论文部分内容阅读
摘 要：分类讨论是很重要一种逻辑方法和数学思想，同时也是一种重要的解题策略。它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。在需要进行讨论，学生们必须熟练地掌握分类讨论的依据和标准，才能更好的解答问题。
关键词：分类讨论；应用；代数；几何
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437（2012）02-0045-02
分类讨论思想是各种数学思想中应用较广泛的思想方法之一，可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性进行考察。有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解。纵观近几年的中考压轴题，用分类讨论思想来解题已成为热点。一般来说，在解题规律过程中以以下两种情况居多。
1 由于几何图形的位置或形状的可变性所引起的讨论
在解题过程中有些几何问题的图形位置或形状不能确定，如果解题时进行统一处理，将会遇到较大的困难，这时就必须进行讨论，把问题分成几类或几部分来处理，采化整为零的方法各个击破。在实际解题中可以碰到很多这类习题。如：
例1：点P是圆O所在平面上一定点，点P到圆上的最大距离和最短距离分别为8和2，则该圆的半径为_________。
分析：根据点和圆的位置关系，这个点P与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点在圆外两种情况。
解：过点P和圆心O作直线分别与圆O相交于A、B两点。PA、PB分别表示圆上各点到点P的最长距离和最短距离。
（1）当点P在圆内时，如图①所示，直径AB=PA+PB=6；
（2）当点P在圆外时，如图②所示，直径AB=PA-PB=2；
所以，圆O的直径为2或6。
例2：如图③，在6×12的方格纸MNEF中，每个小正方形的边长都是1。Rt△ABC的顶点C与N重合，两直角边AC、BC分别在MN、NE上，且AC=3，BC=2。现Rt△ABC以每秒1个单位长的速度向右平移，当点B移动至点E时，Rt△ABC停止移动。
（1）请你在答题卡所附的6×12的方格纸③中，画出
Rt△ABC向右平移4秒时所在的图形；
（2）如图④，在Rt△ABC向右平移的过程中，△ABF能否成为直角三角形？如果能，请求出相应的时间t；如果不能，请简要说明理由；
（3）如图④，在Rt△ABC向右平移的过程中（不包括平移的开始与结束时刻），其外接圆与直线AF、直线BF分别有哪几种位置关系？请直接写出这几种位置关系及所对应的时间t的范围（不必说理）。
分析：第（1），（3）略。 因角的形状的可变性，第（2）应分两种情况讨论：①当∠ABF=90°时，②当∠BAF=90°时。
（二）由于代数中数量大小不确定而引起的讨论
在计算或推理过程中，遇到数量大小不能确定的应进行讨论。
例3：已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有实数根，求m的取值范围。
分析：字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。
解：⑴当m2=0，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=-1。
⑵当m2≠0，即m≠0时，方程为二次方程，由有实根的条件得△=（2m+1）2-4m2=4m+1≥0，m≥-。所以m≥-，且m≠0。
综合⑴、⑵，得m≥-。
评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种：⑴前置式，即“二次方程”；⑵后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论的。
例4：已知关于x的方程：x2-（m-2）x-。
⑴求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
⑵若这个方程的两个实数根x1、x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1、x2。
解：⑴△=[-（m-2）]2-4-=2（m-1）2+2，∴不论m取值，总有2（m-1）2≥0，∴ 2（m-1）2+2>0，即△>0，方程总有两个相异的实根。
⑵ ∵x1·x2=-≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0。
①若x1≤0，x2≥0，则x2=-x1+2，∴x1+x2=2。∴m=4。
此时x2-2x-4=0，∴x1=1+，x2=1-。
②若x1≥0，x2≤0，则-x2=x1+2，∴x1+x2=-2。∴m=0。
