如：顾客到达时不必等待就接受服务的概率，用P0表示。系统内有n个顾客的状态概率，用Pn表示。
3. 案例问题分析
借助通信网排队模型和数理统计的一些理论知识，结合实际情况进行定量分析。我们知道，在通信网的基本理论中，基于电路交换的电话交换系统，可被抽象为一种排队模型，到达中继电路的呼叫可被形象地称为顾客，它们符合泊松分布，我们也可以把到达的呼叫流称为泊松流。每条中继电路可处理一个到达的呼叫，我们可以把每条中继电路称为服务窗口。这样，按照通信排队论的基础理论，电话交换系统就是一种多服务窗损失制排队模型，在排队理论中，这种模型记为M/M/n/n。
对这类排队模型，其系统可能出现的状态必为E＝（0，1，2，…，n）中之一。这里0状态表示n个服务窗口均空闲着，系统内没有顾客到达；k(1≤k≤n)状态则表示系统内已有k个顾客，且正在某k个服务窗口前被服务着，而有n-k个服务窗空闲着。由于一旦n个服务窗口均忙着，那么新到达的顾客不得不离去另寻服务，这对系统来说是一个损失，故称损失制。
当系统处于状态1，即系统内有一个顾客在某窗口被服务，一旦服务完毕离开系统，则系统状态就处于0状态，即从状态1到状态0，转移强度（即平均服务率）为€%e；当系统处于状态k（2≤k≤n），即有某k个服务窗正为k个顾客服务，一旦其中一个顾客被服务毕离开系统时，系统便处于状态k-1，由于k个正被服务的顾客均有先被服务完毕的可能（或k个服务窗从忙到闲的可能性是均等的），故从k状态转变到k-1状态的转移强度应为k€%e。
所以我们可写出平衡条件下的K氏方程：
对0状态有：€%dp0=€%ep1
对1状态有：€%dp1=2€%ep2
对k-1状态有：€%dpk-1=k€%epk
对n-1状态有：€%dpn-1=n€%epn
根据以上方程，我们可以求得相应的目标参量
损失概率：P损=pn=(€%j1n/n!)€譸0
系统在单位时间内占用服务窗的均值：Ls=k均=€%j1（1-pn） ，其中€%j1=€%d/€%e
系统效率：€%`=Ls/n
一、案例一
如果我们假设：A局与B局之间的中继电路数量从0条一直增扩到7条，且设每分钟有10次呼叫（€%d=10），平均通话时长为3分钟（€%e=1/3），根据以上理论，可以定量地计算出呼损和系统效率等参数，如下表所示：
从上表我们可以看出，当中继电路数量从1条增加到7条时，尽管呼损率呈下降趋势，但是我们发现当中继电路数量增加到3、4、5条时，线路更紧张、繁忙（Ls数值偏大，趋近于n，即每分钟电路的平均占用数量越多）；当中继电路数量增加到6、7条时交换系统效率反而又降低了。这就是随意增扩中继电路数量的一处隐患，即当增扩后的中继电路数量如果正好处于不合理区间，则会引发严重的不良后果：线路更加繁忙、紧张、系统效率低下，甚至引发呼损率呈几何倍数增长。
二、案例二
我们还可以利用这一模型来看看，增扩中继电路后是如何使呼损率呈倍数增长的。我们再举一例，现假设两个局之间的中继电路数量先是10条，后又增扩到20条，并设初始话务量为5ERL，则相关计算结果如下表所示：
当中继电路数量为10条时，话务量增长20%，呼损率会随之增长2倍；但当中继电路数量增扩为20条时，虽然呼损率比较小，但当话务量同样也增长20%时，呼损率却呈5倍增长。这就是随意增扩中继电路数量的另一处隐患，即增扩中继电路数量后，虽然呼损率递减，但是随着话务量的增长，呼损率的敏感度会变得相当高，会随着话务量的增长而迅猛成倍地增长。
4、结论
我们利用通信网一些排队论知识，分析得出了随意增加中继电路数量带给交换系统的两种隐患。如果增扩中继电路数量正好处于不合理区间，会导致线路更加繁忙、紧张，效率低下，如果这时再遇上大话务量的冲击，呼损会成倍地增长，使系统甚至交换网络处于崩溃的边缘。为了避免这种情况的发生，我们完全可以把上述通信排队模型结合到实际工作中，科学、合理地配置交换局局间的中继电路数量，使我们的网络更加安全、工作更加科学、网络管理更加合理。
