论文部分内容阅读
“抽屉原理”是很抽象的概念，人教版教材把“抽屉原理”作为数学广角内容放在六年级下册，让学生去理解、应用，对于学生、教师都具有一定的挑战性。如“把4枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”，这是一道抽屉原理最典型的事实性命题。如何引导学生去质疑、验证、择优、建模呢？我谈谈自己的教学体会。
一、引发质疑，理解题意
理解题意是一种要求，也是一种能力。它是研究问题的前提和基础，学生只有深刻理解题意，才能为自主探究解决问题扫清障碍。首先，我引导学生对“把4枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”这句话是否正确进行质疑，有学生提出对“总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”这句话有疑惑。为了能充分发挥学生理解问题的自主性，我顺水推舟说道：“有谁能帮他理解这句话？”一石激起千层浪，学生们纷纷举手说出自己的想法。生1：“就是每个文具盒里至少有一枝铅笔，其中一个文具盒中有2枝铅笔。”生2：“就是不管怎么放，三个文具盒中肯定有一个文具盒中至少有两枝铅笔。”我进一步引导，重点强调：“是三个文具盒中都至少要有两枝铅笔呢，还是只要一个文具盒中至少有两枝铅笔就可以了？”学生产生共鸣：“是一个文具盒。”我接着提问：“怎样用数学语言描述‘至少2枝铅笔’的意思呢？” 机灵的学生，盯住关键字词“至少”，正确使用简洁的符号和数字总有一个文具盒“≥2枝”表达出“至少2枝”的深刻含义。上述引导学生质疑的过程，使学生不但完全明白了“3个文具盒中，只要有一个文具盒的铅笔数≥2枝，这个结论便成立”的题意，而且获得了抓关键字词和抓数学表象信息层层深入理解题意，即理解问题的能力。
二、引导验证，解决问题
对于“把4枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”这样一个事实性的命题，如何让不同层次的学生选择适合自己的理解方法多角度地去验证呢？我引导学生用实物枚举、数字符号描述、假设三种方法进行探究。
1.实物枚举法
有的学生用书代表文具盒进行操作验证。如生1说：“我把4枝铅笔放在当做文具盒的三本书上，每个文具盒都放一枝，有一个文具盒放进了2枝，也就是总有一个文具盒里的铅笔数‘≥2枝’，即分别为1枝、1枝、2枝。”生2接着说：“我在一个文具盒中不放，则一个放一枝，一个放三枝，也是总有一个文具盒里的铅笔数‘≥2枝’，即分别为1枝、3枝、0枝。”我追问：“还有吗？”学生分别说出了另外两种“总有一个文具盒里的铅笔数≥2枝”的情况，即2枝、2枝、0枝和4枝、0枝、0枝。
2.数字符号描述法
有的学生画方框表示文具盒,进一步理解“至少2枝”的含义。学生在实物列举的基础上很快画出了以下四种情况，同时验证得出“把4枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”这个结论是正确的。
004（1） 112（2） 013（3） 022（4）
3.假设法
（1）用加法算式表示
有学生这样假设：“我假设‘总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔’这个结论不成立，就是不≥2枝，也就是每个文具盒中各放一枝， 3个文具盒就只放了3枝铅笔，还剩下1枝，与原先的结论‘≥2枝’相矛盾，用算式可以表示为4-3=1、1 1=2，说明假设错误，原先的结论是正确的。”
（2）用除法算式表示
我追问：“还能用不同算法表示吗？”一生告诉大家：“假设‘总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔’不成立，就要使每个文具盒的铅笔尽量少，只有平均分才是最少的，每个文具盒中先平均放一枝，我就用 4÷3=1……1、1 1=2，也说明假设错误，原先的结论是正确的。”我因势利导，出示一道数据较大的命题“把1000枝铅笔放进999个文具盒中，总有一个文具盒中至少有2枝铅笔”让学生选择方法验证。一个学生自告奋勇地说：“我选择用除法算式假设法验证比较简单，就是1000÷999=1……1、1 1=2，证明这个结论是正确的。”他的话音刚落，全班就响起了一片掌声！上述引导学生验证的过程，是形成解决问题基本策略、体验解决问题策略多样化的过程，是使学生实践能力和创新精神发展的过程。三种方法，各有难易特点，全班不同层次的学生都能选择不同的方法验证结论的正确性。
三、激发讨论，方法择优
