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摘 要：根据2009年《河南统计年鉴》的统计资料，运用主成分分析方法对河南地区经济发展水平进行综合评价，分析了各市在河南地区中的经济地位。
关键词：主成分分析；河南地区；经济综合评价
中图分类号：F2
文献标识码：A
文章编号：16723198（2015）20001903
1 主成分分析评价方法
主成分分析也称主分量分析，主要思路是将分散在一组变量上的信息集中到几个综合指标主成分上，所得的综合指标是原来变量的线性组合，以便于利用主成分描述数据集内部结构。它是通过降维方法把多指标转化为少数几个综合指标，即主成分的一种多元统计分析方法，即用研究0维的1空间代替2维的3空间，而且低维的1空间代替高维3空间时所损失的信息很少，即代替后的数据仍然高度具备原数据的特性。主成分分析法是多属性决策的一种方法，是一种多元统计方法，这种方法的独到之处在于能够消除指标样本之间的相关关系，在保持样本主要信息量的前提下，提取少量有代表性的主要指标，在分析过程中得到主要指标的合理权重，用主成分作为决策分析的综合性指标。
构建这个模型的目的是为了找到一个能反映这p个指标的线性函数pi=1aixi，它能把p个变量在n个样本上的差异综合表示出来，如果能够找到这样的一个线性函数，它就是这个变量的主要成份（principle component），找出这个主要成份的方法就成为主成分分析方法。
把这p个指标x1，x2，…，xp看成随机变量，他们的期望值与协方差矩阵为：
vii就是第i个变量的方差，因此这p个变量总的变化情况就可以用pi=1vii
來反映，记为y，于是y的方差Var（y）=Var（pi=1aixi）=pi=1aiajvij=aTVa，a=[a1，a2，…，ap]T，Var（y）就最能反映xi的变化。可以看出，要对a做一下限制，否则Var（y）可以无限增大就没有意义，限制aTa=pi=1a2i=1，此问题的数学问题就是已知协方差矩阵V，求满足约束条件aTa=1的a，使aTVa达到最大。这是一个求条件极值的问题。所以寻找主成分的方法是：第一，先求出样本的协方差矩阵V；第二，求得V最大特征根λ和相应的特征向量a[a1，a2，…，ap]T，于是a1x1+a2x2+…+apxp就是所要求的主成分分量。这样求出的主成分分量其反映原来个变量变化的状况的多少用其贡献率来表示，贡献率=λ/pi=1vii，贡献率越大表示这个主成分分量的“综合”能力越强。
然而，如果主成分分量的贡献率达不到80%，那么其反映变量变化情况的能力是很差的，这时就要考虑其他主成分分量，具体做法是把矩阵的特征根λ从大到小排列，依次计算前几个特征根所占的比重即主成分分量的贡献率，当前t个特征根的比重超过80%时，就分别选取这t个特征根所对应的特征向量计算主成分分量，分别称为第一主成分、第二主成分…第t主成分，计算出这些主成分的值分别与他们的贡献率相乘，然后相加就是综合的评价值。
2 地区经济发展水平评价指标选取
对于地区经济发展水平的评价，本文的研究选用9项经济指标（表1），即x1为国内生产总值GDP（亿元）；x2为第一产业总产值（亿元）；x3为第二产业总产值（亿元）；x4为第三产业总产值（亿元）；x5为财政收入（亿元）；x6为全社会固定资产投资总额（亿元）；x7为城镇居民可支配收入（元）；x8为进出口商品总值（万元）；x9为农民纯收入（元）。这些指标可集中反映河南地区的综合经济实力，是国际通用的评价国家或地区经济实力的重要指标。
3 实证分析
评价体系的指标数据来源2009年《河南统计年鉴》。本研究使用SPSS16.0统计软件对数据进行分析处理。
第一步，将指标值进行标准化处理。进行标准化处理的目的有两个，一个是消除不同指标具有不同量纲对分析结果的影响，另外就是消除不同指标具有不同数量级对分析结果的影响。
第二步，对标准化数据进行主成分分析，提取M个成分，提取原则为累计贡献率达到85%以上，并获得主成分得分系数和主成分贡献率，如表2所示。
提取方法：主成分分析
从表1可以看出，旋转后的因子解的情况，第一个因子的特征根5.822，解释9个原始变量总方差的64.684%；第二个因子的特征根2.496，解释9个原始变量总方差的27.734%，累计方差贡献率92.418%，也就是说，两个变量解释了所有9个评价指标的92.4%，且只有这两个变量的特征值大于1。
第三步，利用公式计算主成分得分，如表3所示。
4 结语
利用基于主成分分析法的评价模型对河南地区经济发展水平进行了实证分析，其最后的得分结果从表3中可知，2008年河南地区经济发展水平排名前5位的依次为：郑州市、洛阳市、南阳市、安阳市、焦作市；排名后5位的依次为：济源市、驻马店市、开封市、漯河市、鹤壁市。所以，主成分分析法在经济评价中能起到一定的指导性作用，为经济评价提供一种科学客观的理论计算方法。
参考文献
[1]胡永宏，贺思辉.综合评价方法[M].北京：科学出版社，2000.
[2]李建平，徐伟宣，石勇.基于主成分线性加权综合评价的信用评分方法及应用[J].系统工程，2004，22（8）：6468.
[3]刘先勇.SPSS10.0统计分析软件与应用[M].北京：国防工业出版社，2002.
