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高中物理教学大纲中明确指出“应用数学处理物理问题的能力”是物理教学的一项重要内容,是高考能力考查的重要组成部分。高中数学教材(《人教版选修2～2》下同)中的《导数及其应用》已列入高中数学教学大纲,导数初步知识在物理中的应用,也越来越被广大高中物理教师关注。
1 利用导数求瞬时速度、加速度
数学教材P6内容体现“瞬时速度就是位移s对时间t的导数”。一般的问题,没有必要应用导数求瞬时速度,但复杂一点的问题,写出位移的函数式后再求导来求得瞬时速度,非常方便简捷。
例1、一质点做直线运动,位移与时间的关系为x=15t+t3(m),求当t=2s时的速度、加速度。
解析:瞬时速度等于位移对时间的一阶导数,即v=■=15+3t2,当t=2s时,v=15+3×22=27(m/s)。加速度等于位移对时间的二阶导数或速度对时间的一阶导数,即a=■=■=6t,当t=2s时,a=6×2=12m/s2。
形如x=v0t+■t2位移与时间关系是一元二次方程的,用待定系数法就能确定质点的速度、加速度,但是对于位移与时间的关系是三次方的就无法用待定系数法了,我们用导数很方便地就解决了。
例2、一质点简谐运动的图像如图所示,判断质点在0.7s、1.0s、2.0s、2.2s四个时刻的运动方向。
数学教材P11内容体现导数的几何意义:图像上某点的导数即瞬时速度表示图像在该点的切线的斜率。
解析:根据导数的几何意义,画出各时刻对应的图像上各点的切线,斜率为正则速度方向沿+x,反之为-x,斜率为零则无运动方向。
质点在0.7s时图像斜率为正,所以速度方向为+x;在2.0s、2.2s时图像斜率为负,所以速度方向为-x;在1.0s时图像斜率为零,所以无运动方向。
若根据图像确定质点在该时刻之后的一小段时间内位移的变化(位移的方向、增减),然后确定质点的运动方向。质点在1.0s时刻,学生根据位移的变化判断速度方向可能为-x。事实上,质点在该时刻瞬时速度为零,是没有方向的。这样判断结果与事实不符。
运用导数的意义判断速度方向既方便又避免图像拐点处出现错误,我们要充分利用数学工具解决物理问题,它会使我们解决问题既准确又高效。
例3、一质点做简谐运动,位移与时间的关系为x=3sin(4πt+■)cm,判断在t=■s、■s、■s、■s时的速度方向。
解析:该题可以简谐运动的表达式画出x-t图像,然后用例2中的方法解决。
现在我们用导数直接分析:
∵v=■=-12πsin(4πt)
∴v1=-12πsin(4π×■)=-12πsin(2π)=0 无运动方向
v2=-12πsin(4π×■)=-12πsin(■π)>0 沿+x
v3=-12πsin(4π×■)=-12πsin(■π)<0 沿-x
v4=-12πsin(4π×■)=-12πsin(■π)<0沿-x
2 利用导数求极值
数学教材P28内容体现:利用导数求函数y=f(x)极值的方法是:令f'(x)=0,当f'(x0)=0时①如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0则f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0则f(x0)是极小值。如果在某一区间内只有一个极值则该极值即为最值。
例4、 一辆小车在MN轨道上行驶的速度为v1可达50km/h,在轨道外的平地上行使速度v2可达40km/h,与轨道的垂直距离为30km的B处有一基地,如图所示,问小车从基地B出发到离D点100km的A处的过程中最短需要多少时间(设小车在不同路面上的运动都是匀速运动,启动时的加速时间可忽略不计)?
解析:如图1所示,设DF段的距离为x则小车走完全程所用时间可表示为:
t=■+■求t对x的导数得■=■-■,令■=0
即■-■=0,解得:x=40km当x<40时,■<0;当x>40时,■>0,因为左负右正,所以当x=40km时,时间t有最小值,即:tmin=■+■=2.45(h)
例5、如图所示电路中,电阻R可变电阻,电源的电动势为ε,内电阻为r,求R为多大时,电源的输出功率最大?最大值是多少?
解析:据功率公式P出=I2R及闭合电路欧姆定律
I=■得:P出=■R,令■=■=0,解得R=r,或R=-r(舍去)。当R0; 当R>r时,■<0,因为左正右负,所以当R=r时,P出有最大值,即P出m=■.