“通过观察、操作、归纳、类比、推断等数学活动，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性。”（《数学课程标准》语）对于探究“把4枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”的命题是否正确，我引导学生由实物模型（实物枚举法）、数学模型（数字符号描述法）向数学推理（假设法）层层深入进行讨论。通过观察、操作、归纳、类比、推断等数学活动，总结得出：前两种属枚举法，都是把各种可能出现的情况一一列举出来，但层次不一样，实物枚举法具体、可操作性强，但数学内涵揭示不明显，学生不容易发现数学问题；数字符号描述法较实物枚举法高级，能简洁、清晰地把数学过程展现在眼前。实物枚举法和数字符号描述法有共同的缺陷，就是当数据较大时，列举过程耗时低效，正确率低，假设法就能避免此不足。假设法是比较抽象的邏辑推理过程，只需借助符号、算式把抽象的原理具体化，便能把抽象的知识化为通俗易懂，掌握起来快捷有效。三种方法既具探索性，又具挑战性，学生多法而作，优势互补，相得益彰，个个都能感受到数学思考过程的条理性和数学结论的确定性。这样既彰显了学生的个性化学习，又发展了学生择优提升学习技巧的能力；既能让学生深刻理解假设法的内涵，又能使学生体验到从不同角度采用多种方法探究数学问题的乐趣。
四、抽象概括，建模应用
《数学课程标准》倡导“综合运用所学的知识和技能解决问题，发展学生应用意识和实践能力”。从解决“抽屉原理”一般方法中抽象概括，总结出通用原理，加以推广运用，是本课的主要目标之一。在本节课中，我引导学生进行了三次抽象概括。第一次抽象：引导学生用字母代替数。我问大家：“怎样用字母代替数呢？”生1说：“我用a和n代替，把a枝铅笔放进n个文具盒中，保证a﹥n，a和n是正整数，就能得出‘总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔’这个结论。”为了进一步内化抽屉原理的本质属性，我引导学生进行第二次抽象：揭示命题。我出示命题“7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里”，问学生打算用什么方法验证。学生都选择了用除法算式假设法验证，即“7÷5=1……2、1 1=2，就是至少2只”。图示如下：
()()()()()
11
同时引导学生概括：“我们把这一个个方框看作一个个的抽屉。刚才4枝铅笔和7只鸽子都是被分的物体，3个文具盒和5个鸽舍都把它看作抽屉，因此可以总结为‘把a个物体放进n个抽屉中（a﹥n，a和n是正整数），总有一个抽屉里至少放进2个物体’。我们把这个原理称作‘抽屉原理’。”第三次抽象：揭示规律。我继续引导：“如果研究把5本、7本、9本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3（4或5）本书？”学生个个跃跃欲试，分别表示为：5÷2=2……1，2 1=3；7÷2=3……1，3 1=4；9÷2=4……1，4 1=5。学生在讨论、归纳中得出规律：把a个物体放进n个抽屉中，总有一个抽屉里至少放进（k 1）个物体，即a÷n=k……b（a、n、k、b为正整数，因为物体和抽屉总是一个一个的）。这时，学生的思维被完全激发了，学习热情被充分调动，学生据理例证，总结出完整的“抽屉原理”数学模型，并被灵活应用。
（责编蓝天）
一、引发质疑，理解题意
理解题意是一种要求，也是一种能力。它是研究问题的前提和基础，学生只有深刻理解题意，才能为自主探究解决问题扫清障碍。首先，我引导学生对“把4枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”这句话是否正确进行质疑，有学生提出对“总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”这句话有疑惑。为了能充分发挥学生理解问题的自主性，我顺水推舟说道：“有谁能帮他理解这句话？”一石激起千层浪，学生们纷纷举手说出自己的想法。生1：“就是每个文具盒里至少有一枝铅笔，其中一个文具盒中有2枝铅笔。”生2：“就是不管怎么放，三个文具盒中肯定有一个文具盒中至少有两枝铅笔。”我进一步引导，重点强调：“是三个文具盒中都至少要有两枝铅笔呢，还是只要一个文具盒中至少有两枝铅笔就可以了？”学生产生共鸣：“是一个文具盒。”我接着提问：“怎样用数学语言描述‘至少2枝铅笔’的意思呢？” 机灵的学生，盯住关键字词“至少”，正确使用简洁的符号和数字总有一个文具盒“≥2枝”表达出“至少2枝”的深刻含义。上述引导学生质疑的过程，使学生不但完全明白了“3个文具盒中，只要有一个文具盒的铅笔数≥2枝，这个结论便成立”的题意，而且获得了抓关键字词和抓数学表象信息层层深入理解题意，即理解问题的能力。
二、引导验证，解决问题
对于“把4枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”这样一个事实性的命题，如何让不同层次的学生选择适合自己的理解方法多角度地去验证呢？我引导学生用实物枚举、数字符号描述、假设三种方法进行探究。
1.实物枚举法
有的学生用书代表文具盒进行操作验证。如生1说：“我把4枝铅笔放在当做文具盒的三本书上，每个文具盒都放一枝，有一个文具盒放进了2枝，也就是总有一个文具盒里的铅笔数‘≥2枝’，即分别为1枝、1枝、2枝。”生2接着说：“我在一个文具盒中不放，则一个放一枝，一个放三枝，也是总有一个文具盒里的铅笔数‘≥2枝’，即分别为1枝、3枝、0枝。”我追问：“还有吗？”学生分别说出了另外两种“总有一个文具盒里的铅笔数≥2枝”的情况，即2枝、2枝、0枝和4枝、0枝、0枝。
2.数字符号描述法