此时x2+2x=0，∴x1=0，x2=-2。
评注：本例是根据方程的根的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。
例5：若实数ɑ、b满足ɑ2-8ɑ+5=0， b2-8b+5=0，求+的值。
解：由方程根的定义，知ɑ、b是方程x2-8x+5=0的两个根，∴ɑ+b=8，ɑb=5，∴+==-20。事实上，题设中的ɑ与b是可以相等的，当ɑ=b时，原式=2。
综上所述：当ɑ≠b时，原式=-20；当ɑ=b时，原式=2。
评注：本例题我们可以归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：⑴明确讨论的对象。⑵进行合理分类。所谓合理分类，应该符合三个原则：①分类应按同一标准进行，②分类应当没有遗漏，③分类应是没有重复的。⑶逐类讨论，分级进行。⑷归纳并作出结论。
既然分类讨论思想在解题中有如此广泛的应用价值，那么在教学过程中，教师要注重对分类讨论思想的渗透，要让学生理解何时进行分类，分类的关键在什么地方，分类要注意的问题是什么。这些问题都是学生难以理解的。只要解决好了这个问题，分类讨论的思想就能基本掌握好了。
首先，在概念教学中渗透分类讨论的意识和原则
分类讨论是重要的数学思想方法，但初中生常常对分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理地分类，这就需要教师在教学中结合教材，创设情景，给于强化，需要区分种种情况进行讨论问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。 由于数学中的许多概念的定义是分类给出的或是不少概念都有一定的限制，如实数的分类，一元二次方程的概念中对二次项系数的限定，平方根中对于被开方数的限定，完全平方式的意义，绝对值中a的三种情况的分类给出等等。涉及到这些概念就必须按照给出的概念的分类形式进行讨论。
在概念教学中，要注重揭示概念的产生过程，帮助学生明确概念存在的前提，清楚地理解概念中的关键字、词，尤其对容易出现偏差的相似的相近的概念进行比较教学，对含有补充和规定的概念注意强调，必要时，借助于形与数，进行直观、准确地概念理解。
如对于一元二次方程一般式中涉及a≠0的规定，教学时，我让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化；在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程mx2-（m-1）x-2（3m-1）=0中m的限制条件，随后进行了概念的变式，将“一元二次”四字隐去，提出这是个怎样的方程，并如何求解。学生经历了对概念中关键字词及补充条件的理解后，就能很清晰地就a=0与a≠0两种情况进行分类讨论。
日常教学中的这种有序的有目的渗透，使学生在学习过程中逐步领悟和接受解决问题中的分类讨论的思想，在学习知识的过程中体会到为什么要分类及分类的基本原则（分类标准要统一，不重复不遗漏），明确分类讨论的思想是解决某些数学问题的一种重要的、有用的思想方法，从而在体会分类的完整性和严谨性中训练了学生思维的条理性和目的性。
其次，在法则、定理、公式导出过程中体现分类讨论思想
有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定的限制条件下才能成立，这就要求在教学过程中逐步体现分类讨论思想。例如对于正比例函数y=kx的图像的递减（增）性要取决于k小于0还是大于0；又如不等式的运算性质，要按不等式的两边同乘以或同除以同一个正、负数不同而决定不等号方向是否改变等来进行分类讨论。
再如初中九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况？（如图）去论证，就需要学生在自主画图测量、分析讨论之后方可回答问题，否则就失去了从一般到特殊、从特殊到一般的思维过
程，就无法体会到分类证明的目的和优点。于是学生在教师的引导下，兴趣盎然地进行探索活动，逐步体会到恰当的分类可增强题设的条件，即把分类的依据做为附加条件，先证明特殊情况，再由特殊情况推广到一般情况的解决问题的思路，揭示分类讨论的本质为化繁为简，分而治之。之后，在学习弦切角定理的证明时，学生们再次重现了“分类讨论的思想”的探究过程。在数学教学中，我们应该不断重视法则、定理、公式的论证过程，注意归纳、揭示公式之间的联系，帮助学生增强分类意识，体验分类的重要性。
