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摘 要：由尺规作图的准则1，准则2 ， 定理1，定理2来研究著名的尺规作图不能问题。
关键词：作图准则；尺规作图；立方倍积；三等分角；化园为方
中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2011）-12-0-02
一、预备知识
任何能用尺规来完成的作图，无论它多么复杂，都不外乎归结为三条公法的有限次的有序结合，因此，要说明准则可以借助解析几何知识，把每一条作图公法用代数解析式表示出来，就不难得出结论。
（一）通过两个已知点作直线
在直角坐标系里，设两点P(a,b)Q(c,d)则|a|,|b|,|c|,|d|都是已知线段，过PQ的直线方程是
如果用一般式表示，则为AX+BY+C=0
式中A=d-b B=a-c C=bc-ad,它们都是仅含|a|,|b|,|c|,|d|的有理整函数，即系数可从已知线段用有理运算作图求出。
（二）以已知点为圆心，已知长为半径作圆
设已知点坐标为（E,F）,已知长为R，则|都是已知线段。以（E,F）为圆心，R为半径的圆的方程是(X-E)2+(Y-F)2=R2
或X2+Y2+DX+EY+F=0
其中D=-2E,E=-2F F=E2+F2-R2都是仅含|E| |F| R的有理整函数，即系数可从已知线段用有理运算作图求出。
（三）关于求作交点的问题
1、作两已知直线的交点，
设两直线L1,L2的方程为
L1：A1X+B1Y+C1=0
L2:A2X+B2Y+C2=0
知A1，A2 B1 B2 C1 C2都是已知线段的有理整函数
若A1B2-A2B1≠0
则XY通过解方程用A1，A2，B1，B2，C1，C2的加，减，乘，除的式子表示。X,Y是仅含A1，A2，B1，B2，C1，C2的有理函数，即交点坐标都可以从已知线段用有理运算作图求出。
2、作已知直线和已知圆的交点
设已知直线L和圆C的方程为
L:AX+BY+C=0
C:X2+Y2+DX+EY+F=0
由（1）（2）知，A,B,C,D,E,F都是已知线段的有理整函数。解这个方程组得X=P+Q和X=P-Q （S1≥0）
Y=M+N和Y=M-N （S2≥0）
其中P,Q,S1及M,N S2也是仅含A,B,C,D,E,F的有理函数
即交点坐标X,Y可以从已知线段用有理运算及平方作图求得。
3、作两已知圆的交点
设两已知圆C1和C2的方程为
C1:X2+Y2+D1X+E1Y+F1=0
C2:X2+Y2+D2X+E2Y+F2=0
这个方程组与下面的方程组同解：
C1:X2+Y2+D1X+E1Y+F1=0
L1:(D1-D2)X+(E1-E2)Y+(F1-F2)=0
此方程组得解与第2种情形有相同形式，即两圆交点的坐标X,Y可以从已知线段用有理运算及平方作图求得。
由上述总结得出准则1
准则1：一个作图题中所要求出的线段x，可由一次齐次式X=F(a1,a2,…aM)表示，这个作图问题可用尺规作出的充分必要条件是：F是已知线段aK经过有限次的有理运算（加，减，乘，除）及开平方运算而得出。
显然一次和二次方程的根能用尺规作图，三次（甚至四次）方程的根能否仅用尺规作图，还需有如下准则2。
准则2有理系数的三次方程ax3+bx2+cx+d=0的根能用尺规作图的充要条件是它有一个有理根。
由此可知，如果有理系数的三次方程没有有理根，那么长度等于它的任何实根的线段不能用尺规来作图。至于判断方程是否有有理根，可用下面的代数知识的。
定理1 设方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0具有整系数，且有有理根，p q是互质的整数，则p必是an的约数，而q是a0的约数。如果a0=1，若方程有有理根，则此根必是an的约数。
定理2 设f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an为一整系数多项式。如果有质数p不为a0的约数，p为是a1，a2…，an的公约数，但p2不是an的约数，则f(x)在有理数范围内不可约。
显而易见，整系数的三次方程f(x)=ax3+bx2+cx+d=0
如果多项式f(x)在有理数范围内不可约，则此方程必没有有理根，根据定理2这个三次方程的根不能仅用尺规作图。
二、著名的尺规不能问题
