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从这些年来的高考试题看，天体运动的问题几乎年年都考.而天体运动中的多星系统问题是常见的、自然的天文现象，具有考查知识点较多、研究对象和运动模型较多、受力情况较复杂、联系实际较密切、数学运算能力要求较高等特点，主要涉及到开普勒行星运动的三条基本规律、万有引力定律、牛顿运动定律、圆周运动等知识，能较好地考查学生的空间想象能力和综合运用力学知识解决物理问题的能力.
1解决天体运动问题的两条基本思路
（1）在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即GMmR2=mg，整理得GM=gR2，此式称为黄金代换或万能代换式（其中R为中心天体的半径，g表示中心天体表面的重力加速度）.
（2）把天体m的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自于天体之间的万有引力，即
GMmr2=mv2r=mrω2=m4π2T2r=man.
应用时应根据实际情况选用适当的公式进行分析求解.
2双星模型
在天体运动模型中，将两个彼此相隔距离较近的天体称为双星，其特点如下：
（1）两星始终绕它们连线上的一点（共同的圆心）做匀速圆周运动，两星和圆心共线，故两星的角速度、周期相等.
（2）两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力——是一对作用力和反作用力，所以它们的向心力大小相等、方向相反.
（3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1 r2=L，而且两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，与行星运动的速率成正比.
例1两个星球A、B组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点O做周期相同的匀速圆周运动.现测得两星中心的距离为R，其运动周期为T，求A、B两星的总质量M.
解析设两星球A、B的质量分别为M1和M2，都绕连线上的O点做周期为T的匀速圆周运动，星球A和星球B到O点的距离分别为l1和l2.由万有引力定律、牛顿第二定律可得
对M1：GM1M2R2=M1（2πT）2l1，所以，M2=4π2R2l1GT2.
对M2：GM1M2R2=M2（2πT）2l2，所以，M1=4π2R2l2GT2.
且l1 l2=R，
所以两式相加得M=M1 M2=4π2R2GT2（l1 l2）=4π2R3GT2.
3三星模型
三星系统是指由三颗相距较近的恒星组成的天体系统，其运动模型一般有两种情况：一是三颗恒星在一条直线上，中间一颗位于正中心，两颗恒星围绕中间的恒星（可认为是静止不动的）在同一半径为R的圆轨道上运行做匀速圆周运动（可简称为“二绕一”模型），三颗星运行周期相同；二是三颗恒星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，以等边三角形的几何中心为圆心做匀速圆周运动（可简称为“正三角形”模型），三颗星运行周期相同.
例2在宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；还有一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道上运行.设每个星体的质量均为m ，引力常量为G.（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；（2）假设两种形式星体的运动周期相同，求第二种形式下星体之间的距离应为多少？
解析（1） 第一种情况如图2a所示，三颗星位于同一直线上，其中一颗星受到另外两颗星的引力的合力提供向心力，以某一（这里选图2a中右侧）星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有Gm2R2 Gm2（2R）2=mv2R，解得线速度
v=5Gm4R，
又由牛顿第二定律Gm2R2 Gm2（2R）2=m（2πT）2R，
解得周期T=4πRR5Gm.
（2） 设在第二种形式中星体之间的距离为r （如图2b所示），由于星体做匀速圆周运动所需要的向心力由其它两个星体对它的万有引力的合力提供，则第二种情形下星体做匀速圆周运动的半径为R′时，相邻两星体间距离r=3R′，所以相邻两星体之间的万有引力为F=Gmm（3R′）2=Gm23R′2，由星体做匀速圆周运动可知3F=m（2πT）2R′，而且T=4πRR5Gm，由以上各式解得距离为r=3125R.
4四星模型
宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗星组成的四星系统.四星系统一般由四颗相距较近的恒星组成，和三星系统类似，也有两种最基本的构成形式：一种形式是四颗质量相等的星相对稳定地位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（可简称为“正方形”模型）；另一种形式是三颗质量相等的恒星相对稳定地位于三角形的三个顶点上，环绕另一颗位于中心的恒星做匀速圆周运动（可简称为“三绕一”模型）.