总之，分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略。对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并非千篇一律，但可以在解题实践中不断地总结经验。对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论。另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对于某些特殊情形或者说较为隐蔽的“个别”情况则未必成立。这也是造成分类讨论的原因。因此在解题时，应善于发现这些“个别”情况，并进行分类讨论。
关键词：分类讨论；应用；代数；几何
【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】1671-8437（2012）02-0045-02
分类讨论思想是各种数学思想中应用较广泛的思想方法之一，可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性进行考察。有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解。纵观近几年的中考压轴题，用分类讨论思想来解题已成为热点。一般来说，在解题规律过程中以以下两种情况居多。
1 由于几何图形的位置或形状的可变性所引起的讨论
在解题过程中有些几何问题的图形位置或形状不能确定，如果解题时进行统一处理，将会遇到较大的困难，这时就必须进行讨论，把问题分成几类或几部分来处理，采化整为零的方法各个击破。在实际解题中可以碰到很多这类习题。如：
例1：点P是圆O所在平面上一定点，点P到圆上的最大距离和最短距离分别为8和2，则该圆的半径为_________。
分析：根据点和圆的位置关系，这个点P与圆有两种位置关系。分为点在圆内和点在圆外两种情况。
解：过点P和圆心O作直线分别与圆O相交于A、B两点。PA、PB分别表示圆上各点到点P的最长距离和最短距离。
（1）当点P在圆内时，如图①所示，直径AB=PA+PB=6；
（2）当点P在圆外时，如图②所示，直径AB=PA-PB=2；
所以，圆O的直径为2或6。
例2：如图③，在6×12的方格纸MNEF中，每个小正方形的边长都是1。Rt△ABC的顶点C与N重合，两直角边AC、BC分别在MN、NE上，且AC=3，BC=2。现Rt△ABC以每秒1个单位长的速度向右平移，当点B移动至点E时，Rt△ABC停止移动。
（1）请你在答题卡所附的6×12的方格纸③中，画出
Rt△ABC向右平移4秒时所在的图形；
（2）如图④，在Rt△ABC向右平移的过程中，△ABF能否成为直角三角形？如果能，请求出相应的时间t；如果不能，请简要说明理由；
（3）如图④，在Rt△ABC向右平移的过程中（不包括平移的开始与结束时刻），其外接圆与直线AF、直线BF分别有哪几种位置关系？请直接写出这几种位置关系及所对应的时间t的范围（不必说理）。
分析：第（1），（3）略。 因角的形状的可变性，第（2）应分两种情况讨论：①当∠ABF=90°时，②当∠BAF=90°时。
（二）由于代数中数量大小不确定而引起的讨论
在计算或推理过程中，遇到数量大小不能确定的应进行讨论。
例3：已知方程m2x2+（2m+1）x+1=0有实数根，求m的取值范围。
分析：字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次方程，故要考虑是一次方程的可能。
解：⑴当m2=0，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=-1。
⑵当m2≠0，即m≠0时，方程为二次方程，由有实根的条件得△=（2m+1）2-4m2=4m+1≥0，m≥-。所以m≥-，且m≠0。
综合⑴、⑵，得m≥-。
评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种：⑴前置式，即“二次方程”；⑵后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论的。
例4：已知关于x的方程：x2-（m-2）x-。
⑴求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
⑵若这个方程的两个实数根x1、x2满足|x2|=|x1|+2，求m的值及相应的x1、x2。
解：⑴△=[-（m-2）]2-4-=2（m-1）2+2，∴不论m取值，总有2（m-1）2≥0，∴ 2（m-1）2+2>0，即△>0，方程总有两个相异的实根。
⑵ ∵x1·x2=-≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0。
①若x1≤0，x2≥0，则x2=-x1+2，∴x1+x2=2。∴m=4。
此时x2-2x-4=0，∴x1=1+，x2=1-。
②若x1≥0，x2≤0，则-x2=x1+2，∴x1+x2=-2。∴m=0。
此时x2+2x=0，∴x1=0，x2=-2。
