以学生掌握知识的水平和能力为平台,有效地提高学生的解题能力,是高中数学教学中一件重要的事情,无论是素质教育,还是应试需要,一题多解都是行之有效的方法。认真审题,从已知条件到题目的结论,以及许多中间联系的知识点都仔细分析。从不同的层面、不同的角度,用不同的方法去思考、探索和研究,这样去解决问题,可以更有效地增强教学效果。
　　直线与椭圆的位置关系在高中数学教学中有着重要地位,现举一例。
　　已知椭圆x24+y23=1,椭圆上总存在两个不同的点关于直线y=4x+m对称,试确定m的取值范围。
　　分析:若椭圆上存在两个P1、P2符合题目要求,则直线P1P2方程可令y=14x+m,还有许多中间联系着的知识点:如①直线P1P2与椭圆有两个交点。②P1P2的中点在直线P1P2上,也在已知直线上。③它们的交点P在椭圆内。④若令P1的坐标关于y=4x+m的对称点也在椭圆上。⑤椭圆的参数方程是x=acosαy=bsinα(0≤α<2π)等等。从不同的角度和方法着手就有着许多不同的解题策略和方法。
　　
　　解一:设椭圆上存在两点P1、P2,关于直线y=4x+m对称,且直线P1P2的方程式可设为:y=-14x+b。P1(x1y1)的中点为P(x1y2)
　　由y=-14x+b…①x24+y23=1…②将①代入②,整理得:13x2-8bx+16b2-48x=0
　　△=(8b2)2-4×13×(16b2-48)>0得:b2<134
　　又因为x=x1+x22=4b13,y=12b13点P(4b13,12b13)在直线y=4x+m上。所以有b=134m,可得:-21313　　解二:(使用点差法)P1P2两点在椭圆上。
　　3x12+4y12=12…①3x22+4y22=12…②①-②得
　　3(x12+4y22)=-4(y12-y22),可得中点P的轨道方程y=3x
　　直线y=3x与直线y=4x+m的交点(-m,-3m)在椭圆内满足方程3(-m)2+4(-3m)2<12,可得:
　　-21313　　(在使用“点差法”时,要检验所求的直线与椭圆是否有两个交点)
　　解三:椭圆的参数方程为x=2cosαy=3sinα(0≤α<2π,α为参数)
　　而P1P2的直线方程为y=-14x-13m4时,将椭圆的参数方程代入直线方程P1P2,整理得:m=21313sin(α+),其中tan=36
　　因为直线与椭圆有两个交点,所以|sinα+|<1
　　所以可求得:-21313　　解四:设M1(x1,y1)是椭圆x24+b23=1的斜率为-14的平行弦中点轨迹上任一点,则椭圆关于M1中心对称的曲线方程为:3(2x1-x)2+4(2y1-y)2=12
　　由x24+y23=1…①3(2x1-x)2+4(2y1-y)2=12…②由①-②得:3x1x+4y1y-3x12-4y12=0
　　所以3y14y1=-14,即3x1-y1=0
　　所以椭圆斜率为-14的平行弦的轨迹是直线y=3x
　　与直线y=4x+m的交点(m,-3m)在椭圆内,则有:-21313　　解五:直线P1P2的方程为y=-14x-134m,代入椭圆的方程得:
　　13x2+26mx+169m2-48=0(-2≤x≤2)
　　令f(x)=13x2+26mx+169m2-48(-2≤x≤2)
　　则方程f(x)=0在[-2,2]内有两个不相等的实数根的充要条件是:Δ>0f(-2)≥0f(2)≥0-2<-m<2
　　可得-21313　　该题还有其他许多解法,可进一步进行探究,我们在教学中如果注意一题多解的训练,就一定会事半功倍,取得较满意的教学效果。