参考文献：
[1] 毛京丽张丽李文海：《现代通信网》，北京邮电大学出版社，2002年02月
[2] 陆传赉：《排队论》(第2版)，北京邮电大学出版社，2009年10月
作者简介：范忠明（1975.5-），男，本科学历，西安电子科技大学。
关键词：话务量 呼损概率 系统效率 排队论
1．概述：
以前，我们只是简单根据话务量等数据，凭主观推断来增扩局间中继电路数量，从来没有进行过科学、合理的分析。但是，当我们把通信理论的一些知识，结合到实际工作中，我们会发现：随意增扩中继电路数量背后却隐藏着高度的危险，甚至有可能会使电路交换系统处于崩溃的边缘，这就是我们对中继话务优化的逆向思考--即"越多越危险"理论。
不可否认，增扩中继电路数量，确实是解决话务量增长的唯一方法，但增加中继电路数量的方式却存在着科学和不科学之分，我们首先通过定量计算，来看看增扩中继电路的情况。
（1）假设A局与B局之间原有10E1，共计300条电路，每条电路平均每小时占用时长为3分钟，则在1小时内：
每条电路忙的概率为；Px=3/60= 0.05
A局与B局之间全部电路忙的概率为：Py=0.05300=4.9€?0-39
（2）如果把A局与B局之间原有10E1增扩至20E1，即电路数量变为600条，每条电路平均每小时占用时长不变，仍为3分钟，则在1小时内：
每条电路忙的概率也不变：Px=3/60= 0.05
但是A局与B局之间全部电路忙的概率产生了变化：
Py=0.05600=2.4€?0-781
（3）如果在增扩电路后，A局与B局之间全部电路忙的概率不变，即：Py=4.9€?0-391
那么，可以计算出增扩中继电路后，每条电路忙的概率：
Px=（4.9€?0-391）1/600=0.225
每条电路在1小时内的平均可占用时长为：0.225€?0=13.5（分钟）
从（1）和（2）可看出，系统扩容后，其它条件保持不变的前提下，系统呼损概率大大降低；
从（1）和（3）可看出，当中继电路呼损率保持不变时，中继电路数量每增扩1倍，每条电路的呼叫处理能力则增长13.5/3=4.5倍，这就是增扩中继电路数量给我们带来的好处。
但是，我们可以通过电路效率公式：
€%`=（A€祝?- Px））/n， A代表话务量，单位ERL。
当Px数值很小时，上述公式可记为€%`=A/n
对比事例（1）和（3），有：
A1=(€%d/60) €?
A3=(€%d/60) €?3.5，这里€%d代表一小时内的呼叫次数
再利用公式€%`=A/n可以发现电路效率€%`只增加了4.5/2=2.25倍，为什么增扩电路后每条电路的呼叫处理能力呈4.5倍增长，而电路利用率却只增长2.25倍，呈非线性关系。这就需要我们来挖掘一下增扩中继电路数量背后隐藏的弊端。
2. 排队论基础
2.1排队论的基本知识
在日常生活中，经常可以碰到一个服务系统在工作过程中产生排队等待现象。如进入机场上空的飞机等候降落，发生故障的机器等候工人修理等。如果进一步把服务系统的含义扩展，通信系统的报文在缓冲器上等候传送也可看做是排队等待现象。将具有排队等待现象的服务系统称为排队服务系统。
2.2排队系统三要素 （即顾客、排队规则和窗口）
一、顾客："顾客"是对要求得到服务的人或物的总称，顾客的来源和到达排队系统的情况会是多种多样的；顾客到达排队系统的过程称为输入过程，输入过程也分为平稳输入过程和非平稳输入过程。
二、排队规则
1．即时制和等待制
顾客到达时，如所有窗口都在工作,顾客可以当即离去，也可以排队等侯。当即离去的称为即时制或称损失制，排队等侯的称为等待制。