[4]河南统计局.河南统计年鉴（2009）[M].北京：中国统计出版社，2009.
关键词：主成分分析；河南地区；经济综合评价
中图分类号：F2
文献标识码：A
文章编号：16723198（2015）20001903
1 主成分分析评价方法
主成分分析也称主分量分析，主要思路是将分散在一组变量上的信息集中到几个综合指标主成分上，所得的综合指标是原来变量的线性组合，以便于利用主成分描述数据集内部结构。它是通过降维方法把多指标转化为少数几个综合指标，即主成分的一种多元统计分析方法，即用研究0维的1空间代替2维的3空间，而且低维的1空间代替高维3空间时所损失的信息很少，即代替后的数据仍然高度具备原数据的特性。主成分分析法是多属性决策的一种方法，是一种多元统计方法，这种方法的独到之处在于能够消除指标样本之间的相关关系，在保持样本主要信息量的前提下，提取少量有代表性的主要指标，在分析过程中得到主要指标的合理权重，用主成分作为决策分析的综合性指标。
构建这个模型的目的是为了找到一个能反映这p个指标的线性函数pi=1aixi，它能把p个变量在n个样本上的差异综合表示出来，如果能够找到这样的一个线性函数，它就是这个变量的主要成份（principle component），找出这个主要成份的方法就成为主成分分析方法。
把这p个指标x1，x2，…，xp看成随机变量，他们的期望值与协方差矩阵为：
vii就是第i个变量的方差，因此这p个变量总的变化情况就可以用pi=1vii
來反映，记为y，于是y的方差Var（y）=Var（pi=1aixi）=pi=1aiajvij=aTVa，a=[a1，a2，…，ap]T，Var（y）就最能反映xi的变化。可以看出，要对a做一下限制，否则Var（y）可以无限增大就没有意义，限制aTa=pi=1a2i=1，此问题的数学问题就是已知协方差矩阵V，求满足约束条件aTa=1的a，使aTVa达到最大。这是一个求条件极值的问题。所以寻找主成分的方法是：第一，先求出样本的协方差矩阵V；第二，求得V最大特征根λ和相应的特征向量a[a1，a2，…，ap]T，于是a1x1+a2x2+…+apxp就是所要求的主成分分量。这样求出的主成分分量其反映原来个变量变化的状况的多少用其贡献率来表示，贡献率=λ/pi=1vii，贡献率越大表示这个主成分分量的“综合”能力越强。
然而，如果主成分分量的贡献率达不到80%，那么其反映变量变化情况的能力是很差的，这时就要考虑其他主成分分量，具体做法是把矩阵的特征根λ从大到小排列，依次计算前几个特征根所占的比重即主成分分量的贡献率，当前t个特征根的比重超过80%时，就分别选取这t个特征根所对应的特征向量计算主成分分量，分别称为第一主成分、第二主成分…第t主成分，计算出这些主成分的值分别与他们的贡献率相乘，然后相加就是综合的评价值。
2 地区经济发展水平评价指标选取
对于地区经济发展水平的评价，本文的研究选用9项经济指标（表1），即x1为国内生产总值GDP（亿元）；x2为第一产业总产值（亿元）；x3为第二产业总产值（亿元）；x4为第三产业总产值（亿元）；x5为财政收入（亿元）；x6为全社会固定资产投资总额（亿元）；x7为城镇居民可支配收入（元）；x8为进出口商品总值（万元）；x9为农民纯收入（元）。这些指标可集中反映河南地区的综合经济实力，是国际通用的评价国家或地区经济实力的重要指标。
3 实证分析
评价体系的指标数据来源2009年《河南统计年鉴》。本研究使用SPSS16.0统计软件对数据进行分析处理。
第一步，将指标值进行标准化处理。进行标准化处理的目的有两个，一个是消除不同指标具有不同量纲对分析结果的影响，另外就是消除不同指标具有不同数量级对分析结果的影响。
第二步，对标准化数据进行主成分分析，提取M个成分，提取原则为累计贡献率达到85%以上，并获得主成分得分系数和主成分贡献率，如表2所示。
提取方法：主成分分析
从表1可以看出，旋转后的因子解的情况，第一个因子的特征根5.822，解释9个原始变量总方差的64.684%；第二个因子的特征根2.496，解释9个原始变量总方差的27.734%，累计方差贡献率92.418%，也就是说，两个变量解释了所有9个评价指标的92.4%，且只有这两个变量的特征值大于1。
第三步，利用公式计算主成分得分，如表3所示。
4 结语
利用基于主成分分析法的评价模型对河南地区经济发展水平进行了实证分析，其最后的得分结果从表3中可知，2008年河南地区经济发展水平排名前5位的依次为：郑州市、洛阳市、南阳市、安阳市、焦作市；排名后5位的依次为：济源市、驻马店市、开封市、漯河市、鹤壁市。所以，主成分分析法在经济评价中能起到一定的指导性作用，为经济评价提供一种科学客观的理论计算方法。
参考文献
[1]胡永宏，贺思辉.综合评价方法[M].北京：科学出版社，2000.
[2]李建平，徐伟宣，石勇.基于主成分线性加权综合评价的信用评分方法及应用[J].系统工程，2004，22（8）：6468.
[3]刘先勇.SPSS10.0统计分析软件与应用[M].北京：国防工业出版社，2002.
[4]河南统计局.河南统计年鉴（2009）[M].北京：中国统计出版社，2009.