约在两千四百多年前，在希腊盛传着下列三个作图题：
（一）立方倍积问题：求作一立方体，使它的体积等于已知立方体积的两倍。
（二）三等分角问题：求作一角，使等于已知角的三分之一。
（三）化圆为方问题：求作一正方形，使它的面积等于已知圆的面积。
下面分别说明这三个问题仅用尺规作图是不可能的。
1、立方倍积问题
设已知立方体的棱长为a所求作立方体的棱长为x，则按提意有
X3=2a3
即X3-2a3=0
令a=1，则此方程变的更简单形式：X3-2=0
根据准则2，如果方程含有有理根，只可能是1，-1，2，-2，但代入检验均不符合。故方程没有有理根。由准则1知方程的根不能仅用尺规作图，因此立方倍积问题属于尺规作图不能问题。
2、三等分角问题
设已知角∠xoy=a,OP,OQ是它的三等分线，∠xop=∠poQ=∠Qoy=€%a,在这两条三等分线中，只要能求得任何一条，即可求得另一条，现研究射线OP。
取单位长为半径画弧交射线OZ,OY,OP与A,B,C,引BD,CE垂直OX于D,E。令OD=a OE=x则a=cos€%a，x=cos
根据三角公式cos€%a=4cos3-3cos
因而得到三次方程：a=4x3-3x 即4x3-3x-a=0
如果能证明方程的根不能用尺规作图，则E点不可得，于是射线OP也就不能作出了。为此，我们取€%a=
此时a=cos=
于是得到方程的一个特例如下：
8X3-6X-1=0设Y=2X化简这个方程得Y3-3Y-1=0
由于1，-1不能满足方程，所以方程没有有理根，从而方程8X3-6X-1=0也没有有理根。这就是说的角不能用尺规三等分，因此三等分任意角当然属于尺规不能问题。
3、化圆为方问题
设已知圆的半径为R，所求正方形边长为X，按题意有
X2=€%iR2
令R=1即得X=
这就是说，要我们作一条线段X。使它的长度等于。这条线段当然存在，但由于€%i是无理数，不是有理系数的代数方程，当然更不是加，减，乘，除开平方所表示的，所以它不能仅用尺规作图。
研究尺规作图不能问题目的还在于在遇到仅用尺规作图问题时，先应该对这个问题做出一个判断，看能不能仅用尺规来作出，判断的方法除了用准则外，还可以将问题归结为某一已知的作图不能问题，那么就可断言当前的问题也不能仅用尺规作图。
参考文献：
[1]陈达.几何研究[M].江苏高校试用教材.
关键词：作图准则；尺规作图；立方倍积；三等分角；化园为方
中图分类号：G42 文献标识码：A 文章编号：1009-0118（2011）-12-0-02
一、预备知识
任何能用尺规来完成的作图，无论它多么复杂，都不外乎归结为三条公法的有限次的有序结合，因此，要说明准则可以借助解析几何知识，把每一条作图公法用代数解析式表示出来，就不难得出结论。
（一）通过两个已知点作直线
在直角坐标系里，设两点P(a,b)Q(c,d)则|a|,|b|,|c|,|d|都是已知线段，过PQ的直线方程是
如果用一般式表示，则为AX+BY+C=0
式中A=d-b B=a-c C=bc-ad,它们都是仅含|a|,|b|,|c|,|d|的有理整函数，即系数可从已知线段用有理运算作图求出。
（二）以已知点为圆心，已知长为半径作圆
设已知点坐标为（E,F）,已知长为R，则|都是已知线段。以（E,F）为圆心，R为半径的圆的方程是(X-E)2+(Y-F)2=R2
或X2+Y2+DX+EY+F=0
其中D=-2E,E=-2F F=E2+F2-R2都是仅含|E| |F| R的有理整函数，即系数可从已知线段用有理运算作图求出。
（三）关于求作交点的问题
1、作两已知直线的交点，
设两直线L1,L2的方程为
L1：A1X+B1Y+C1=0
L2:A2X+B2Y+C2=0
知A1，A2 B1 B2 C1 C2都是已知线段的有理整函数
若A1B2-A2B1≠0
则XY通过解方程用A1，A2，B1，B2，C1，C2的加，减，乘，除的式子表示。X,Y是仅含A1，A2，B1，B2，C1，C2的有理函数，即交点坐标都可以从已知线段用有理运算作图求出。
2、作已知直线和已知圆的交点
设已知直线L和圆C的方程为
L:AX+BY+C=0
C:X2+Y2+DX+EY+F=0
由（1）（2）知，A,B,C,D,E,F都是已知线段的有理整函数。解这个方程组得X=P+Q和X=P-Q （S1≥0）
Y=M+N和Y=M-N （S2≥0）
其中P,Q,S1及M,N S2也是仅含A,B,C,D,E,F的有理函数