2．等待制根据为顾客进行服务的次序分为如下几种服务规则：
先到先服务，后到先服务，有优先权的服务，随机服务。
3．排队空间 ：而排队空间可以是具体的，也可以是抽象的；有的排队空间有容量限制，也有排队空间没有容量限制或可以看成是无限的。
4．队列数目：排队队列有单列和多列之分。
三、窗口
窗口有单一窗口和多窗口。多窗口有串联式和并联式。服务方式可以对单独顾客进行,也可以对成批顾客进行，服务时间有确定型和随机型，服务时间的分布有平稳分布和非平稳分布等。
2.3排队系统模型的分类
一、分类方法
排队系统模型根据D．G．Kendall提出的分类进行分类。此方法的分类格式如下：
X/Y/Z/m
其中，X 表示顾客相继到达间隔时间的分布
Y 表示服务时间的分布
Z 表示并列窗口的数目
m为系统内（最大）排队容量或顾客在系统中排队所允许的（最大）长度。
也就是说，D．G．Kendall分类方法是以排队系统中的主要特征，即顾客相继到达间隔时间的分布、服务时间的分布和系统内并列窗口数对排队模型进行分类的。
二、常见排队模型
1．比较常见的有下列排队模型：
M/M/l/∞；M/M/C/∞；M/M/l/N；M/M/C/N；M(N)/M/1；M(N)/M/K；M/G/l/∞；M/D/l/∞；M/Ek/1/∞
2．表示相继到达间隔时间分布(X)和服务时间分布(Y)的各种分布分别采用下列符号：
M 表示负指数分布或普阿松分布。
G 表示一般随机分布。
D 表示确定型分布。
Ek 表示k阶爱尔朗分布。
三、电路交换系统排队模型
中继电路数量为n的电路交换系统的排队模型为： M/M/n/n，多服务窗损失制。
2.4系统特性量
系统特性量是排队系统的各项基本数量指标。求解排队问题就是计算该排队系统的特性,研究该系统的状态，以便分析系统运行效率，估计系统服务状况，确定系统特性量的最优值,对系统实行最优设计、最优运营或最优控制。评价一个排队系统的好坏要以顾客和服务机构两方面利益为标准，顾客和服务机构为了照顾自己的利益对排队系统中的队长、等待时间、服务台的忙期几个指标都很关心。因此，这几个指标就成了排队论的主要研究内容。
1.队长，是指系统内的顾客总数。其平构值(期望值)用LS表示。系统内排队等待的顾客数，也称排队队长,其平均值用Lq表示。在任何排队系统中，系统内的顾客总数都等于排队等待的顾客数与正在接受服务顾客数的总和。
2.等待时间，从顾客到达系统时起-直到他被服务完离开系统时止这段时间为(该)顾客的逗留时间，其平均值用WS表示。从顾客到达时起一直到他被接受服务时止这段时间称为(该)顾客的等待时间，其平均值用Wq表示。一般来说，系统中窗口服务时间是给定的。在任何排队系统中，顾客在系统内的逗留时间都等于等待时间与接受服务时间的总和。
3.忙期，忙期是指空闲的服务机构从有顾客到达时起一直到服务机构又没有顾客时止这段时间。与忙期相对应的是闲期。它是指服务机构从开始没有顾客时起一直到服务机构有顾客时止这段时间。对于有n个服务台的系统，一般还要讨论其k阶繁忙期。
从系统中开始有k个顾客在等待服务时起一直到有一个服务台空闲时止这段时间称为该系统k阶繁忙期。零阶繁忙期称繁忙期。忙期、闲、k阶繁忙期也是随机变量。
对于不同类型的排队系统，其系统指标也将有些不同。譬如：顾客到达时不必等待就接受服务的概率，用P0表示。系统内有n个顾客的状态概率，用Pn表示。
3. 案例问题分析
借助通信网排队模型和数理统计的一些理论知识，结合实际情况进行定量分析。我们知道，在通信网的基本理论中，基于电路交换的电话交换系统，可被抽象为一种排队模型，到达中继电路的呼叫可被形象地称为顾客，它们符合泊松分布，我们也可以把到达的呼叫流称为泊松流。每条中继电路可处理一个到达的呼叫，我们可以把每条中继电路称为服务窗口。这样，按照通信排队论的基础理论，电话交换系统就是一种多服务窗损失制排队模型，在排队理论中，这种模型记为M/M/n/n。
