一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
　　1．已知全集U=R，集合A=(－∞,0)，B=｛－1,－3,a｝，若(CUA)∩B≠，则实数a的取值范围是_________．
　　2．若(x+i)2是实数（i是虚数单位），则实数x的值为__________．
　　3．一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人，并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图（如图所示），则月收入在［2000,3500)范围内的人数为__________．
　　i←1
　　While i<8
　　i←i+2
　　S←2i+3
　　End While
　　Print S
　　4．根据如图所示的伪代码，可知输出S的值为_________．
　　5．已知a,b∈{1,2,3,4,5,6}，直线l1:x－2y－1=0,l2:ax+by－1=0,则直线l1⊥l2的概率为 ．
　　6．设正三棱锥的侧面积等于底面积的2倍，且该正三棱锥的高为3，则其表面积等于__________．
　　7．如图，矩形ABCD由两个正方形拼成，则∠CAE的正切值为__________．
　　8．在△ABC中，若AB·AC=AB·CB=2，则边AB的长等于__________．
　　9．已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，椭圆的右准线与x轴交于点M，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于__________．
　　10．若函数f(x)=13x3－x在(a,10-a2)上有最小值，则实数a的取值范围是__________．
　　11．若实数x、y满足4x+4y=2x+1+2y+1，则S=2x+2y的取值范围是__________．
　　12．定义在R上的f(x)，满足f(m+n2)=f(m)+2［f(n)］2,m,n∈R,且f(1)≠0，则f(2012)的值为__________．
　　13．已知函数f(x)=x+12,x∈［0,12)2x－1,x∈［12,2) 若存在x1,x2，当0≤x1　　14．设数列{an}是首项为0的递增数列，（n∈N），fn(x)=|sin1n(x－an)|,x∈［an,an+1］,满足：对于任意的b∈［0,1),fn(x)=b总有两个不同的根,则数列{an}的通项公式为__________．
　　二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．
　　15．已知向量＝（3sinx4，1），＝（cosx4，cos2x4），f（x）＝·．
　　（1）若f(x)=1，求cos(2π3－x)的值；
　　（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC+12c=b，求函数f(B)的取值范围．
　　16．如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ACB=90°，E,F,G分别是AA1,AC,BB1的中点，且CG⊥C1G．
　　（Ⅰ）求证：CG∥平面BEF；
　　（Ⅱ）求证：平面BEF⊥平面A1C1G．
　　17．心理学家研究某位学生的学习情况发现：若这位学生刚学完的知识存留量记为1，则x天后的存留量y1=4x+4；若在t(t>4)天时进行第一次复习，则此时知识存留量比未复习情况下增加一倍（复习时间忽略不计），其后存储量y2随时间变化的曲线恰为直线的一部分，其斜率为a(t+4)2(a<0),存留量随时间变化的曲线如图所示．当进行第一次复习后的存留量与不复习的存留量相差最大时，则称此时此刻为“二次复习最佳时机点”．
　　（1）若a=－1,t=5，求“二次最佳时机点”；
　　（2）若出现了“二次复习最佳时机点”，求a的取值范围．
　　18．如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F1的直线l与椭圆交于A,B两点，△MF1F2的面积为4，△ABF2的周长为82．
　　（1）求椭圆C的方程；
　　（2）设点Q的坐标为(1,0)，是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF1,PF2都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．
　　19．已知函数f(x)=(ax2+x)ex，其中ｅ是自然数的底数，a∈R．
　　（1）当a<0时，解不等式f(x)>0；
　　（2）当a=0时，求整数ｋ的所有值，使方程f(x)=x+2在［ｋ，ｋ＋１］上有解；
　　（3）若f(x)在［－１，１］上是单调增函数，求a的取值范围．
　　20．设数列{an}、{bn}满足a1=12,
　　2nan+1=(n+1)an
　　且bn=ln(1+an)+12a2n,n∈N*.
　　（1）求数列{an}的通项公式；
　　（2）对一切n∈N，证明：2bn－a2n<2an成立；
　　（3）记数列{a2n}、{bn}的前n项和分别为An、Bn,证明:2Bn－An<4.