即交点坐标X,Y可以从已知线段用有理运算及平方作图求得。
3、作两已知圆的交点
设两已知圆C1和C2的方程为
C1:X2+Y2+D1X+E1Y+F1=0
C2:X2+Y2+D2X+E2Y+F2=0
这个方程组与下面的方程组同解：
C1:X2+Y2+D1X+E1Y+F1=0
L1:(D1-D2)X+(E1-E2)Y+(F1-F2)=0
此方程组得解与第2种情形有相同形式，即两圆交点的坐标X,Y可以从已知线段用有理运算及平方作图求得。
由上述总结得出准则1
准则1：一个作图题中所要求出的线段x，可由一次齐次式X=F(a1,a2,…aM)表示，这个作图问题可用尺规作出的充分必要条件是：F是已知线段aK经过有限次的有理运算（加，减，乘，除）及开平方运算而得出。
显然一次和二次方程的根能用尺规作图，三次（甚至四次）方程的根能否仅用尺规作图，还需有如下准则2。
准则2有理系数的三次方程ax3+bx2+cx+d=0的根能用尺规作图的充要条件是它有一个有理根。
由此可知，如果有理系数的三次方程没有有理根，那么长度等于它的任何实根的线段不能用尺规来作图。至于判断方程是否有有理根，可用下面的代数知识的。
定理1 设方程a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0具有整系数，且有有理根，p q是互质的整数，则p必是an的约数，而q是a0的约数。如果a0=1，若方程有有理根，则此根必是an的约数。
定理2 设f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an为一整系数多项式。如果有质数p不为a0的约数，p为是a1，a2…，an的公约数，但p2不是an的约数，则f(x)在有理数范围内不可约。
显而易见，整系数的三次方程f(x)=ax3+bx2+cx+d=0
如果多项式f(x)在有理数范围内不可约，则此方程必没有有理根，根据定理2这个三次方程的根不能仅用尺规作图。
二、著名的尺规不能问题
约在两千四百多年前，在希腊盛传着下列三个作图题：
（一）立方倍积问题：求作一立方体，使它的体积等于已知立方体积的两倍。
（二）三等分角问题：求作一角，使等于已知角的三分之一。
（三）化圆为方问题：求作一正方形，使它的面积等于已知圆的面积。
下面分别说明这三个问题仅用尺规作图是不可能的。
1、立方倍积问题
设已知立方体的棱长为a所求作立方体的棱长为x，则按提意有
X3=2a3
即X3-2a3=0
令a=1，则此方程变的更简单形式：X3-2=0
根据准则2，如果方程含有有理根，只可能是1，-1，2，-2，但代入检验均不符合。故方程没有有理根。由准则1知方程的根不能仅用尺规作图，因此立方倍积问题属于尺规作图不能问题。
2、三等分角问题
设已知角∠xoy=a,OP,OQ是它的三等分线，∠xop=∠poQ=∠Qoy=€%a,在这两条三等分线中，只要能求得任何一条，即可求得另一条，现研究射线OP。
取单位长为半径画弧交射线OZ,OY,OP与A,B,C,引BD,CE垂直OX于D,E。令OD=a OE=x则a=cos€%a，x=cos
根据三角公式cos€%a=4cos3-3cos
因而得到三次方程：a=4x3-3x 即4x3-3x-a=0
如果能证明方程的根不能用尺规作图，则E点不可得，于是射线OP也就不能作出了。为此，我们取€%a=
此时a=cos=
于是得到方程的一个特例如下：
8X3-6X-1=0设Y=2X化简这个方程得Y3-3Y-1=0
由于1，-1不能满足方程，所以方程没有有理根，从而方程8X3-6X-1=0也没有有理根。这就是说的角不能用尺规三等分，因此三等分任意角当然属于尺规不能问题。
3、化圆为方问题
设已知圆的半径为R，所求正方形边长为X，按题意有
X2=€%iR2
令R=1即得X=
这就是说，要我们作一条线段X。使它的长度等于。这条线段当然存在，但由于€%i是无理数，不是有理系数的代数方程，当然更不是加，减，乘，除开平方所表示的，所以它不能仅用尺规作图。
研究尺规作图不能问题目的还在于在遇到仅用尺规作图问题时，先应该对这个问题做出一个判断，看能不能仅用尺规来作出，判断的方法除了用准则外，还可以将问题归结为某一已知的作图不能问题，那么就可断言当前的问题也不能仅用尺规作图。
参考文献：
[1]陈达.几何研究[M].江苏高校试用教材.