利用导数求极值,首先根据物理知识写出表达式,然后令其导数等于零,该问题便可迎刃而解。
3 利用导数求感应电动势
例6、如图所示,两根平行金属导轨固定在水平桌面上,每根导轨每米的电阻为r0=0.10Ω/m,导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连,两导轨间的距离I=0.20m。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面,已知磁感强度B与时间t的关系为B=kt,比例系数k=0.020T/s,一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动,在滑动过程中保持与导轨垂直。在t=0时刻,金属杆紧靠在P、Q端,在外力作用下,杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动,求在t=6.0s时金属杆所受的安培力。
解析:以a表示金属杆运动的加速度,在t时刻,金属杆与初始位置的距离L=■at2,此时回路的面积为S=Ll=■lat2穿过这一回路的磁通量为Φ=BS=kt·■lat2=■klat3,根据法拉第电磁感应定律和导数的定义可知,磁通量对时间的导数就是感应电动势,所以回路中的感应电动势为E=■=■klat2,此时回路的总电阻R=2Lr0=at2r0 ,回路中的感应电流I=■=■,所以杆受到的安培力F=BIl=■,代入数据为F=1.44×10-3N,方向向右。
在这里我从瞬时速度、加速度、感应电动势以及极值等与导数联系密切的几个方面,例析导数在物理中的应用,旨在展示物理和数学的密切关系,体现数学学科的工具性和实用性,加强学科间的渗透,不当之处恳请指正。
1 利用导数求瞬时速度、加速度
数学教材P6内容体现“瞬时速度就是位移s对时间t的导数”。一般的问题,没有必要应用导数求瞬时速度,但复杂一点的问题,写出位移的函数式后再求导来求得瞬时速度,非常方便简捷。
例1、一质点做直线运动,位移与时间的关系为x=15t+t3(m),求当t=2s时的速度、加速度。
解析:瞬时速度等于位移对时间的一阶导数,即v=■=15+3t2,当t=2s时,v=15+3×22=27(m/s)。加速度等于位移对时间的二阶导数或速度对时间的一阶导数,即a=■=■=6t,当t=2s时,a=6×2=12m/s2。
形如x=v0t+■t2位移与时间关系是一元二次方程的,用待定系数法就能确定质点的速度、加速度,但是对于位移与时间的关系是三次方的就无法用待定系数法了,我们用导数很方便地就解决了。
例2、一质点简谐运动的图像如图所示,判断质点在0.7s、1.0s、2.0s、2.2s四个时刻的运动方向。
数学教材P11内容体现导数的几何意义:图像上某点的导数即瞬时速度表示图像在该点的切线的斜率。
解析:根据导数的几何意义,画出各时刻对应的图像上各点的切线,斜率为正则速度方向沿+x,反之为-x,斜率为零则无运动方向。
质点在0.7s时图像斜率为正,所以速度方向为+x;在2.0s、2.2s时图像斜率为负,所以速度方向为-x;在1.0s时图像斜率为零,所以无运动方向。
若根据图像确定质点在该时刻之后的一小段时间内位移的变化(位移的方向、增减),然后确定质点的运动方向。质点在1.0s时刻,学生根据位移的变化判断速度方向可能为-x。事实上,质点在该时刻瞬时速度为零,是没有方向的。这样判断结果与事实不符。
运用导数的意义判断速度方向既方便又避免图像拐点处出现错误,我们要充分利用数学工具解决物理问题,它会使我们解决问题既准确又高效。
例3、一质点做简谐运动,位移与时间的关系为x=3sin(4πt+■)cm,判断在t=■s、■s、■s、■s时的速度方向。
解析:该题可以简谐运动的表达式画出x-t图像,然后用例2中的方法解决。
现在我们用导数直接分析:
∵v=■=-12πsin(4πt)
∴v1=-12πsin(4π×■)=-12πsin(2π)=0 无运动方向
v2=-12πsin(4π×■)=-12πsin(■π)>0 沿+x
v3=-12πsin(4π×■)=-12πsin(■π)<0 沿-x
v4=-12πsin(4π×■)=-12πsin(■π)<0沿-x
2 利用导数求极值
数学教材P28内容体现:利用导数求函数y=f(x)极值的方法是:令f'(x)=0,当f'(x0)=0时①如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0则f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0则f(x0)是极小值。如果在某一区间内只有一个极值则该极值即为最值。
例4、 一辆小车在MN轨道上行驶的速度为v1可达50km/h,在轨道外的平地上行使速度v2可达40km/h,与轨道的垂直距离为30km的B处有一基地,如图所示,问小车从基地B出发到离D点100km的A处的过程中最短需要多少时间(设小车在不同路面上的运动都是匀速运动,启动时的加速时间可忽略不计)?
解析:如图1所示,设DF段的距离为x则小车走完全程所用时间可表示为:
t=■+■求t对x的导数得■=■-■,令■=0
即■-■=0,解得:x=40km当x<40时,■<0;当x>40时,■>0,因为左负右正,所以当x=40km时,时间t有最小值,即:tmin=■+■=2.45(h)
例5、如图所示电路中,电阻R可变电阻,电源的电动势为ε,内电阻为r,求R为多大时,电源的输出功率最大?最大值是多少?
解析:据功率公式P出=I2R及闭合电路欧姆定律
I=■得:P出=■R,令■=■=0,解得R=r,或R=-r(舍去)。当R
利用导数求极值,首先根据物理知识写出表达式,然后令其导数等于零,该问题便可迎刃而解。
3 利用导数求感应电动势
例6、如图所示,两根平行金属导轨固定在水平桌面上,每根导轨每米的电阻为r0=0.10Ω/m,导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连,两导轨间的距离I=0.20m。有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面,已知磁感强度B与时间t的关系为B=kt,比例系数k=0.020T/s,一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动,在滑动过程中保持与导轨垂直。在t=0时刻,金属杆紧靠在P、Q端,在外力作用下,杆以恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动,求在t=6.0s时金属杆所受的安培力。
解析:以a表示金属杆运动的加速度,在t时刻,金属杆与初始位置的距离L=■at2,此时回路的面积为S=Ll=■lat2穿过这一回路的磁通量为Φ=BS=kt·■lat2=■klat3,根据法拉第电磁感应定律和导数的定义可知,磁通量对时间的导数就是感应电动势,所以回路中的感应电动势为E=■=■klat2,此时回路的总电阻R=2Lr0=at2r0 ,回路中的感应电流I=■=■,所以杆受到的安培力F=BIl=■,代入数据为F=1.44×10-3N,方向向右。
在这里我从瞬时速度、加速度、感应电动势以及极值等与导数联系密切的几个方面,例析导数在物理中的应用,旨在展示物理和数学的密切关系,体现数学学科的工具性和实用性,加强学科间的渗透,不当之处恳请指正。