　　附 加 题
　　（考试时间30分钟，试卷满分40分）
　　21．【选做题】在A，B，C，D四个小题中只能选做2个小题，每小题10分，共计20分．
　　A．选修4—1 几何证明选讲
　　如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：
　　（1）∠AED=∠AFD；
　　（2）AB2=BE·BD-AE·AC．
　　B.选修4—2 矩阵与变换
　　若点A（２，２）在矩阵M=cosα－sinαsinαcosα对应变换的作用下得到的点为B（－２，２），求矩阵M的逆矩阵．
　　C.选修4—4:坐标系与参数方程
　　在极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ－3=0上的动点， B为直线ρcosθ+ρsinθ－7=0上的动点，求AB的最小值．
　　D.选修4—5:不等式选讲
　　已知m,n是正数，证明：m3n+n3m≥m2+n2．
　　22．如图，已知面积为1的正三角形ABC三边的中点分别为D、E、F，从A，B,C,D，E，F六个点中任取三个不同的点，所构成
　　的三角形的面积为X（三点共线时，规定X=0）
　　（１）求P(X≥12)；
　　（２）求E（X）．
　　23．已知抛物线C1:y=x2，圆C2:x2+(y－4)2=1的圆心为点M
　　（Ⅰ）求点M到抛物线C1的准线的距离；
　　（Ⅱ）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程.
　　参考答案
　　一、填空题
　　1. a≥0; 2. 0; 3. 700; 4. 21; 5. 112;
　　6. 93; 7. 13; 8. 2; 9. 33; 10. -2≤a<1;
　　11. 2 　　14. an=n(n-1)π2
　　二、解答题
　　15.解：（1)∵f(x)=·=3sinx4cosx4+cos2x4=32sinx2+12cosx2+12=sin(x2+π6)+12,而f(x)=1,∴sin(x2+π6)=12
　　又∵2π3-x=π-2(x2+π6),
　　∴cos(2π3-x)=-cos2(x2+π6)=-1+2sin2(x2+π6)=-12
　　(2)∵acosC+12c=b,∴a·a2+b2-c22ab+12c=b,即b2+c2-a2=bc,∴cosA=12.
　　又∵A∈(0,π),∴A=π3
　　又∵0　　∴f(B)∈(1,32).
　　16．证:（Ⅰ）连接AG交BE于D,连接DF,EG．
　　∵E,G分别是AA1,BB1的中点，∴AE∥BG且AE=BG,∴四边形AEGB是矩形．
　　∴D是AG的中点
　　又∵F是AC的中点,∴DF∥CG
　　则由DF面BEF,CG面ＢＥＦ,得CG∥面BEF
　　（注:利用面面平行来证明的,类似给分）
　　(Ⅱ)∵在直三棱柱ABCA1B1C1中，C1C⊥底面A1B1C1，∴C1C⊥A1C1.
　　又∵∠A1C1B1=∠ACB=90°,即C1B1⊥A1C1,∴A1C1⊥面B1C1CB
　　而CG面B1C1CB,∴A1C1⊥CG
　　又CG⊥C1G,由（Ⅰ）DF∥CG,∴A1C1⊥DF,DF⊥C1G
　　∴DF⊥平面A1C1G
　　又DF平面BEF,∴平面BEF⊥平面A1C1G.
　　17．设第一次复习后的存留量与不复习的存留量之差为y，
　　由题意知，y2=a(t+4)2(x－t)+8t+4(t>4)
　　所以y=y2－y1=a(t+4)2(x－t)+8t+4－4x+4(t>4)
　　(1)当a=－1,t=5时，
　　y=－1(5+4)2(x－5)+85+4－4x+4=－(x+4)81－4x+4+1≤－2481+1=59，
　　当且仅当 x=14 时取等号，
　　所以“二次复习最佳时机点”为第14天．
　　（2)y=a(t+4)2(x-t)+8t+4-4x+4=--a(x+4)(t+4)2-4x+4+8t+4-a(t+4)(t+4)2≤-2-4a(t+4)2+8-at+4,
　　当且仅当-a(x+4)(t+4)2=4x+4即x=2-a(t+4)-4时取等号，
　　由题意2-a(t+4)-4>t,所以-4　　注：使用求导方法可以得到相应得分.