例3宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星相对稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，引力常量为G.（1）求星体做匀速圆周运动的轨道半径r.（2）若实验观测得到星体的半径为R，求星体表面的重力加速度g.（3）求每个星体做匀速圆周运动的周期T.
解析（1）如图3，由星体均围绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动很容易知道，星体做匀速圆周运动的轨道半径r=22a.
（2）由万有引力的定律可知，在质量均为m的星体表面，对质量为m0的物体有Gmm0R2=m0g，则星体表面的重力加速度g=GmR2. （3）每颗星体都在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得Gm2（2a）2 2Gm2a2·cos45°=m·22a·4π2T2.
解得星体做匀速圆周运动的周期为T=2πa2a（1 22）Gm.
例4在宇宙中存在着-些远离其他恒星的四星系统，其中三颗恒星的质量相等且均为m，另-颗恒星的质量为M，万有引力常量为G.（1）分析说明四颗恒星应具备怎样的空间结构，才能处于相对稳定的状态？（2）若相邻两星体的最小距离为L，试求此情况下天体运动的周期？
解析（1） 如图4所示，质量相等的三颗恒星m位于等边三角形的三个顶点上，质量不同的另一颗恒星M位于正三角形的中心O，三颗恒星沿外接于等边三角形的圆形轨道同方向运行，即“三绕一”结构模型.这种对称的空间结构，使得质量相等的三颗恒星受到的万有引力的合力均指向同一圆心，而且中心位置的恒星始终处于受力平衡状态，整个系统处于相对稳定的状态.
（2） 由数学中的几何知识可知，质量相等的三颗恒星m做匀速圆周运动的半径r，就是相邻两个星体之间的最小距离L，即r=L，所以质量相等的恒星m之间的距离为3L，其匀速圆周运动的向心力由万有引力的合力提供，所以
2Gm2（3L）2·cos30° GMmL2=m4π2T2L，
求得周期为T=2π3L3G（m 3M）.
5点拨与小结
5.1在双星系统中
（1）“向心力等大反向”：要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源.双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供.由于力的作用是相互的，所以两子星做匀速圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小.（2）“周期、角速度相同”：要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量之间的关系.两子星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比.（3）要明确两子星做匀速圆周运动的动力学关系.设两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得
M1：GM1M2L2=M1v21r1=M1r1ω21，
M2：GM1M2L2=M2v22r2=M2r2ω22.
在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离L不能代成两子星做匀速圆周运动的轨道半径r1、r2（一定要区分距离和轨道半径的不同）.
5.2在三星系统中
无论哪种运动模型都是利用其他两颗星对另一颗星的万有引力的合力提供它的向心力的方法解题，并转换成双星模型的问题.三星系统中的“二绕一”模型，圆轨道上两颗星的质量必须要相等，这两颗星分别所受的万有引力的合力提供各自的向心力，但一定要注意万有引力的作用距离与轨道半径的异同.三星系统中的“正三角形”模型，一定要明确轨道半径与距离的关系式，并正确列出每颗星所受万有引力的合力提供向心力的表达式，这也是求解问题的关键之处.
5.3在四星系统中
（1）“正方形”模型要求四个星体的质量必须相等才行，且其中任意一颗星分别受到其它三颗星对它的万有引力的合力提供它做匀速圆周运动的向心力.同样地，根据空间结构的示意图，是进行受力分析、理清轨道半径和距离、向心力和万有引力合力的前提和关键.（2）“三绕一”模型要求等边三角形三个顶点上的星体质量也必须相等，所以，画出空间结构的示意图和寻求轨道半径与星球间距离的关系也是确定星体做匀速圆周运动的向心力与万有引力的合力关系的关键之处.
小结在求解多星系统问题时，要熟悉各自的运动模型；要能够根据空间结构示意图进行正确的受力分析，明确向心力是由哪些万有引力的合力来提供；要善于找准几何关系，寻找出轨道半径r与距离L的定量关系；要能熟练运用万有引力定律、牛顿运动定律、圆周运动等知识正确列出方程式，求出相应的物理量来.当然，从上面的例题也可以看出：双星模型起到了一个很好的示范作用，例2、例3、例4都可以看成是双星模型的应用、变式或者延伸.在高中物理学习中，象这样将一类问题糅合到一个典型问题中从而建立一个模型，对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的.