有的学生画方框表示文具盒,进一步理解“至少2枝”的含义。学生在实物列举的基础上很快画出了以下四种情况，同时验证得出“把4枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”这个结论是正确的。
004（1） 112（2） 013（3） 022（4）
3.假设法
（1）用加法算式表示
有学生这样假设：“我假设‘总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔’这个结论不成立，就是不≥2枝，也就是每个文具盒中各放一枝， 3个文具盒就只放了3枝铅笔，还剩下1枝，与原先的结论‘≥2枝’相矛盾，用算式可以表示为4-3=1、1 1=2，说明假设错误，原先的结论是正确的。”
（2）用除法算式表示
我追问：“还能用不同算法表示吗？”一生告诉大家：“假设‘总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔’不成立，就要使每个文具盒的铅笔尽量少，只有平均分才是最少的，每个文具盒中先平均放一枝，我就用 4÷3=1……1、1 1=2，也说明假设错误，原先的结论是正确的。”我因势利导，出示一道数据较大的命题“把1000枝铅笔放进999个文具盒中，总有一个文具盒中至少有2枝铅笔”让学生选择方法验证。一个学生自告奋勇地说：“我选择用除法算式假设法验证比较简单，就是1000÷999=1……1、1 1=2，证明这个结论是正确的。”他的话音刚落，全班就响起了一片掌声！上述引导学生验证的过程，是形成解决问题基本策略、体验解决问题策略多样化的过程，是使学生实践能力和创新精神发展的过程。三种方法，各有难易特点，全班不同层次的学生都能选择不同的方法验证结论的正确性。
三、激发讨论，方法择优
“通过观察、操作、归纳、类比、推断等数学活动，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性。”（《数学课程标准》语）对于探究“把4枝铅笔放进3个文具盒中，不管怎么放，总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔”的命题是否正确，我引导学生由实物模型（实物枚举法）、数学模型（数字符号描述法）向数学推理（假设法）层层深入进行讨论。通过观察、操作、归纳、类比、推断等数学活动，总结得出：前两种属枚举法，都是把各种可能出现的情况一一列举出来，但层次不一样，实物枚举法具体、可操作性强，但数学内涵揭示不明显，学生不容易发现数学问题；数字符号描述法较实物枚举法高级，能简洁、清晰地把数学过程展现在眼前。实物枚举法和数字符号描述法有共同的缺陷，就是当数据较大时，列举过程耗时低效，正确率低，假设法就能避免此不足。假设法是比较抽象的邏辑推理过程，只需借助符号、算式把抽象的原理具体化，便能把抽象的知识化为通俗易懂，掌握起来快捷有效。三种方法既具探索性，又具挑战性，学生多法而作，优势互补，相得益彰，个个都能感受到数学思考过程的条理性和数学结论的确定性。这样既彰显了学生的个性化学习，又发展了学生择优提升学习技巧的能力；既能让学生深刻理解假设法的内涵，又能使学生体验到从不同角度采用多种方法探究数学问题的乐趣。
四、抽象概括，建模应用
《数学课程标准》倡导“综合运用所学的知识和技能解决问题，发展学生应用意识和实践能力”。从解决“抽屉原理”一般方法中抽象概括，总结出通用原理，加以推广运用，是本课的主要目标之一。在本节课中，我引导学生进行了三次抽象概括。第一次抽象：引导学生用字母代替数。我问大家：“怎样用字母代替数呢？”生1说：“我用a和n代替，把a枝铅笔放进n个文具盒中，保证a﹥n，a和n是正整数，就能得出‘总有一个文具盒里至少放进2枝铅笔’这个结论。”为了进一步内化抽屉原理的本质属性，我引导学生进行第二次抽象：揭示命题。我出示命题“7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里”，问学生打算用什么方法验证。学生都选择了用除法算式假设法验证，即“7÷5=1……2、1 1=2，就是至少2只”。图示如下：
()()()()()
11
同时引导学生概括：“我们把这一个个方框看作一个个的抽屉。刚才4枝铅笔和7只鸽子都是被分的物体，3个文具盒和5个鸽舍都把它看作抽屉，因此可以总结为‘把a个物体放进n个抽屉中（a﹥n，a和n是正整数），总有一个抽屉里至少放进2个物体’。我们把这个原理称作‘抽屉原理’。”第三次抽象：揭示规律。我继续引导：“如果研究把5本、7本、9本书放进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3（4或5）本书？”学生个个跃跃欲试，分别表示为：5÷2=2……1，2 1=3；7÷2=3……1，3 1=4；9÷2=4……1，4 1=5。学生在讨论、归纳中得出规律：把a个物体放进n个抽屉中，总有一个抽屉里至少放进（k 1）个物体，即a÷n=k……b（a、n、k、b为正整数，因为物体和抽屉总是一个一个的）。这时，学生的思维被完全激发了，学习热情被充分调动，学生据理例证，总结出完整的“抽屉原理”数学模型，并被灵活应用。
（责编蓝天）