　　18．（Ⅰ） 由题意知：12×2c×b=4,bc=4,4a=82，a=22,解得b=c=2
　　∴ 椭圆的方程为x28+y24=1
　　（Ⅱ）假设存在椭圆上的一点P(x0,y0)，使得直线PF1,PF2与以Q为圆心的圆相切，则Q到直线PF1,PF2的距离相等,F1(-2,0),F2(2,0)
　　PF1:(x0-2)y-y0x+2y0=0
　　PF2：(x0+2)y-y0x-2y0=0
　　d1=|y0|(x0-2)2+y20=|3y0|(x0+2)2+y20=d2
　　化简整理得：8x20-40x0+32+8y20=0
　　∵P点在椭圆上，∴x20+2y20=8
　　解得：x0=2或x0=8（舍）
　　x0=2时，y0=±2,r=1，
　　∴ 椭圆上存在点P，其坐标为(2,2)或(2,-2)，使得直线PF1,PF2与以Q为圆心的圆(x-1)2+y2=1相切
　　19．（１）因为ex>0，所以不等式f(x)>0即为ax2+x>0，
　　又因为a<0，所以不等式可化为x(x+1a)<0，
　　所以不等式f(x)>0的解集为(0,－1a)．
　　（２）当a=0时, 方程即为xex=x+2，由于ex>0，所以x=0不是方程的解，
　　所以原方程等价于ex－2x－1=0，令h(x)=ex－2x－1，
　　因为h′(x)=ex+2x2>0对于x∈(－∞,0)∪(0,+∞)恒成立，
　　所以h(x)在(－∞,0)和(0,+∞)内是单调增函数，
　　又h(1)=e－3<0，h(2)=e2－2>0，h(－3)=e－3－13<0，h(－2)=e－2>0，
　　所以方程f(x)=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间［1，2］和［－3，－2］上，
　　所以整数k的所有值为｛－3,1｝．
　　（３）f′(x)=(2ax+1)ex+(ax2+x)ex=［ax2+(2a+1)x+1］ex，
　　①当a=0时，f′(x)=(x+1)ex，f′(x)≥0在［－1，1］上恒成立，当且仅当x=－1时
　　取等号，故a=0符合要求；
　　②当a≠0时，令g(x)=ax2+(2a+1)x+1，因为Δ=(2a+1)2－4a=4a2+1>0，
　　所以g(x)=0有两个不相等的实数根x1，x2，不妨设x1>x2，
　　因此f(x)有极大值又有极小值．
　　若a>0，因为g(－1)·g(0)=－a<0，所以f(x)在(－1，1)内有极值点，
　　故f(x)在［－1，1］上不单调．
　　若a<0，可知x1>0>x2，
　　因为g(x)的图象开口向下，要使f(x)在［－1，1］上单调，因为g(0)=1>0，
　　必须满足g(1)≥0,g(－1)≥0. 即3a+2≥0,－a≥0. 所以－23≤a<0．
　　综上可知，a的取值范围是［－23,0］．
　　20．解：（1）∵2nan+1=(n+1)anan+1n+1=12·ann
　　∴数列{ann}是以a11=12，以12为公比
　　∴ann=12·(12)n－1－12n
　　∴an=n2n
　　(2)证明：2bn　　bn-12a2n-an<0bn-12a2n=ln(1+an)　　构造函数f(x)=ln(1+x)-x(x≥0)当x>0时，f′(x)=11+x-1=-x1+x<0
　　∴f(x)在x∈［0,+∞)内为减函数，当x>0时，f(x)　　∴ln(1+x)0),注意到an>0,
　　∴ln(1+an)　　（3）证明：∵2bn-a2n=2ln(1+an)<2an
　　2Bn-An=2(b1+b2+…+bn)-(a21+a22+…+a2n)
　　由(2)可知2Bn-An=(2b1-a21)+(2b2-a22)+…+(2bn-a2n)
　　∴2Bn-An<2a1+2a2+…+2an=2(12+222+323+…+n2n)=2(2-n+22n)
　　<2×2=4
　　附加题参考答案
　　21A
　　证明：(1)连结AD．
　　因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°．