1解决天体运动问题的两条基本思路
（1）在中心天体表面或附近而又不涉及中心天体自转运动时，万有引力等于重力，即GMmR2=mg，整理得GM=gR2，此式称为黄金代换或万能代换式（其中R为中心天体的半径，g表示中心天体表面的重力加速度）.
（2）把天体m的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自于天体之间的万有引力，即
GMmr2=mv2r=mrω2=m4π2T2r=man.
应用时应根据实际情况选用适当的公式进行分析求解.
2双星模型
在天体运动模型中，将两个彼此相隔距离较近的天体称为双星，其特点如下：
（1）两星始终绕它们连线上的一点（共同的圆心）做匀速圆周运动，两星和圆心共线，故两星的角速度、周期相等.
（2）两星之间的万有引力提供各自做匀速圆周运动的向心力——是一对作用力和反作用力，所以它们的向心力大小相等、方向相反.
（3）两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1 r2=L，而且两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比，与行星运动的速率成正比.
例1两个星球A、B组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点O做周期相同的匀速圆周运动.现测得两星中心的距离为R，其运动周期为T，求A、B两星的总质量M.
解析设两星球A、B的质量分别为M1和M2，都绕连线上的O点做周期为T的匀速圆周运动，星球A和星球B到O点的距离分别为l1和l2.由万有引力定律、牛顿第二定律可得
对M1：GM1M2R2=M1（2πT）2l1，所以，M2=4π2R2l1GT2.
对M2：GM1M2R2=M2（2πT）2l2，所以，M1=4π2R2l2GT2.
且l1 l2=R，
所以两式相加得M=M1 M2=4π2R2GT2（l1 l2）=4π2R3GT2.
3三星模型
三星系统是指由三颗相距较近的恒星组成的天体系统，其运动模型一般有两种情况：一是三颗恒星在一条直线上，中间一颗位于正中心，两颗恒星围绕中间的恒星（可认为是静止不动的）在同一半径为R的圆轨道上运行做匀速圆周运动（可简称为“二绕一”模型），三颗星运行周期相同；二是三颗恒星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，以等边三角形的几何中心为圆心做匀速圆周运动（可简称为“正三角形”模型），三颗星运行周期相同.
例2在宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用.现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；还有一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道上运行.设每个星体的质量均为m ，引力常量为G.（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期；（2）假设两种形式星体的运动周期相同，求第二种形式下星体之间的距离应为多少？
解析（1） 第一种情况如图2a所示，三颗星位于同一直线上，其中一颗星受到另外两颗星的引力的合力提供向心力，以某一（这里选图2a中右侧）星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有Gm2R2 Gm2（2R）2=mv2R，解得线速度
v=5Gm4R，
又由牛顿第二定律Gm2R2 Gm2（2R）2=m（2πT）2R，
解得周期T=4πRR5Gm.
（2） 设在第二种形式中星体之间的距离为r （如图2b所示），由于星体做匀速圆周运动所需要的向心力由其它两个星体对它的万有引力的合力提供，则第二种情形下星体做匀速圆周运动的半径为R′时，相邻两星体间距离r=3R′，所以相邻两星体之间的万有引力为F=Gmm（3R′）2=Gm23R′2，由星体做匀速圆周运动可知3F=m（2πT）2R′，而且T=4πRR5Gm，由以上各式解得距离为r=3125R.
4四星模型
宇宙中存在一些离其他恒星很远的四颗星组成的四星系统.四星系统一般由四颗相距较近的恒星组成，和三星系统类似，也有两种最基本的构成形式：一种形式是四颗质量相等的星相对稳定地位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（可简称为“正方形”模型）；另一种形式是三颗质量相等的恒星相对稳定地位于三角形的三个顶点上，环绕另一颗位于中心的恒星做匀速圆周运动（可简称为“三绕一”模型）.
例3宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，设每个星体的质量均为m，四颗星相对稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，已知这四颗星均围绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，引力常量为G.（1）求星体做匀速圆周运动的轨道半径r.（2）若实验观测得到星体的半径为R，求星体表面的重力加速度g.（3）求每个星体做匀速圆周运动的周期T.