对这类排队模型，其系统可能出现的状态必为E＝（0，1，2，…，n）中之一。这里0状态表示n个服务窗口均空闲着，系统内没有顾客到达；k(1≤k≤n)状态则表示系统内已有k个顾客，且正在某k个服务窗口前被服务着，而有n-k个服务窗空闲着。由于一旦n个服务窗口均忙着，那么新到达的顾客不得不离去另寻服务，这对系统来说是一个损失，故称损失制。
当系统处于状态1，即系统内有一个顾客在某窗口被服务，一旦服务完毕离开系统，则系统状态就处于0状态，即从状态1到状态0，转移强度（即平均服务率）为€%e；当系统处于状态k（2≤k≤n），即有某k个服务窗正为k个顾客服务，一旦其中一个顾客被服务毕离开系统时，系统便处于状态k-1，由于k个正被服务的顾客均有先被服务完毕的可能（或k个服务窗从忙到闲的可能性是均等的），故从k状态转变到k-1状态的转移强度应为k€%e。
所以我们可写出平衡条件下的K氏方程：
对0状态有：€%dp0=€%ep1
对1状态有：€%dp1=2€%ep2
对k-1状态有：€%dpk-1=k€%epk
对n-1状态有：€%dpn-1=n€%epn
根据以上方程，我们可以求得相应的目标参量
损失概率：P损=pn=(€%j1n/n!)€譸0
系统在单位时间内占用服务窗的均值：Ls=k均=€%j1（1-pn） ，其中€%j1=€%d/€%e
系统效率：€%`=Ls/n
一、案例一
如果我们假设：A局与B局之间的中继电路数量从0条一直增扩到7条，且设每分钟有10次呼叫（€%d=10），平均通话时长为3分钟（€%e=1/3），根据以上理论，可以定量地计算出呼损和系统效率等参数，如下表所示：
从上表我们可以看出，当中继电路数量从1条增加到7条时，尽管呼损率呈下降趋势，但是我们发现当中继电路数量增加到3、4、5条时，线路更紧张、繁忙（Ls数值偏大，趋近于n，即每分钟电路的平均占用数量越多）；当中继电路数量增加到6、7条时交换系统效率反而又降低了。这就是随意增扩中继电路数量的一处隐患，即当增扩后的中继电路数量如果正好处于不合理区间，则会引发严重的不良后果：线路更加繁忙、紧张、系统效率低下，甚至引发呼损率呈几何倍数增长。
二、案例二
我们还可以利用这一模型来看看，增扩中继电路后是如何使呼损率呈倍数增长的。我们再举一例，现假设两个局之间的中继电路数量先是10条，后又增扩到20条，并设初始话务量为5ERL，则相关计算结果如下表所示：
当中继电路数量为10条时，话务量增长20%，呼损率会随之增长2倍；但当中继电路数量增扩为20条时，虽然呼损率比较小，但当话务量同样也增长20%时，呼损率却呈5倍增长。这就是随意增扩中继电路数量的另一处隐患，即增扩中继电路数量后，虽然呼损率递减，但是随着话务量的增长，呼损率的敏感度会变得相当高，会随着话务量的增长而迅猛成倍地增长。
4、结论
我们利用通信网一些排队论知识，分析得出了随意增加中继电路数量带给交换系统的两种隐患。如果增扩中继电路数量正好处于不合理区间，会导致线路更加繁忙、紧张，效率低下，如果这时再遇上大话务量的冲击，呼损会成倍地增长，使系统甚至交换网络处于崩溃的边缘。为了避免这种情况的发生，我们完全可以把上述通信排队模型结合到实际工作中，科学、合理地配置交换局局间的中继电路数量，使我们的网络更加安全、工作更加科学、网络管理更加合理。
参考文献：
[1] 毛京丽张丽李文海：《现代通信网》，北京邮电大学出版社，2002年02月
[2] 陆传赉：《排队论》(第2版)，北京邮电大学出版社，2009年10月
作者简介：范忠明（1975.5-），男，本科学历，西安电子科技大学。