评注：本例是根据方程的根的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。
例5：若实数ɑ、b满足ɑ2-8ɑ+5=0， b2-8b+5=0，求+的值。
解：由方程根的定义，知ɑ、b是方程x2-8x+5=0的两个根，∴ɑ+b=8，ɑb=5，∴+==-20。事实上，题设中的ɑ与b是可以相等的，当ɑ=b时，原式=2。
综上所述：当ɑ≠b时，原式=-20；当ɑ=b时，原式=2。
评注：本例题我们可以归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：⑴明确讨论的对象。⑵进行合理分类。所谓合理分类，应该符合三个原则：①分类应按同一标准进行，②分类应当没有遗漏，③分类应是没有重复的。⑶逐类讨论，分级进行。⑷归纳并作出结论。
既然分类讨论思想在解题中有如此广泛的应用价值，那么在教学过程中，教师要注重对分类讨论思想的渗透，要让学生理解何时进行分类，分类的关键在什么地方，分类要注意的问题是什么。这些问题都是学生难以理解的。只要解决好了这个问题，分类讨论的思想就能基本掌握好了。
首先，在概念教学中渗透分类讨论的意识和原则
分类讨论是重要的数学思想方法，但初中生常常对分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理地分类，这就需要教师在教学中结合教材，创设情景，给于强化，需要区分种种情况进行讨论问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质，从而培养学生自觉应用分类讨论的意识。 由于数学中的许多概念的定义是分类给出的或是不少概念都有一定的限制，如实数的分类，一元二次方程的概念中对二次项系数的限定，平方根中对于被开方数的限定，完全平方式的意义，绝对值中a的三种情况的分类给出等等。涉及到这些概念就必须按照给出的概念的分类形式进行讨论。
在概念教学中，要注重揭示概念的产生过程，帮助学生明确概念存在的前提，清楚地理解概念中的关键字、词，尤其对容易出现偏差的相似的相近的概念进行比较教学，对含有补充和规定的概念注意强调，必要时，借助于形与数，进行直观、准确地概念理解。
如对于一元二次方程一般式中涉及a≠0的规定，教学时，我让学生理解当a=0与a≠0时，方程会有怎样的变化；在此基础上，让学生说明关于x的一元二次方程mx2-（m-1）x-2（3m-1）=0中m的限制条件，随后进行了概念的变式，将“一元二次”四字隐去，提出这是个怎样的方程，并如何求解。学生经历了对概念中关键字词及补充条件的理解后，就能很清晰地就a=0与a≠0两种情况进行分类讨论。
日常教学中的这种有序的有目的渗透，使学生在学习过程中逐步领悟和接受解决问题中的分类讨论的思想，在学习知识的过程中体会到为什么要分类及分类的基本原则（分类标准要统一，不重复不遗漏），明确分类讨论的思想是解决某些数学问题的一种重要的、有用的思想方法，从而在体会分类的完整性和严谨性中训练了学生思维的条理性和目的性。
其次，在法则、定理、公式导出过程中体现分类讨论思想
有些数学性质、公式或定理在不同条件下有不同的结论，或是结论在一定的限制条件下才能成立，这就要求在教学过程中逐步体现分类讨论思想。例如对于正比例函数y=kx的图像的递减（增）性要取决于k小于0还是大于0；又如不等式的运算性质，要按不等式的两边同乘以或同除以同一个正、负数不同而决定不等号方向是否改变等来进行分类讨论。
再如初中九年级课本证明圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
为什么要根据圆心相对于圆周角的位置分成三种情况？（如图）去论证，就需要学生在自主画图测量、分析讨论之后方可回答问题，否则就失去了从一般到特殊、从特殊到一般的思维过
程，就无法体会到分类证明的目的和优点。于是学生在教师的引导下，兴趣盎然地进行探索活动，逐步体会到恰当的分类可增强题设的条件，即把分类的依据做为附加条件，先证明特殊情况，再由特殊情况推广到一般情况的解决问题的思路，揭示分类讨论的本质为化繁为简，分而治之。之后，在学习弦切角定理的证明时，学生们再次重现了“分类讨论的思想”的探究过程。在数学教学中，我们应该不断重视法则、定理、公式的论证过程，注意归纳、揭示公式之间的联系，帮助学生增强分类意识，体验分类的重要性。
总之，分类讨论是一种重要的数学思想方法，是一种数学解题策略。对于何时需要分类讨论，则要视具体问题而定，并非千篇一律，但可以在解题实践中不断地总结经验。对于某个研究对象，若不对其分类就不能说清楚，则应分类讨论。另外，数学中的一些结论，公式、方法对于一般情形是正确的，但对于某些特殊情形或者说较为隐蔽的“个别”情况则未必成立。这也是造成分类讨论的原因。因此在解题时，应善于发现这些“个别”情况，并进行分类讨论。