解析（1）如图3，由星体均围绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动很容易知道，星体做匀速圆周运动的轨道半径r=22a.
（2）由万有引力的定律可知，在质量均为m的星体表面，对质量为m0的物体有Gmm0R2=m0g，则星体表面的重力加速度g=GmR2. （3）每颗星体都在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点O做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得Gm2（2a）2 2Gm2a2·cos45°=m·22a·4π2T2.
解得星体做匀速圆周运动的周期为T=2πa2a（1 22）Gm.
例4在宇宙中存在着-些远离其他恒星的四星系统，其中三颗恒星的质量相等且均为m，另-颗恒星的质量为M，万有引力常量为G.（1）分析说明四颗恒星应具备怎样的空间结构，才能处于相对稳定的状态？（2）若相邻两星体的最小距离为L，试求此情况下天体运动的周期？
解析（1） 如图4所示，质量相等的三颗恒星m位于等边三角形的三个顶点上，质量不同的另一颗恒星M位于正三角形的中心O，三颗恒星沿外接于等边三角形的圆形轨道同方向运行，即“三绕一”结构模型.这种对称的空间结构，使得质量相等的三颗恒星受到的万有引力的合力均指向同一圆心，而且中心位置的恒星始终处于受力平衡状态，整个系统处于相对稳定的状态.
（2） 由数学中的几何知识可知，质量相等的三颗恒星m做匀速圆周运动的半径r，就是相邻两个星体之间的最小距离L，即r=L，所以质量相等的恒星m之间的距离为3L，其匀速圆周运动的向心力由万有引力的合力提供，所以
2Gm2（3L）2·cos30° GMmL2=m4π2T2L，
求得周期为T=2π3L3G（m 3M）.
5点拨与小结
5.1在双星系统中
（1）“向心力等大反向”：要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源.双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供.由于力的作用是相互的，所以两子星做匀速圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小.（2）“周期、角速度相同”：要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量之间的关系.两子星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比.（3）要明确两子星做匀速圆周运动的动力学关系.设两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得
M1：GM1M2L2=M1v21r1=M1r1ω21，
M2：GM1M2L2=M2v22r2=M2r2ω22.
在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离L不能代成两子星做匀速圆周运动的轨道半径r1、r2（一定要区分距离和轨道半径的不同）.
5.2在三星系统中
无论哪种运动模型都是利用其他两颗星对另一颗星的万有引力的合力提供它的向心力的方法解题，并转换成双星模型的问题.三星系统中的“二绕一”模型，圆轨道上两颗星的质量必须要相等，这两颗星分别所受的万有引力的合力提供各自的向心力，但一定要注意万有引力的作用距离与轨道半径的异同.三星系统中的“正三角形”模型，一定要明确轨道半径与距离的关系式，并正确列出每颗星所受万有引力的合力提供向心力的表达式，这也是求解问题的关键之处.
5.3在四星系统中
（1）“正方形”模型要求四个星体的质量必须相等才行，且其中任意一颗星分别受到其它三颗星对它的万有引力的合力提供它做匀速圆周运动的向心力.同样地，根据空间结构的示意图，是进行受力分析、理清轨道半径和距离、向心力和万有引力合力的前提和关键.（2）“三绕一”模型要求等边三角形三个顶点上的星体质量也必须相等，所以，画出空间结构的示意图和寻求轨道半径与星球间距离的关系也是确定星体做匀速圆周运动的向心力与万有引力的合力关系的关键之处.
小结在求解多星系统问题时，要熟悉各自的运动模型；要能够根据空间结构示意图进行正确的受力分析，明确向心力是由哪些万有引力的合力来提供；要善于找准几何关系，寻找出轨道半径r与距离L的定量关系；要能熟练运用万有引力定律、牛顿运动定律、圆周运动等知识正确列出方程式，求出相应的物理量来.当然，从上面的例题也可以看出：双星模型起到了一个很好的示范作用，例2、例3、例4都可以看成是双星模型的应用、变式或者延伸.在高中物理学习中，象这样将一类问题糅合到一个典型问题中从而建立一个模型，对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的.